基于多尺度漸進(jìn)均勻化理論手性瓦聲學(xué)性能計(jì)算

杜志鵬，劉東岳，朱大巍，黃修長(zhǎng)

（1.海軍裝備研究院，北京100073；2.上海交通大學(xué)　振動(dòng)沖擊噪聲研究所　機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

基于多尺度漸進(jìn)均勻化理論手性瓦聲學(xué)性能計(jì)算

杜志鵬1，劉東岳1，朱大巍2，黃修長(zhǎng)2

（1.海軍裝備研究院，北京100073；2.上海交通大學(xué)振動(dòng)沖擊噪聲研究所機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

基于多尺度漸進(jìn)均勻化理論，建立手性結(jié)構(gòu)瓦的等效彈性常數(shù)計(jì)算方法。給出多尺度均勻化方法的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)對(duì)比二維手性結(jié)構(gòu)瓦基于所獲得的等效彈性常數(shù)振動(dòng)傳遞結(jié)果和詳細(xì)手性結(jié)構(gòu)建模的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證該方法的正確性。利用得到的彈性常數(shù)計(jì)算某加筋板敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的水下輻射聲壓，該計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果量級(jí)基本一致。這表明多尺度漸進(jìn)均勻化得到的等效彈性常數(shù)能夠用于實(shí)艇敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的隔聲計(jì)算，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

聲學(xué)；多尺度漸進(jìn)均勻化理論；手性結(jié)構(gòu)瓦；聲學(xué)性能計(jì)算

工程中，需要對(duì)實(shí)艇敷設(shè)聲學(xué)覆蓋層后的聲學(xué)效果進(jìn)行預(yù)報(bào)。但是由于實(shí)船/實(shí)艇結(jié)構(gòu)尺度較大，敷設(shè)聲學(xué)覆蓋層的面積大，而在計(jì)算時(shí)，由于實(shí)船的尺度和覆蓋層的尺度相差較大，若對(duì)實(shí)船和覆蓋層同時(shí)進(jìn)行網(wǎng)格劃分來(lái)模擬，則計(jì)算代價(jià)較大。在所關(guān)注的頻段內(nèi)，聲學(xué)性能取決于所表現(xiàn)出來(lái)的宏觀聲學(xué)和力學(xué)參數(shù)，這為采用等效化方法對(duì)實(shí)艇敷設(shè)聲學(xué)覆蓋層的聲學(xué)性能進(jìn)行預(yù)報(bào)提供了可行性。

在材料的均勻化研究方面，Hassani和Hinton［1，2］給出等效化基礎(chǔ)理論，分析等效化理論在不同周期結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，推導(dǎo)出不同周期結(jié)構(gòu)的等效化有限元計(jì)算公式。邱克鵬等［3］應(yīng)用二次及多步均勻化方法計(jì)算蜂窩夾層板的整體等效彈性參數(shù)，表明三維均勻化方法的有效性。王飛等［4］基于均勻化和有限元理論推導(dǎo)出二維周期結(jié)構(gòu)的均勻化有限元格式，研究蜂窩結(jié)構(gòu)的等效化彈性參數(shù)并和已有的理論結(jié)果進(jìn)行比較。孫士平和賴余東［5］基于均勻化理論分析不同蜂窩尺寸對(duì)夾芯板性能的影響。

本文基于多尺度漸進(jìn)均勻化理論，建立手性周期結(jié)構(gòu)瓦二維等效彈性常數(shù)的計(jì)算方法，并通過(guò)多種手段對(duì)等效結(jié)果的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1　理論模型的建立

手性結(jié)構(gòu)瓦滿足周期性均勻分布條件，其結(jié)構(gòu)和單胞如圖1所示。細(xì)觀尺度的單胞結(jié)構(gòu)和宏觀尺度的手性瓦數(shù)量級(jí)差異極大。單胞結(jié)構(gòu)與宏觀尺度比較而言是極小量，在宏觀x尺度，材料的特征函數(shù)振蕩劇烈；在細(xì)觀y尺度，材料的特征函數(shù)變化平緩。引入ε連接細(xì)觀和宏觀尺度：ε×y=x。

圖1　手性周期結(jié)構(gòu)瓦及其單胞結(jié)構(gòu)

以具有周期單元結(jié)構(gòu)Y的復(fù)合材料為例，假設(shè)在空間坐標(biāo)系x處存在單胞Ω，邊界為S，分別受體力f和面力t作用?？紤]線彈性范圍內(nèi)虛位移方程

