基于粒子群優(yōu)化算法的Jiles-Atherton磁滯模型參數(shù)計算*1

郝曉亮， 葉美盈

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

基于粒子群優(yōu)化算法的Jiles-Atherton磁滯模型參數(shù)計算*1

郝曉亮， 葉美盈

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

粒子群優(yōu)化算法是一種模擬鳥群捕食行為的群體智能算法，該算法具有簡潔、易于實現(xiàn)、沒有太多調(diào)整參數(shù)及不需要梯度信息等特點，且在大多數(shù)情況下可快速收斂于最優(yōu)解．為了描述材料的磁滯特性，提出了一種粒子群優(yōu)化算法結合MATLAB/Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境的Jiles-Atherton磁滯回線模型參數(shù)計算方法，并分別以無噪及加噪的仿真數(shù)據(jù)對2組參數(shù)值不同的Jiles-Atherton磁滯回線模型進行了數(shù)值實驗．結果表明，將粒子群優(yōu)化算法及MATLAB/Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境應用于Jiles-Atherton磁滯模型的參數(shù)計算是有效的．

磁滯回線；粒子群優(yōu)化算法；磁滯模型；參數(shù)計算

0 引 言

磁滯現(xiàn)象是物理系統(tǒng)和電磁設備中常見的一種非線性特性，它對設備是否能穩(wěn)定運行和系統(tǒng)的安全運轉起著重要的作用．例如硅鋼片的磁滯特性對變壓器偏磁飽和時的運行性能有很大的影響．因此，了解和分析磁滯特性具有重要意義．

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)建立磁滯模型，并以此進行數(shù)值模擬是研究磁滯特性的重要內(nèi)容之一．目前,研究者已提出了多種描述磁滯現(xiàn)象的模型，常見的有：Bouc-Wen磁滯模型[1-3]、Preisach磁滯模型[4]、Jiles-Atherton(JA)磁滯模型[5]．其中，Bouc-Wen磁滯模型的缺點是各參數(shù)之間的關系不直觀，物理意義不明確，且表達式以導數(shù)或微分形式出現(xiàn)，增大了系統(tǒng)的維數(shù)，使分析的難度加大[6]．Preisach磁滯模型則是一種偏數(shù)學意義的模型，Preisach權重函數(shù)的確定及相關參數(shù)的實驗測量難度較大，以致求解困難[7-9]，且數(shù)學表達式也太過復雜．Preisach磁滯模型的另一缺陷是:若考慮各向異性、頻率諸因素，Preisach模型將變得極為復雜，從而給數(shù)值計算和計算機編程等帶來諸多麻煩．JA磁滯模型是依據(jù)物理機理推導而得的一種模型，該模型具有清晰的物理意義，能夠真實地描述磁場強度H與磁感應強度B之間(即B-H)的非線性關系，通過求解JA磁滯模型方程能得到準確的B-H磁滯回線，且參數(shù)也相對較少，特別適用電磁器件的分析[10-11]．因此，JA磁滯模型是目前最為常用的一種磁滯模型[5]．

值得注意的是，在建立JA磁滯模型的過程中，雖然模型參數(shù)的近似值只需要借助飽和磁滯回線的測量數(shù)據(jù)即可獲得，但因磁滯非線性的復雜性，如何精確計算這些參數(shù)一直是個不易解決的關鍵問題．在過去幾十年里，許多傳統(tǒng)的非線性優(yōu)化方法已被用于解決JA模型參數(shù)計算問題,然而這些優(yōu)化方法易受初始值選擇的影響，尋優(yōu)過程易陷入局部極?。疄榱丝朔@一缺點，近年來迅速發(fā)展的智能優(yōu)化算法吸引了人們的注意，例如，遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)因其良好的全局收斂特性，易于得到比傳統(tǒng)優(yōu)化方法更好的參數(shù)計算結果．文獻[12-19]已成功地將遺傳算法應用于JA模型的參數(shù)計算，但GA算法的“早熟”現(xiàn)象及接近最優(yōu)點收斂較慢的問題限制了其進一步推廣應用[3]．

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法是基于觀察動物的社會行為，例如模擬鳥類、魚群、蟻群捕食行為的智能優(yōu)化算法，該算法最早由美國電氣工程師Eberhart和社會心理學家Kennedy于1995年提出[20]．相比于GA算法，PSO算法有一些更吸引人的特性[21]，其主要特點是具有記憶，因而好的解決方案信息易被保留至下一代.而在GA算法中，先前的信息會隨著種群的改變而破壞．此外，PSO算法得益于粒子間的合作，種群中的粒子之間可相互共享信息．目前，PSO算法在眾多鄰域都引起了很大的關注，已在醫(yī)療診斷[22]、神經(jīng)網(wǎng)絡訓練[23]、太陽能電池參數(shù)提取[24]、電氣設備的功率反饋和電壓控制[25]、機器人路徑規(guī)劃[26]等方面獲得了廣泛應用．為了得到更有效的JA磁滯模型建模方法，本文嘗試在MATLAB/Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境中，將PSO算法應用于JA磁滯模型的參數(shù)計算,通過Simulink動態(tài)仿真JA模型，并應用PSO算法最小化磁感應強度的實驗值和計算值之間的差別,指導JA模型的參數(shù)向真值逼近．

