二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)的壓力損失分形模型

張　杰， 付海明， 趙洪亮， 雷陳磊， 朱　輝

(東華大學(xué) a. 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院; b. 國家環(huán)境保護紡織工業(yè)污染防治工程技術(shù)中心， 上海 201620)

二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)的壓力損失分形模型

張杰a, b， 付海明a, b， 趙洪亮a, b， 雷陳磊a, b， 朱輝a, b

(東華大學(xué) a. 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院; b. 國家環(huán)境保護紡織工業(yè)污染防治工程技術(shù)中心， 上海 201620)

為了研究影響纖維過濾器壓力損失的主要因素，開發(fā)了能夠生成二維隨機分布的虛擬纖維過濾介質(zhì)的VBA程序，并在纖維隨機分布的二維區(qū)域中利用計算流體力學(xué)(CFD)技術(shù)計算了Stokes方程的數(shù)值解.通過對虛擬濾料CFD模擬計算結(jié)果的數(shù)據(jù)回歸分析可知，纖維過濾介質(zhì)的壓力損失隨纖維填充率增加呈非線性增加，與纖維直徑的二次方呈反比例關(guān)系，與纖維介質(zhì)厚度及過濾速度呈線性正比例關(guān)系，由此提出了二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)的壓力損失預(yù)測模型.在此基礎(chǔ)上，考慮了分形維數(shù)和迂曲度對過濾壓力損失的影響，得出壓力損失隨分形維數(shù)和迂曲度的增加呈非線性增加，提出了包含分形維數(shù)、迂曲度的壓力損失預(yù)測表達式，該表達式與相關(guān)文獻的分形理論模型具有很高的一致性.

纖維過濾介質(zhì)； 壓力損失； 迂曲度； 分形維數(shù)； 隨機分布

壓力損失是纖維過濾器重要的性能參數(shù)，精確的壓力損失預(yù)測對于纖維過濾器選型以及優(yōu)化過濾器設(shè)計具有重要意義.在過去的50年，學(xué)者們建立了眾多數(shù)學(xué)理論以預(yù)測過濾器的壓力損失.從胞殼模型[1]開始，學(xué)者們對纖維規(guī)則分布的二維區(qū)域進行了詳細的研究.但是規(guī)則分布模型并不能體現(xiàn)纖維微觀結(jié)構(gòu)對于壓力損失的影響，因此具有很大局限性，無法反映纖維內(nèi)部結(jié)構(gòu)(如排列方式、孔隙的連通性、不均勻性)對壓力損失的影響.文獻[2-4]對有序排列和隨機排列的纖維過濾介質(zhì)進行了研究，表述了微觀結(jié)構(gòu)性參數(shù)對宏觀滲透率的影響.因此，為了定量地分析纖維內(nèi)部結(jié)構(gòu)對壓力損失的影響，近年來，人們開始將迂曲度和分形維數(shù)引入對壓力損失的預(yù)測當(dāng)中.自從曼德布羅特在20世紀(jì)70 年代中期提出分形理論，它就被證明是一種表征多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的有效手段.“分形”一詞起源于某些事物在較大的尺度范圍內(nèi)表現(xiàn)出自相似性，并具備一定的分形維數(shù).而引入迂曲度的主要目的是為了對計算的滲透率或阻力系數(shù)等參數(shù)進行必要的修正，使結(jié)果更加接近實際情況.文獻[5]對纖維過濾介質(zhì)截面進行分析，得出分形維數(shù)和孔隙率的關(guān)系表達式.文獻[6]利用差分方法建立了纖維多孔介質(zhì)的分形滲透率表達式. 文獻[7]引入分形維數(shù)和迂曲度維數(shù)建立了多孔介質(zhì)的分形滲透率模型.但是對于纖維濾料分形阻力模型的研究并不多見，本文基于二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)，采用計算流體力學(xué)(CFD)數(shù)值模擬方法，研究了纖維過濾介質(zhì)的壓力損失與其主要影響因素的關(guān)系，提出了壓力損失與纖維填充率、纖維直徑、過濾介質(zhì)厚度以及過濾速度的多元回歸關(guān)聯(lián)表達式，并基于分形理論，建立了纖維多孔介質(zhì)的阻力分形表達式.本研究的意義在于提供了一種二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)的壓力損失預(yù)測模型，該模型考慮了纖維多孔介質(zhì)的孔隙分布、分形維數(shù)、迂曲度特征對壓力損失的影響，提出了更加準(zhǔn)確預(yù)測壓力損失的方法，為優(yōu)化選擇濾料提供了理論依據(jù).