式中uε為宏觀尺度下真實(shí)位移，v是滿足邊界條件的任意虛位移。uε利用漸進(jìn)均勻化理論展開(kāi)得

對(duì)任意材料特征函數(shù)g=g（x，y）=g（x，x/ε）兩邊微分，則，將其代入方程（1）得

觀察方程（3）和（1）的形式，可知

對(duì)于Y-periodic的函數(shù)g（y），當(dāng)ε→0時(shí)存在

假定方程曲線充分光滑，當(dāng)ε→0積分存在可得

對(duì)方程（10）利用散度定理，可得

考慮到v的任意性

由此可知u0與細(xì)觀尺度無(wú)關(guān)，則u0（x，y）=u0（x），即uε僅是宏觀坐標(biāo)x的函數(shù)，方程（2）可轉(zhuǎn)化為

考慮到v的任意性，對(duì)方程（3），假設(shè)v=v（y）

分別假設(shè)v=v（x）和v=v（y），方程轉(zhuǎn)化為

由方程（13）可見(jiàn)u0描述了材料宏觀尺度的位移；由方程（16）可見(jiàn)u1描述了細(xì)觀尺度的位移；方程（13）說(shuō)明了u1與u0之間的直接函數(shù)關(guān)系，引入

是廣義位移，具有周期性特征，連接宏觀尺度與微觀尺度，是細(xì)觀結(jié)構(gòu)的1階位移場(chǎng)；上標(biāo)k、l表示宏觀坐標(biāo)方向，下標(biāo)p表示微觀坐標(biāo)方向表示宏觀k-l方向變形后，細(xì)觀p方向的變形

將方程（19）代入方程（16）得

方程（1）和方程（18）的形式一致。由對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等得

當(dāng)i=j=1及i=j=2時(shí)，方程（21）分別轉(zhuǎn)化為

對(duì)方程（22）進(jìn)行化簡(jiǎn)

式24化簡(jiǎn)為

引入有限元法節(jié)點(diǎn)形函數(shù)來(lái)描述單胞結(jié)構(gòu)

式中A表示n個(gè)節(jié)點(diǎn)按節(jié)點(diǎn)順序的集合。式（25）為

對(duì)方程（23）進(jìn)行化簡(jiǎn)

當(dāng)i=j=1時(shí)

當(dāng)i=j=2時(shí)

當(dāng)i=1，j=2時(shí)

合并方程（28）、（29）、（30）、（31）、（34）得

位移函數(shù)必須在單元內(nèi)連續(xù)，在相鄰兩單元的公共邊界上協(xié)調(diào)。如圖2所示，單胞結(jié)構(gòu)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)邊界點(diǎn)上，廣義位移必滿足周期性邊界條件

圖2　矩形瓦的單胞模型

對(duì)于二維問(wèn)題，將（36）、（37）代入方程（34），即可由方程（35）求得周期結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)參數(shù)。

2　數(shù)值算例

2.1矩形瓦等效化模型求解及驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建立的等效化方法正確性，將理論計(jì)算的結(jié)果和已有文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。分析對(duì)象如圖2所示，單胞尺寸1 m×1 m，方孔0.4 m×0.6 m，材料參數(shù)：D11=30，D22=30，D12=D66=10。根據(jù)上述方法，建立單胞的有限元模型，提取單元信息和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)信息，利用MATLAB數(shù)學(xué)工具編寫(xiě)均勻化理論程序，計(jì)算結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)參數(shù)，得到等效彈性模量：D11=13.014 8，D22=17.552 3，D66=2.784 9，D12=3.241 0，和文獻(xiàn)［2］中的計(jì)算結(jié)果吻合（Table1：D11= 12.820，D22=17.407，D66=2.634，D12=3.124）（單位為N/m2）。

2.2手性瓦等效化模型求解及驗(yàn)證

利用有限元軟件ANSYS建立手性結(jié)構(gòu)瓦單胞模型，劃分網(wǎng)格，如圖3所示。根據(jù)漸進(jìn)均勻化理論，可計(jì)算出手性結(jié)構(gòu)等效化力學(xué)參數(shù)：D11=3.191 4× 106，D12=1.320 8×106，D21=1.320 8×106，D22=3.105 7× 106，D66=8.282 9×105（單位為N/m2）。由此得等效化后的材料參數(shù)

圖3　手性結(jié)構(gòu)抗沖瓦的單胞結(jié)構(gòu)

