濕蒸汽非平衡凝結(jié)流動的熱力學(xué)特性

韓中合，韓旭，李鵬

（華北電力大學(xué)電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 保定 071003）

引言

跨聲速非平衡凝結(jié)流動廣泛存在于航空、化工、動力、制冷等工程領(lǐng)域，在動力推進(jìn)、氣液分離、旋轉(zhuǎn)機(jī)械節(jié)能等方面有著較高的應(yīng)用價值。核電汽輪機(jī)全部級都處于濕蒸汽區(qū)，末級出口濕度可達(dá)13%，葉片在長期水蝕作用下振動特性改變，出現(xiàn)疏松的蜂窩狀組織和應(yīng)力集中現(xiàn)象[1-3]。這些問題推動了學(xué)者們對跨聲速非平衡凝結(jié)流動機(jī)理和相變理論的深入研究。

過飽和蒸汽在通過彎曲通道時不斷膨脹，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的多維效應(yīng)和邊界效應(yīng)，同時水滴成核過程中釋放出的凝結(jié)潛熱對跨聲速流動起到加熱作用。這些特點(diǎn)導(dǎo)致非平衡凝結(jié)流動與理想氣體等熵流動有很大區(qū)別，特別是出現(xiàn)了類似激波的凝結(jié)沖波[4-5]。凝結(jié)沖波與邊界層、激波、尾跡等相互耦合，從而引發(fā)了學(xué)者們的研究興趣。由于非平衡凝結(jié)相變過程十分復(fù)雜，傳熱傳質(zhì)在微米級水平發(fā)生。目前，其描述和計(jì)算都是基于半經(jīng)驗(yàn)公式，很少考慮兩相間傳熱溫差以及耦合問題。

本文在濕蒸汽凝結(jié)理論和傳熱傳質(zhì)機(jī)理的基礎(chǔ)上，對經(jīng)典成核率進(jìn)行修正，以提高計(jì)算精度；引入了描述水滴生長速率的熱質(zhì)平衡耦合模型，揭示了水蒸氣非平衡凝結(jié)過程產(chǎn)生的激波現(xiàn)象。討論了入口壓力、過冷度對凝結(jié)特性的影響。分析了跨聲速流動凝結(jié)特性隨過冷度的變化規(guī)律，得出進(jìn)口過冷度對凝結(jié)位置、激波形態(tài)、熱力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。

1 凝結(jié)流動數(shù)值模型

1.1 輸運(yùn)方程

考慮到水蒸氣快速膨脹會出現(xiàn)非平衡凝結(jié)相變，大量的小水滴彌散在氣相中，其過冷度一般可達(dá)30～40 K。由于相變出現(xiàn)，水滴和蒸汽間存在強(qiáng)烈的傳熱傳質(zhì)過程?；跉庖簝上嗟馁|(zhì)量、動量、能量守恒以及液相質(zhì)量分?jǐn)?shù)的輸運(yùn)方程，建立了凝結(jié)流動數(shù)值模型。Laval噴管穩(wěn)定流動實(shí)驗(yàn)表明，數(shù)值計(jì)算結(jié)果對邊界條件相當(dāng)敏感，在汽輪機(jī)非平衡流動中也存在類似現(xiàn)象[6-8]。

水滴半徑是凝結(jié)流動的重要參數(shù)，多數(shù)流動模型計(jì)算時一般使用平均半徑近似求解。Hill[9]通過水滴尺寸分布模型，獲得了高精度的水滴半徑分布。本文水滴尺寸分布函數(shù)由零階、一階、二階矩函數(shù)組成。3個函數(shù)分別為

平均水滴半徑為

整個系統(tǒng)的輸運(yùn)方程為

其中

若系統(tǒng)是封閉的，根據(jù)理想氣體假設(shè)

如果液相消失(即x=Q0=Q1=Q2=0)，那么系統(tǒng)將變?yōu)閱蜗蛄鲃拥亩S的歐拉方程。

1.2 表面張力修正

單位體積中的經(jīng)典成核率為

式中，θ3出現(xiàn)在成核率計(jì)算式的指數(shù)項(xiàng)，其微小變化足以對成核率產(chǎn)生很大影響。圖1給出了蒸汽溫度與成核率的關(guān)系。由圖1可知，θ相同時，成核率隨溫度升高而增加；不同溫度下，成核率曲線變化趨勢基本相同；但在大張力區(qū)域，成核率曲線的斜率越大，此時的計(jì)算精度越不易保證。文獻(xiàn)中表面張力修正一般采用以下2種方法[10]。