1　研究方法

1.1計算模型的建立

開發(fā)了二維隨機分布的虛擬纖維過濾介質(zhì)生成的VBA程序，該程序可生成二維的虛擬纖維過濾介質(zhì)，通過CAD繪制出濾料模型，如圖1所示，圖中圓圈代表纖維.在虛擬纖維過濾介質(zhì)生成過程中，可以通過改變圓的數(shù)量和直徑來控制虛擬纖維過濾介質(zhì)的填充率.由于圓的位置是隨機的，為了獲得高質(zhì)量的網(wǎng)格，纖維之間不允許相互重疊或碰撞，纖維之間的最小間距為0.1df，df表示纖維直徑.由于氣流進入和離開纖維陣列時速度和流向會發(fā)生劇烈變化，而這些變化會影響方形纖維陣列兩側(cè)的流場，因此在纖維過濾介質(zhì)兩側(cè)分別設(shè)置0.4H(H為過濾介質(zhì)厚度)的區(qū)域，以反映該區(qū)域流場變化帶來的壓力損失.

圖1　纖維二維隨機分布模型Fig.1　2D random distribution fiber model

1.2邊界條件的定義和網(wǎng)格劃分

將氣流進入的邊界設(shè)置為速度入口，氣流出口設(shè)置為壓力出口，兩側(cè)的邊界設(shè)置為對稱邊界條件，本文使用局部加密的三角形網(wǎng)格對計算區(qū)域進行劃分.對于網(wǎng)格尺寸的設(shè)置，文獻[2]進行了網(wǎng)格無關(guān)性的測試，結(jié)果顯示當(dāng)纖維壁面分布50個以上網(wǎng)格時，壓力損失模擬值不再隨網(wǎng)格尺寸發(fā)生變化.因此在本文中，纖維壁面的網(wǎng)格尺寸為0.02πdf，網(wǎng)格尺寸從壁面處向周圍逐漸增大，最大尺寸為0.1df.

1.3模型計算

一般纖維濾料的填充率為1%～30%，濾料纖維的平均直徑為0.5～20.0 μm[8].在本研究中為了覆蓋盡可能多的范圍，試圖建立盡可能大的纖維填充率，而在圓形纖維模型中，理論上所能達到的最大填充率為π/4，即0.785，又限于隨機排列不重疊的原則，填充率很難達到50%，經(jīng)過反復(fù)試驗，最終確定最大填充率為44%.由此本文在H=250和1000 μm 的兩組模型中分別建立了填充率分別為5%， 6%， 10%， 12%， 15%， 18%， 20%， 24%， 25%， 31%， 44%，纖維直徑為2.5， 5， 10， 20， 40 μm 的55組模型.過濾速度為0.2～1.6 m/s.

1.3.1阻力計算

采用CFD軟件求解流動區(qū)域的Stokes方程：

(1)

(2)

(3)

其中：p為過濾氣體的壓力；u和v分別為沿x軸和y軸方向的過濾氣體的速度分量；μ為過濾氣體的黏度.

通過求解上述方程得到各點的壓力值，將進口壓力與出口壓力相減即為計算模型的壓力損失值.

1.3.2迂曲度計算

迂曲度(τ)的定義[9]為

(4)

其中：Lt為流體路徑的實際長度；L0為沿宏觀壓力梯度方向上的直線長度或樣品的厚度.

圖2　多孔介質(zhì)里的彎曲流線Fig.2　Tortuous line in porous media

本文利用有限元法對模型進行數(shù)值模擬，以得到模型的流線.然后選取具有代表性的流線進行統(tǒng)計計算，根據(jù)式(5)加權(quán)平均得到各個模型的迂曲度.

(5)

其中：N為所選取的流線數(shù)量.

1.3.3分形維數(shù)計算

雖然豪斯道夫維數(shù)是目前使用最廣泛的分形定義，但是很多情況下豪斯道夫維數(shù)難以求解，因此許多等價的維數(shù)定義被提出，如計盒維數(shù)、半徑維數(shù)等.本文利用Fractalfox軟件計算了模型的計盒維數(shù).

采用程序生成的CAD隨機濾料模型作為計算樣本，首先將CAD圖像導(dǎo)出為.eps封裝文件，然后使用Photoshop軟件把源文件處理為尺寸780像素×780像素的黑白二值圖像，最后將圖像保存為BMP格式圖形文件.將樣本導(dǎo)入Fractalfox軟件，計算其計盒維數(shù).通過劃分圖像形成網(wǎng)格，最小網(wǎng)格尺寸為2,最大網(wǎng)格尺寸為100，統(tǒng)計出不同網(wǎng)格尺寸下網(wǎng)格中包含的盒子數(shù).所要計算圖形的分形維數(shù)由式(6)確定.

