關(guān)于虛功變量的一種典型分析

朱 峰，林凱穎

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031)

0 引言

盡管磁場力可通過洛倫茲公式求得。但由于實(shí)際計(jì)算中往往遇到復(fù)雜的積分運(yùn)算，因此，通常從磁場能量出發(fā)，計(jì)算場中載流體所受磁場力更為有效，此即虛功原理［1-3］。虛功原理的應(yīng)用首先要建立廣義坐標(biāo)系，選取廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)是確定系統(tǒng)中各導(dǎo)體形狀、尺寸與位置的一組獨(dú)立幾何量。企圖改變對應(yīng)的廣義坐標(biāo)的力就是廣義力。

在能量體系確定的條件下，虛位移量的選取是運(yùn)用該方法的關(guān)鍵。對比的分析方法能使問題的本質(zhì)更加明了。本文通過一個(gè)典型例題，采取不同的物理視角，對應(yīng)了不同的虛位移參量，從而使得到的廣義力也具有不同的物理含義。另外，通常電磁場相關(guān)教材中不建立坐標(biāo)系，直接對參量進(jìn)行求導(dǎo)，使得解題顯得不規(guī)范。本文通過建立坐標(biāo)系的方法使得解題過程更加明了。該分析方法對于學(xué)生提高運(yùn)用數(shù)學(xué)能力、理解虛功原理的本質(zhì)及應(yīng)用具有一定的幫助。

1 問題的提出

設(shè)有一對長直導(dǎo)線，長導(dǎo)線回路中通有電流I1，回路中放置一不變形的線框，線框中通有電流I2，具體布局如圖1所示。線框?qū)挒閎，高為c;兩長直導(dǎo)線軸線中心相距D，線框最左邊距左導(dǎo)線中心a，導(dǎo)線半徑均為R。利用虛位移法求線框受力。

圖1 一對長直導(dǎo)線中載流框布局

2 問題的分析

2.1 基于單邊的虛位移分析

無論對線框作何種分析，我們第一步都要先建立坐標(biāo)系。如圖1所示，以一根導(dǎo)線圓心上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，橫軸為x軸，縱軸為y軸。由于左右兩邊導(dǎo)線在距左導(dǎo)線為x處產(chǎn)生的磁場應(yīng)強(qiáng)度同方向。則距左直導(dǎo)線x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

在線框處取一寬為dx的微元，外導(dǎo)線回路對線框互感磁鏈為

所以它們之間的互感系數(shù)為

因?yàn)橹豢紤]外導(dǎo)線對線框的作用，所以計(jì)算磁場能量時(shí)只需考慮互感磁鏈［6］。故可求得此時(shí)線框中的互感能量為

虛功原理的基本思想是先假設(shè)某個(gè)載流體只有一個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生變化［2］。為便于下面的分析，我們先將閉合線框分成4部分，分別為12邊，23邊，34邊以及14邊。對于12邊，其對應(yīng)的廣義坐標(biāo)為x1=a+R;同理，23邊位置表示為y1;34邊為x2=a+b+R;14邊位置表示為y2。

在坐標(biāo)系下，互感能量式(4)可表示為

以下利用虛功受力公式 fg= ?Wm/?x|I1，I2=C，即可計(jì)算各邊受力。

(1)12邊受力:由于虛功原理的基本思想就是假設(shè)除了某個(gè)載流體外其余載流體不動。所以此時(shí)線框中只有12號邊的x1發(fā)生微量變化，其余邊不動。此時(shí)的虛功變量是x1。又因?yàn)槠渌d流體的位置都不發(fā)生變化，所以此時(shí)x2、y1、y2為常量。因此，有

這里，正號表示與坐標(biāo)軸正方向相同，負(fù)號表示與坐標(biāo)軸正方向相反。式(6)表示此時(shí)線框向左受力。

(2)34 邊受力，此時(shí)虛功變量為 x2，x1、y1、y2為常量，所以

(3)對于23邊和14邊，其所受的力使邊框在y方向上移動，所以其虛功變量分別為y1、y2。即有

式(8)為正，表示此時(shí)受力向上;式(9)為負(fù)，表示此時(shí)受力向下。

為了驗(yàn)證我們得到的答案正確與否，下面用洛倫茲力驗(yàn)證。

力的方向水平向左。這與基于單邊的虛功原理求得的答案式(6)相同，所以該方法是正確的。同理，23、34、14邊也可證得有類似的結(jié)果。

2.2 基于整體移動的虛位移分析

與上面的方法不同，我們現(xiàn)選取整個(gè)線框進(jìn)行受力分析，由于線框是不變形的剛體，所以整體線框的位置可以用x=a+R(左邊框的位置坐標(biāo))，y1=y2(下邊框的位置坐標(biāo))表示。也就是說，假設(shè)整個(gè)線框可以沿某個(gè)方向發(fā)生微動。將該移動方向沿x、y方向分解，即可確定整體線框沿該方向的受力。

當(dāng)有x方向的力作用在線框上時(shí)，x為此時(shí)的虛功變量，整體框沿方向移動，則根據(jù)式(4)，有

因此，有

這恰好為式(6)和式(7)相加得到的結(jié)果，從物理意義上說，線框水平方向受力就是兩邊受力之和，驗(yàn)證了該方法的正確性。

當(dāng)有y方向的力作用在線框上時(shí)，y為此時(shí)的虛功變量，整體框沿y方向移動，則

有

這說明整框在垂直方向受力為零，而式(8)、(9)所表示的23邊、14邊受力大小相等、方向相反，疊加結(jié)果自然為零，從物理意義上說，線框垂直方向受力就是兩邊受力之和，驗(yàn)證了該方法的正確性。

此外，本方法中線框的位置也可選擇右線框的位置坐標(biāo)和上線框的位置坐標(biāo)來表示，即x=a+b+R，y=y1。分別對它們進(jìn)行求導(dǎo)，求得的結(jié)果是一樣的。

這里還需要著重指出的一點(diǎn)是，一般教材中，計(jì)算受力時(shí)直接對參量進(jìn)行求導(dǎo)。例如計(jì)算12邊受力時(shí)，運(yùn)用式(4)，應(yīng)求得的解為

但是這里存在一個(gè)問題，式(4)中有4處均有x=a+R，若都求，則求得的是式(12)，表示的是整個(gè)框的水平力，但這樣求解就出現(xiàn)錯(cuò)誤了。故筆者認(rèn)為該方法概念不明確。建立坐標(biāo)系的方法會使解題更加明了。

4 結(jié)語

通過上述兩種分析，可以看到站在不同的物理角度，虛位移量的選法不同，其對應(yīng)的力的物理含義也不同。但都遵循以下原則:

(1)參量可以有不同的物理意義，若表征各邊參量，對應(yīng)的虛功力為各邊受力;若參量表征的是整體系統(tǒng)，則受力是整體受力，且整體與各邊有著辯證關(guān)系。

(2)因?yàn)槲佣l(fā)生變化的位置坐標(biāo)為此時(shí)的虛位移量，其他為常量。單邊移動時(shí)，其他邊的位置為常量。

(3)用坐標(biāo)表示，可以使解題更加明確。

抓住這三個(gè)原則，會使學(xué)生對虛功原理的應(yīng)用更加熟練與靈活。

參考資料:

［1］ 王澤忠，全玉生，盧斌先.工程電磁場［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004

［2］ 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導(dǎo)論［M］.北京:高等教育出版社，2000

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