（1）Tolman模型考慮到r對σ的影響，得出修正模型

（2）Kashchiev模型考慮到等溫凝結(jié)、等壓凝結(jié)等情況，將Gibbs理論進(jìn)行整理，在理想氣體狀態(tài)下，推導(dǎo)出修正模型

由于Kashchiev模型是以理想氣體為條件推導(dǎo)的，而兩相凝結(jié)流動十分復(fù)雜，與理想氣體參數(shù)有很大不同，若以此修正存在一定困難。本文將采用Tolman模型對張力進(jìn)行修正。

圖1 成核率與表面張力的關(guān)系 Fig.1 Relationship between surface tension and nucleation rate

1.3 熱質(zhì)平衡耦合模型

按照氣體動力學(xué)理論，水分子對凝結(jié)核的撞擊頻率與其平均自由程以及水滴半徑有關(guān)。一般用量綱1參數(shù)Knudsen數(shù)（Kn）衡量水分子與凝結(jié)核的碰撞情況，Kn越大，凝結(jié)核相對于周圍水分子的分布情況越小[11-13]。Kn是一個控制質(zhì)量、能量流量的重要參數(shù)，根據(jù)其取值不同，可將水滴與周圍的環(huán)境組合分為3個區(qū)域[14]。

Gyarmathy等[7]基于Fick擴(kuò)散率和Fourier導(dǎo)熱率計(jì)算了Kn << 1和Kn>>1兩種極限情況下的水滴生長率。Young[15-16]基于Gyarmathy模型，根據(jù)外層與中間層的通量匹配，討論了不同Kn下的水滴生長模型，并在10～30 kPa下進(jìn)行修正，得出β為影響中間層水滴生長速率的修正因子。Peters等[17]對比了Gyarmathy模型和Young模型，并指出Gyarmathy模型較Young模型有更好的效果。Gyarmathy水滴生長率計(jì)算式為

Young水滴生長模型為

根據(jù)Maxwell模型，水滴表面的質(zhì)量交換可表示為

根據(jù)式(10)，得出水滴和蒸汽間的傳熱表達(dá)式

由于一次水滴的平均直徑基本在1 μm以下，水滴內(nèi)能變化遠(yuǎn)小于凝結(jié)換熱量，因此式(11)右端第2項(xiàng)可以忽略。熱質(zhì)平衡耦合模型為

α可由量綱1傳熱系數(shù)Nusselt數(shù)(Nu)確定

由式（10）和式（12）聯(lián)立，得出熱質(zhì)平衡耦合模型水滴生長率計(jì)算式為

熱質(zhì)平衡耦合模型同時考慮了水滴生長中的傳熱和傳質(zhì)過程，可以求解整個Kn范圍內(nèi)的水滴凝結(jié)生長過程。本模型中的水滴溫度由傳質(zhì)、傳熱方程耦合求解得出，具有較高的計(jì)算精度。

1.4 氣體狀態(tài)方程

凝結(jié)流動一般出現(xiàn)在飽和線以下較低溫度和壓力的區(qū)域，此處水蒸氣熱力學(xué)參數(shù)與理想氣體有很大差異。本文計(jì)算時采用Young提出的維里型氣體狀態(tài)方程

式中，B、C、D為二至四階維里系數(shù)。對于工程計(jì)算，二階維里方程即可滿足計(jì)算精度要求。二階維里系數(shù)B表達(dá)式

式中，τ=1500/T，a=10000.0，a1=0.0015，a2= -0.000942，a3= -0.0004882。

當(dāng)前，研究濕蒸汽跨聲速凝結(jié)流動的高分辨率差分格式主要有TVD、NND、失通量分裂格式等[18-19]。文獻(xiàn)[20]給出了兩相流動的控制矩陣，并推導(dǎo)了特征值和特征向量，運(yùn)用TVD格式、時間推進(jìn)法進(jìn)行求解。本文采用二階TVD格式對兩相流控制方程進(jìn)行離散，具有較好的激波捕獲效果。

2 非平衡凝結(jié)流動的熱力學(xué)特性

2.1 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文數(shù)值模型的可靠性，采用Tolman模型對成核率進(jìn)行修正，水滴生長率計(jì)算分別采用Gyarmathy模型、Young模型和本文模型，對Laval噴管中的蒸汽非平衡凝結(jié)流動進(jìn)行仿真，噴管型線見圖2。噴管入口直徑為8 cm，出口直徑為4.746 cm，喉部位于x=0處，噴管總長度23 cm。

圖2 Laval噴管幾何結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù) Fig.2 Geometry data of Laval nozzle