(6)

其中：M為常數(shù)；r為網(wǎng)格尺寸；D為分形維數(shù).對式(6)兩邊同時取對數(shù)后得到：

logN(r)=-D·logr+logM

(7)

再通過線性回歸求出logN(r)相對于logr的斜率，也就是該圖像區(qū)域的計盒維數(shù)[6].

2　模擬結(jié)果和討論

根據(jù)達西定律，纖維過濾器的壓力損失Δp是一個與過濾器迎風(fēng)速度v、纖維直徑df、過濾器填充率c、過濾介質(zhì)厚度H有關(guān)的函數(shù)，如式(8)所示.

(8)

其中：f(c)為無量綱壓力損失，它僅是填充率的函數(shù).以往的研究中，眾多學(xué)者給出了f(c)的不同形式.文獻[1]計算了由規(guī)則矩陣組成的纖維流場，得到了經(jīng)典的單元模型，其無量綱壓力損失f(c)表達式為

(9)

文獻[10]數(shù)值求解了圓柱形纖維周圍的流場，給出的無量綱壓力損失表達式為

(10)

文獻[11]綜合以往的試驗及研究數(shù)據(jù)給出的無量綱壓力損失表示為

(11)

式(11)適用于填充率為0.6%～30%的情況，是工程界普遍接受的一個壓力損失預(yù)測模型.

文獻[12]計算了三維隨機分布過濾模型的流場，得到了三維情況下的無量綱壓力損失表達式為

(12)

式(12)適用于填充率小于25%的情況.

本文根據(jù)CFD模擬計算的結(jié)果，采用自定義的非線性回歸方法對數(shù)據(jù)進行回歸分析,提出了二維隨機模型的壓力損失表達式為

(13)

R2=0.97

(14)

其中：R2為相關(guān)系數(shù)，其值為0.97，可見回歸方程與數(shù)據(jù)之間具有良好的相關(guān)性.

將數(shù)值模擬得到的數(shù)據(jù)與經(jīng)典模型進行對比，結(jié)果如圖3所示.由圖3可以看出，無量綱阻力模擬值與文獻[11]的模型計算結(jié)果十分接近，而文獻[1, 10]的模型計算結(jié)果過高預(yù)測了濾料壓力損失，并且隨著填充率的增大，不同模型的壓力損失差異越來越大，由此可見纖維規(guī)則分布的壓力損失要高于纖維隨機分布的壓力損失.一個纖維隨機分布濾料模型的流場如圖4所示.由圖4可以發(fā)現(xiàn)，在隨機模型中出現(xiàn)了一些纖維聚集的區(qū)域，文獻[2]稱之為纖維簇，這種分布現(xiàn)象在規(guī)則分布模型中是不存在的.在纖維簇的周圍，氣體的流動被阻滯，并以很低的速度通過，而在纖維簇與纖維簇之間的區(qū)域形成了一些寬闊的流通通道，氣體從這些通道高速通過.這些高速流體帶來的慣性力削弱了纖維簇對流體的阻滯力，由此可以解釋無量綱阻力模擬值與文獻[1]模型的差異.與文獻[12]相比，二維隨機模型無量綱阻力模擬值要略大于三維模型模擬值，但是差異僅約1%，可見二維隨機模型能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測真實濾料的壓力損失.相比較三維模型巨大的運算量，二維模型可以在保證結(jié)果精度的前提下大大減少運算量和運算時間.

圖3　模擬結(jié)果與經(jīng)典模型的對比Fig.3　Comparison of simulation results and classic models

圖4　過濾速度矢量圖(df=10 μm， c=15%， v=0.2 m/s)Fig.4　The filtration velocity vector diagram(df=10 μm, c=15%, v=0.2 m/s)

當(dāng)引入分形維數(shù)和迂曲度后，根據(jù)模型的測量結(jié)果得到了包含分形維數(shù)和迂曲度的二維隨機模型壓力表達式為

R2=0.94

(15)

文獻[6]采用差分方法提出了纖維多孔介質(zhì)滲透率的分形模型，其壓力表達式為

(16)

由式(15)和(16)計算的壓力損失隨分形維數(shù)、迂曲度和填充率的變化如圖5～7所示.由圖5～7可知，由式(15)和(16)計算的壓力損失吻合良好，平均偏差不超過7%，并且壓力損失均隨分形維數(shù)、迂曲度和填充率的增大而增大.