為驗(yàn)證等效參數(shù)的有效性，建立空氣中二維加筋板敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的動(dòng)力學(xué)模型。將得到的等效參數(shù)代入等效模型計(jì)算聲輻射，并與實(shí)際結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。模型及等效模型如圖4所示。等效瓦模型中，沒(méi)有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，材料參數(shù)采用各向異性的等效材料參數(shù)代入。手性結(jié)構(gòu)瓦芯層材料參數(shù)為：彈性模量5×109Pa，泊松比0.48，密度1 100 kg/ m3。瓦的濕表面材料參數(shù)為：彈性模量1×109Pa，泊松比0.48，密度1 430 kg/m3。加筋板材料參數(shù)為：彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3，密度7 850 kg/m3。加筋板幾何參數(shù)為：長(zhǎng)0.8 m，加筋板厚3 mm，手性瓦厚度為5 cm，瓦濕表面面板厚度為6 mm。在加筋板上X=0 m、0.25 m、0.55 m和0.8 m處約束UX和UY方向位移，在X=0.45 m處施加Y方向單位力。

圖5是手性結(jié)構(gòu)瓦等效瓦模型和手性結(jié)構(gòu)瓦二維模型在空氣中的聲輻射功率曲線圖?？梢?jiàn)，低頻4 Hz～0.5 kHz內(nèi)兩者吻合較好；在0.5 k Hz～2.5 k Hz和3 kHz～4 kHz內(nèi)，趨勢(shì)一致且幅值大致相同；在2.5 kHz～3 kHz內(nèi)趨勢(shì)大致相同但幅值相差較大。等效化模型的共振峰值點(diǎn)少于實(shí)際結(jié)構(gòu)的幅值點(diǎn)，說(shuō)明等效化減少了原結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)。

圖4　敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦和等效瓦的加筋板模型

圖5　手性瓦和等效瓦的敷瓦板聲輻射功率級(jí)曲線

2.3敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的加筋板水下聲學(xué)性能計(jì)算

下面對(duì)一敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的加筋板聲學(xué)性能進(jìn)行計(jì)算。加筋板幾何尺寸如圖6所示，面板被兩個(gè)橫向以及兩個(gè)縱向加強(qiáng)筋所約束［6］。

圖6加筋板尺寸示意圖

圖7是敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦水中聲輻射的三維有限元模型。建立該模型時(shí)手性結(jié)構(gòu)瓦采用等效瓦處理。

圖8是0～4 kHz內(nèi)敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦加筋板水下聲輻射聲壓的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值［7］的曲線?？梢?jiàn)，計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值的變化趨勢(shì)相同，數(shù)值方面有一定的差距，但可以基本反映輻射聲壓的大小。手性結(jié)構(gòu)瓦內(nèi)部振動(dòng)復(fù)雜，存在復(fù)雜的阻尼機(jī)制，在ANSYS計(jì)算中采用的阻尼值比實(shí)際值低，這是計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值在峰值處有差別的原因所在。

圖7　敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦的加筋板ANSYS有限元模型

圖8　敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦加筋板某場(chǎng)點(diǎn)水下輻射聲壓比較

3　結(jié)語(yǔ)

通過(guò)研究，可以得到以下結(jié)論：

（1）所建立的手性結(jié)構(gòu)瓦等效化模型能夠較好地模擬實(shí)際手性結(jié)構(gòu)瓦的振動(dòng)特性，能用于實(shí)艇敷設(shè)手性結(jié)構(gòu)瓦后的聲學(xué)性能計(jì)算；

（2）為了更好地模擬實(shí)際手性結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)一步考慮手性結(jié)構(gòu)瓦的阻尼效果；

（3）多尺度漸進(jìn)均勻化理論可以對(duì)其它具有周期結(jié)構(gòu)性質(zhì)的覆蓋層進(jìn)行分析。

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Acoustic Performance Evaluation of Chiral Layer Coating Based on Multi-scaleAsymptotic Homogenization Theory

DU Zhi-peng1，LIU Dong-yue1，ZHU Da-wei2，HUANG Xiu-chang2
（1.Naval Research Center，Beijing 100073，China；2.Institute of Vibration，Shock and Noise，State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Based on the multi-scale asymptotic homogenization theory，the equivalent elastic constants algorithm for the chiral layer coating was established.The detailed deduction of the multi-scale asymptotic homogenization method was given. Numerical results were presented to validate the method by comparing the vibration transmission results for a planar chiral layer coating with those calculated by modeling the detailed chiral structure.The proposed method was then employed to calculate the acoustic radiation of a stiffened plate covered by the chiral layer coating.It is demonstrated that the results by employing the equivalent constants algorithm based on the multi-scale asymptotic homogenization theory have a good agreement with the experimental results.The multi-scale asymptotic homogenization method is an effective method which can be applied to evaluate the acoustic performance of chiral layer coating.

acoustics；multi-scale asymptotic homogenization theory；chiral layer coating；acoustic performance

O328；O329

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.038

1006-1355（2015）05-0180-05

2014－12－05

杜志鵬（1976－），男，大連人，博士，主要研究方向：水面艦船抗沖瓦研究。

E-mail:dzp7755@sina.com