流動條件：進(jìn)口總壓P0t=87 kPa，總溫T0t= 390.15 K，出口為超聲速流動，噴管壓力分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[7]，圖3給出了噴管軸線處壓比分布。凝結(jié)沖波位置、波形與實(shí)驗(yàn)值吻合度較好，說明本文建立的數(shù)值模型是可靠的。與Gyarmathy模型和Young模型相比，本文模型僅在凝結(jié)沖波位置有所差異。Young模型的壓力突躍更加明顯，而本文模型的壓力突躍介于Gyarmathy模型和Young模型之間，因此本文模型所獲得的結(jié)果精度基本與其他模型相近。為了更好地揭示凝結(jié)沖波對兩相流的影響，圖3也給出了等熵模型的計(jì)算結(jié)果。

圖4給出了此工況主要凝結(jié)流動參數(shù)的計(jì)算結(jié)果，由圖可以看出氣液兩相參數(shù)隨蒸汽膨脹的變化規(guī)律。過熱蒸汽在Laval噴管中膨脹時，過冷度ΔT不斷提高。在噴管上游x=-1.49 cm處過冷度為0，蒸汽處于飽和狀態(tài)；在噴管下游x=1.72 cm處過冷度達(dá)到最大值36.25 K，蒸汽處于過飽和狀態(tài)，凝結(jié)突然出現(xiàn)。成核率在短時間內(nèi)由0上升到2.56×1022，水滴數(shù)目也急劇增加到1017數(shù)量級。由于凝結(jié)釋放的大量潛熱引起了凝結(jié)沖波，在較高的過冷度下水分子開始在臨界水滴表面凝結(jié)，水滴開始生長。

圖3 噴管軸線壓比與實(shí)驗(yàn)值的比較 Fig.3 Pressure ratio along nozzle axis compared with experimental value

圖4 主要凝結(jié)參數(shù)沿噴管軸線分布 Fig.4 Main condensing parameter distribution along nozzle axis

2.2 凝結(jié)流動變壓特性

為了得出影響非平衡凝結(jié)特性和凝結(jié)沖波強(qiáng)度的熱力學(xué)參數(shù)，對Laval噴管進(jìn)行變工況計(jì)算。本文共設(shè)計(jì)了7種工況，見表1。

表1 噴管進(jìn)出口參數(shù)表 Table 1 Boundary conditions for import and export of nozzle

工況1～工況3用于研究凝結(jié)沖波的變壓特性；工況3～工況7用于研究過冷度對凝結(jié)沖波的影響。變壓特性計(jì)算中取過冷度ΔT= -23 K，進(jìn)口壓力Pot分別為80、100、120 kPa，進(jìn)口溫度T0t分別為389.7、395.76、400.93 K。圖5給出了不同進(jìn)口壓力下，噴管軸線處過冷度、成核率、水滴數(shù)、Mach數(shù)分布。

對比圖5(a)、(b)可知，相同過冷度下，進(jìn)口壓力增加，凝結(jié)位置逐漸向上游移動，但移動幅度很小。3種工況的過冷度峰值相差不大，分別為36.97、35.98、35.14 K。隨著進(jìn)口壓力的增加，凝結(jié)速度加快，成核率降低，由此導(dǎo)致水滴數(shù)目減少，但水滴半徑增加。圖5(d)給出了不同進(jìn)口壓力的Mach數(shù)分布，3種工況的Mach數(shù)曲線基本重合，只是在凝結(jié)沖波附近有較大差別，進(jìn)口壓力越大，凝結(jié)沖波的強(qiáng)度也越大。

2.3 進(jìn)口過冷度特性

在2.2節(jié)的基礎(chǔ)上，對Laval噴管進(jìn)一步進(jìn)行計(jì)算，討論相同進(jìn)口壓力、不同過冷度下的濕蒸汽凝結(jié)特征。取進(jìn)口壓力Pot為120 kPa，進(jìn)口過冷度ΔT分別為-3、-8、-13、-18、-23 K，研究過冷度升高對蒸汽非平衡凝結(jié)特性的影響。

圖6給出了工況3～工況7噴管軸線處的壓比、成核率、水滴數(shù)、濕度、過冷度、Mach數(shù)分布。由圖6(a)可知，在凝結(jié)沖波出現(xiàn)之前，蒸汽壓力不斷降低，各工況壓比曲線重合；當(dāng)越過喉部后，蒸汽過冷度達(dá)到Wilson點(diǎn)并出現(xiàn)大量凝結(jié)核，大部分凝結(jié)潛熱是在成核區(qū)釋放的，同時伴隨產(chǎn)生凝結(jié)沖波，壓力在此處驟然升高。比較可知，入口過冷度越高，凝結(jié)沖波出現(xiàn)的位置越早。但是在較高過冷度下很難準(zhǔn)確預(yù)測到凝結(jié)沖波出現(xiàn)的位置，此狀態(tài)下的沖波結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的。