圖5　分形維數(shù)與壓力損失的關(guān)系Fig.5　The relationship between the fractal dimension and the pressure loss

圖6　迂曲度與壓力損失的關(guān)系Fig.6　The relationship between the tortuosity and the pressure loss

圖7　填充率與壓力損失的關(guān)系Fig.7　The relationship between the solid volume fraction and the pressure loss

3　結(jié)　語

針對二維隨機分布纖維過濾介質(zhì)，本文對數(shù)值模擬得到的大量數(shù)據(jù)進行了回歸分析，分別得到了二維隨機分布模型壓力損失的一般表達式和分形表達式，并與以往的研究進行了對比，顯示出較高的一致性，并得到以下結(jié)論：

(1) 二維隨機模型預(yù)測的壓力損失要低于二維規(guī)則分布模型，但略高于三維隨機模型；

(2) 壓力損失與纖維填充率呈非線性正比例關(guān)系，與纖維直徑的二次方呈反比例關(guān)系，與纖維介質(zhì)厚度及過濾速度呈線性正比例關(guān)系；

(3) 隨著分形維數(shù)和迂曲度的增大，過濾介質(zhì)的壓力損失均呈非線性增加.

[1] KUWABARA S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders of spheres in a viscous flow at small Reynolds number[J].Journal of the Physical Society of Japan, 1959, 14(4): 527-532.

[2] YAZDCHI K, SRIVASTAVA S, LUDING S. Microstructural effects on the permeability of periodic fibrous porous media[J]. Multiphase Flow, 2011, 37(8): 956-966.

[3] YAZDCHI K, SRIVASTAVA S, LUDING S. Micro-macro relations for flow through random arrays of cylinders[J]. Composites Part A, 2012, 43(11): 2007-2020.

[4] YAZDCHI K, LUDING S. Towards unified drag laws for inertial flow through fibrous materials[J]. Chemical Engineering Journal, 2012, 207/208(10): 35-48.

[5] 李巖,付海明,張健.纖維過濾介質(zhì)孔隙率及其分形維數(shù)[J].建筑熱能通風(fēng)空調(diào),2012,31(4):18-21.

[6] ZHOU D H, FAN J T, DING F. A difference-fractal model for the permeability of fibrous porous media[J]. Physics Letters A, 2010, 374(10): 1201-1204.

[7] YU B M, CHENG P. A fractal permeability model for bi-dispersed porous media[J]. Heat Mass Transfer, 2002, 45(7/8): 2983-2993.

[8] KIM J. Investigation on charge deterioration of electrically charged filter media using electric force microscopy[D]. USA: NC State University, 2005:1-169.

[9] BEAR J. Dynamics of fluids in porous media[M]. New York: Dover Publications, 1988.

[10] RAO N, FAGHRI M. Computer modeling of aerosol filtration by fibrous filters[J]. Aerosol Science and Technology, 1988,8(2): 133-156.

[11] DAVIES C N. Air filtration[M]. London: Academic Press, 1973: 1-171.

[12] JACKSON W G, JAMES F D. The permeability of fibrous porous media[J]. The Canadian Journal of Chemical Engineering, 1986, 64(3): 364-374.

A Fractal Model for the Pressure Drop of 2D Random Distribution Fiber Filter Medium

ZHANGJiea, b,FUHai-minga, b,ZHAOHong-lianga, b,LEIChen-leia, b,ZHUHuia, b

(a. School of Environmental Science and Engineering; b. State Environmental Protection Engineering

Center for Pollution Treatment and Control in Textile Industry, Donghua University, Shanghai 201620, China)

In order to study the main factors influencing the fiber filter pressure drop, the VBA program which can generate 2D random distribution fiber medium is developed and the numerical solutions of Stokes equations in the area of 2D fiber are calculated using the computational fluid dynamics(CFD) technology. Through regression analysis of the calculated data, it is concluded that the pressure drop of fiber filter medium presents nonlinear direct ratio relation with the solid volume fraction, inversely proportional relationship with the diameter of the square, linear direct ratio relation with the medium thickness and filtration velocity, and a two-dimensional random distribution fiber filter medium pressure drop prediction model is put forward. In addition, the fractal dimension and tortuosity are also considered to the influence of the filter pressure drop. It is concluded that the pressure drop of fiber medium presents nonlinear relation with the fractal dimension and tortuosity. In the end, a fractal pressure drop prediction expression is put forward. This expression has a very high consistency with the theoretical models which are obtained by different methods.

fiber filter medium; pressure drop; tortuosity; fractal dimension; random distribution

1671-0444(2015)06-0829-05

2014-09-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(51178094，41371445)；廣西教育廳科研基金資助項目(201106LX724)

張杰(1990—)，男，山東東營人，碩士研究生，研究方向為通風(fēng)空調(diào)與氣體凈化.E-mail：zhangjie1990222@126.com

付海明(聯(lián)系人)，男，高級工程師，E-mail：fhm@dhu.edu.cn

TS 179

A