一類擴展交錯級數(shù)的收斂判別法

鐘艷林（閩南理工學院，福建 泉州 362700）

一類擴展交錯級數(shù)的收斂判別法

鐘艷林
（閩南理工學院，福建 泉州 362700）

無窮級數(shù)是高等數(shù)學的重要組成部分，通過對交錯級數(shù)的擴展得到一類新的級數(shù)，對新級數(shù)加括號后并將每個括號看作一個整體就得到一個交錯級數(shù)，通過證明得出判斷新級數(shù)的判別方法。

級數(shù)；收斂；交錯級數(shù)；判別法

無窮級數(shù)是高等數(shù)學的重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質以及進行數(shù)值計算的一種重要的數(shù)學工具，在電學、力學及計算機輔助設計等方面有著廣泛的應用。無窮級數(shù)由數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩部分構成。設有數(shù)列 u1，u2，…，un，…，則式子…稱為數(shù)項級數(shù)。級數(shù)

的前n項之和為Sn，即，稱 Sn為級數(shù)的部分和，當n=1，2，…時，則得到一個部分和數(shù)列：若部分和數(shù)列的極限存在，即，則稱級數(shù)收斂，否則稱級數(shù)發(fā)散［1］。

判斷一個數(shù)項級數(shù)是收斂還是發(fā)散，我們有著名的柯西收斂原理：級數(shù)收斂的充分必要條件是：對任意給定的正數(shù)ε，總存在N，使得當n＞N時，對于任意的自然數(shù)p=1，2，…，恒成立。在一般情況下，利用級數(shù)的的定義或柯西收斂原理來判斷一個級數(shù)是否收斂通常難度較大，也有一定的局限性，因此介紹一些判斷級數(shù)是否收斂的方法就十分必要。若級數(shù)中的各項均非負，即，則稱該級數(shù)為正項級數(shù)，判斷正項級數(shù)是否收斂，我們有好多判別法，如比較判別法、達朗貝爾比值判別法、柯西判別法［2］、柯西積分判別法等［3］。若級數(shù)中正、負項交替出現(xiàn)，即其中稱該級數(shù)為交錯級數(shù)，判斷交錯級數(shù)我們有萊布尼茨判別法。本文將討論一類級數(shù)：該級數(shù)由正項和負項合成，但正項與負項不是交替出現(xiàn)，例如，這個級數(shù)第1， 2，3項為負，而第4，5，6，7，8項為正。眾所周知，對于一般的級數(shù)而言，將一個級數(shù)加括號后作成一個新級數(shù)，即使加括號后得到的新級數(shù)收斂，我們也沒辦法推出原級數(shù)是收斂的［4］，例如：級數(shù)，若將此級數(shù)第1，2項加括號，第3，4項加括號，依此類推下去得到一個新級數(shù)收斂，可原級數(shù)明顯是發(fā)散的。但如果加括號后的新級數(shù)每個括號里的項都同號且收斂的話，那原級數(shù)是否收斂呢？

定理1：若級數(shù)的項加括號后，每個括號里的所有項都有相同的符號并且收斂，則原級級數(shù)一定收斂。

收

當n（k=1，2，…）時，所有的 un的符號都相同，現(xiàn)記

Uk，現(xiàn)對原級數(shù)

又由

［1］同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學［M］.高等教育出版社，北京，（2007）

［2］楊鐘玄.正項級數(shù)斂散性的一個新判別法［J］.四川師范大學學報（自然科學版）.2005（06）：41-44.

［3］吳慧伶.正項級數(shù)收斂性判別的一個推廣［J］.麗水學院學報. 2006（05）：24-27.

［4］蘇翃；邱利瓊；王大坤；董建.一類交錯級數(shù)的收斂定理［J］.大學數(shù)學.2006（05）：143-145.

［5］范新華.關于交錯級數(shù)斂散性判別法的一些探討［J］.常州工學院學報.2007（05）：57-59.

（責任編輯：雷君）

Method of Discrimination a class series

ZHONG Yan-lin
（Minnan University of Science and Technology，Quanzhou Fujian 362700）

Infinite series is an important part of higher mathematics，through the alternating series of extensions to get a new kind of series，the new series in parentheses after each bracket as a whole will get an alternating series，through come to judge the new series prove discrimination method.

Series；Convergence；Staggered series；Method of discrimination

O29

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.03.037

1672-7304（2015）03-0089-02

鐘艷林（1980-），男，湖南衡陽人，講師，研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。

福建省中青年教師教育科研項目資助（JB14108）。