對比圖6(b)、(c)可知，進(jìn)口過冷度越高，成核出現(xiàn)的位置越早，成核率也相應(yīng)較小。過冷度開始下降后，成核現(xiàn)象迅速消失。

圖5 不同進(jìn)口壓力的凝結(jié)流動參數(shù) Fig.5 Condensing flow parameters of different inlet pressure

圖6 不同進(jìn)口過冷度的凝結(jié)流動參數(shù) Fig.6 Condensing flow parameters of different inlet subcooled temperature

圖6(d)給出了水滴數(shù)沿噴管中心軸線的分布情況。研究表明：進(jìn)口過冷度是影響成核率的重要熱力學(xué)參數(shù)，不同工況下的水滴數(shù)目差異較大。隨著凝結(jié)成核的發(fā)生，各工況過冷度在噴管下游迅速降到了2 K左右，并不再出現(xiàn)新的凝結(jié)核，水滴數(shù)目基本保持不變。

圖6(e)給出了各工況濕度分布，Laval噴管出口濕度隨著進(jìn)口過冷度的升高而逐漸升高。分析可知，在液相質(zhì)量分?jǐn)?shù)<0.005時，成核過程就基本完成了。由于凝結(jié)潛熱使蒸汽處于低過冷狀態(tài)，當(dāng)水滴數(shù)量趨于穩(wěn)定之后，水滴不斷生長，因此濕度仍具有緩慢的上升趨勢。

圖6(f)給出了Mach數(shù)分布，在較高的進(jìn)口過冷度下，蒸汽達(dá)到飽和狀態(tài)后會迅速凝結(jié)成核。隨著進(jìn)口過冷度的降低，蒸汽需要在Laval噴管中加速一段距離，達(dá)到較高的過冷度后，才會出現(xiàn)成核現(xiàn)象。凝結(jié)沖波出現(xiàn)后，濕蒸汽沿Laval噴管繼續(xù)高速流速，其流動規(guī)律與等熵流動相似。

3 結(jié)論

本文采用Tolman模型對經(jīng)典成核率進(jìn)行修正，引入熱質(zhì)平衡耦合模型對水滴生長速率進(jìn)行計(jì)算，分析了非平衡凝結(jié)過程激波的分布規(guī)律。討論了入口壓力、過冷度對凝結(jié)特性的影響，總結(jié)了熱力學(xué)參數(shù)對凝結(jié)位置、激波形態(tài)、流動參數(shù)的影響規(guī)律。并得出以下結(jié)論。

（1）相同進(jìn)口過冷度下，隨著進(jìn)口壓力增加，凝結(jié)位置逐漸向上游移動，成核率降低，水滴數(shù)目減少，但水滴半徑增加。

（2）當(dāng)總壓為120 kPa時，隨著過冷度由-3 K下降到-23 K，凝結(jié)位置逐漸向噴管下游移動，成核率也增加了1個數(shù)量級。

（3）進(jìn)口壓力相同時，Laval噴管出口濕度隨著進(jìn)口過冷度的升高而逐漸升高，當(dāng)水滴數(shù)量趨于穩(wěn)定之后，濕度仍具有緩慢的上升趨勢。

符號說明

a0——單個氣體分子的表面積，m2

cp——?dú)怏w比熱容，J·kg-1·K-1

e ——單位體積的能量密度，kJ·m-3

hfg——汽化潛熱，kJ·kg-1

J ——單位體積成核率, (m3·s)-1

Kn ——Knudsen數(shù)

M ——水滴質(zhì)量，kg

m ——單分子的質(zhì)量，kg

N ——單位質(zhì)量蒸汽水滴數(shù)

Nu ——Nusselt數(shù)

Prg——Prandtl數(shù)

P ——蒸汽實(shí)際壓力，Pa

q ——凝結(jié)系數(shù)

R ——理想氣體常數(shù)，J·(mol·K)-1

rc——水滴的半徑，m

S ——過飽和度

Tr——水滴溫度，K

ΔT ——過冷度，K

u ——軸向速度，m·s-1

v——徑向速度，m·s-1

α ——水滴與蒸汽傳熱系數(shù)，W·(m2·K)-1

γ ——蒸汽比熱容比

δ ——Tolman長度，m

ζ ——傳質(zhì)系數(shù)，m·s-1

θ ——量綱1表面張力

λg——蒸汽的熱導(dǎo)率，W·(m·K)-1

μ ——水滴生長半經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)

ρ ——密度，kg·m-3

σ0——液體表面張力，N·m-1

下角標(biāo)

c——臨界狀態(tài)

g——?dú)庀?/p>

i——第i個水滴

l——液相

s——飽和狀態(tài)

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