平面向量基本定理探討

王立軍

用向量法證明幾何問(wèn)題（未知坐標(biāo)）時(shí)，選用哪兩個(gè)向量作為基底較合理？

一、定理再現(xiàn)

如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 ，存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使。

二、定理的認(rèn)識(shí)

平面向量基本定理是向量理論中最重要的定理，是向量得以用數(shù)量進(jìn)行計(jì)算的橋梁和紐帶，是向量理論中的里程碑和標(biāo)志性定理。

三、問(wèn)題的提出

定理肯定了基底的存在性，并沒(méi)有指明如何選擇基底。在實(shí)際證明中，選擇基底時(shí)，如果選擇不當(dāng)，可能導(dǎo)致證明過(guò)程過(guò)于冗長(zhǎng);如果選擇恰當(dāng)，將會(huì)使證明過(guò)程大大縮短。那么一般情況下如何選擇恰當(dāng)?shù)幕啄兀?/p>

四、選擇基底的幾條原則

1.起點(diǎn)重合。選擇兩個(gè)起點(diǎn)重合的向量作為基底，是選擇基底的大原則。這樣選擇基底，可方便表示兩個(gè)向量的和與差。

例1.的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，且BE、CF分別為AC、AB邊上的中線，求證：。

證明：取，為一組基底，

并設(shè)，

即

2.便于表示。所取的基底必須便于表示所求向量。一般選取起點(diǎn)重合，且有已知點(diǎn)的兩個(gè)向量作為一組基底。

例2.如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)P，求證：BPCD.

證明：取為一組基底，

則

設(shè)即

………………….（1）

又設(shè)

………………….（2）

比較（1） （2）兩式，得：

從而

=0

故：

3.聯(lián)系密切。所取的基底必須于所求向量聯(lián)系密切，這樣便于表示所求向量。

例3.如圖所示，一直線交 的三邊 所在直線分別于點(diǎn)R、S、T.

求證：.

證明：取為一組基底

設(shè)

則

又

即

從而：

證畢。