探究“雪花”曲線

張志勇

美麗的分形是大自然景物的抽象，它無(wú)比豐富的細(xì)節(jié)、絢麗多彩的結(jié)構(gòu)常令我們流連忘返，圖1中的科赫（Koch）雪花曲線等給我們以美的遐想。分形在多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如物理中的湍流、化學(xué)中的高分子鏈、天文學(xué)中的星團(tuán)分布、地理學(xué)中的河流與水系、生物學(xué)中的全息現(xiàn)象……

下面我們要探究的是美麗的分形背后的數(shù)學(xué)身影。

首先，我們來(lái)了解一點(diǎn)分形的科普小知識(shí)，提及分形，首先要涉及的是其自相似性，所謂自相似性即是指局部是整體成比例縮小的性質(zhì)，通俗一點(diǎn)，就是當(dāng)用不同倍數(shù)的照相機(jī)拍攝研究對(duì)象時(shí)，無(wú)論放大倍數(shù)如何改變，看到的照片都是相似的，由此，你能想象Koch雪花曲線的自相似性嗎？

雪花曲線由瑞典數(shù)學(xué)家科赫于1904年構(gòu)造，因?yàn)榭崴蒲┗?，所以叫“雪花曲線”，其構(gòu)造規(guī)律是這樣的：從圖2-1所示的等邊三角形開(kāi)始（稱(chēng)為初始元），將三角形的每條邊三等分，并在每條邊三分后的中段向外作新的等邊三角形（舍去中間的一段，保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為60°的兩個(gè)等長(zhǎng)的直線段，如圖2-2），再細(xì)分便得到圖2-3……不斷重復(fù)這樣的過(guò)程，隱去不要的部分，便可得到圖1所示的雪花曲線。