1 JA模型

JA模型考慮了實際材料受雜質(zhì)、非磁性包含物、不均勻壓力及顆粒、孔洞等因素的影響，將磁化強度分解為不可逆磁化分量和可逆磁化分量2部分．其中:不可逆磁化分量緣于疇壁取代，即釘扎的阻礙作用；而可逆磁化分量則緣于疇壁彎曲，從而得到了關于磁滯現(xiàn)象的一個簡單微分表達式．JA模型參數(shù)較少,僅有一個一階微分方程,計算量低，并且包含了磁滯現(xiàn)象的主要特征：初始磁化曲線、飽和磁化曲線、矯頑力、剩磁和磁滯損耗等．

設JA模型的不可逆磁化分量為Mirr，可逆磁化分量為Mrev，則總磁化強度為

M=Mirr+Mrev. (1)

式(1)中的不可逆磁化分量Mirr滿足微分方程

式(2)中：H為磁場強度；Man為非磁滯磁化強度；α為平均場參數(shù)；k為釘扎阻礙作用引起的磁滯損失參數(shù)；μ0為真空磁導率；δ為方向系數(shù)．式(2)中的δ與dH/dt有關，當dH/dt>0時(H向正方向增加)，δ=1，而當dH/dt<0時(H向負方向增加)，δ=-1．式(2)中的Man可表示為

式(3)中：a為形狀參數(shù)；Ms為飽和磁化強度；He為有效磁場強度且滿足

由于非磁滯磁化位移而導致2個釘扎之間疇壁的膨脹，式(1)中的可逆磁化分量Mrev可表示為

Mrev=c(Man-M). (5)

式(5)中，c為磁疇壁彎曲常數(shù).對式(5)求微分，可得

由式(1)、式(2)、式(6)可得到JA模型磁化強度的微分表達式

式(7)中共涉及5個參數(shù)：c,k,α,a,Ms．這些參數(shù)共同決定了初始磁化曲線及磁滯回線的形狀特性．

為了得到B-H磁滯回線，需算得磁感應強度B．若已知磁場強度H及磁化強度M，則磁感應強度B為

B=μ0(H+M). (8)

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算式(7)中的5個參數(shù)，本質(zhì)上是求解優(yōu)化問題．本文采用粒子群優(yōu)化算法計算這些參數(shù)．計算時，衡量優(yōu)化性能優(yōu)劣的目標函數(shù)定義為

式(9)中：SV為磁感應強度B的實驗值；OV為磁感應強度B的計算值；N為實驗數(shù)據(jù)的個數(shù)．計算時通過最小化磁感應強度B的實驗值和計算值之間的差別,指導JA模型的5個參數(shù)向真值逼近．在本文的數(shù)值實驗中，將以仿真值替代實驗值．

2 PSO算法基本原理

基本PSO算法初始化時，首先隨機產(chǎn)生一群粒子(隨機解)，迭代過程中每個粒子在搜索空間中“飛翔”．在每個具體的時刻，每個粒子都有一個位置矢量和速度矢量，其維數(shù)代表了問題解空間的維數(shù)．若第i個粒子的位置和速度分別記為Xi，Vi，并假設問題的搜索空間是一個d維空間，則粒子的位置和速度可以表示為：Xi=[xi1,xi2,…,xid]，Vi=[vi1,vi2,…,vid]．

在迭代過程中，粒子通過跟蹤2個“極值”不斷調(diào)整自己的位置，進行更新．第一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個解被稱為“個體極值”或個體最優(yōu)解，第i個粒子的個體最優(yōu)解記為Pi=[pi1,pi2,…,pid]；另一個極值是整個種群目前所找到的最優(yōu)解，稱為“全局極值”或“全局最優(yōu)解”，記為Pg=[pg1,pg2,…,pgd]．粒子根據(jù)式(10)來更新自己的速度和位置：

(10)

式(10)中：t為當前迭代次數(shù)；c1,c2為常數(shù)，稱為加速因子；r1,r2為[0,1]的隨機數(shù)；w稱為慣性因子．第j維的位置和速度變化范圍分別為[-xj,max,xj,max]和[-vj,max,vj,max]，迭代中若某一維的xi,j或vi,j超過邊界則可取邊界值．

3 JA磁滯模型的參數(shù)計算

為了計算JA模型的參數(shù)，本文建立了基于MATLAB/Simulink的JA模型參數(shù)計算仿真平臺．在該平臺中，JA磁滯模型參數(shù)與B-H磁滯回線之間的關系由Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境構成的仿真模型確定，即在PSO方法優(yōu)化程序運行過程中，只要提供磁滯模型的5個參數(shù)(c,k,α,a,Ms)，就可以由Simulink仿真模型精確算得B-H磁滯回線數(shù)據(jù)．考慮式(7)是對磁場強度H求微分的表達式，因此,對其兩邊同乘dH/dt，得

由此可將式(7)轉化為對時間的微分．所以根據(jù)式(11),JA模型可由Simulink進行與時間相關的動態(tài)仿真．在Simulink動態(tài)仿真JA模型時，采用計算精度較高的4階龍格-庫塔(Runge-Kutta)法求解，時間步長為0.005 s，激勵信號頻率為5 rad/s．

在利用本文提出的PSO方法計算JA模型參數(shù)時，種群中的每一個粒子被視為JA模型參數(shù)的一個潛在解，因此,第i個粒子的位置可表示為xi(ci,ki,αi,ai,MSi)，即每個粒子的位置和速度的維數(shù)都是5維的．在計算過程中，以目標函數(shù)式(9)作為PSO方法的適應度函數(shù)，通過PSO方法自動調(diào)節(jié)5個參數(shù)的值，使磁感應強度B的實驗值(或仿真值)與計算值的偏差最小，從而實現(xiàn)對JA模型參數(shù)的計算，得到磁滯回線．

以下是應用PSO及MATLAB/Simulink計算JA模型參數(shù)的步驟：

1)設定PSO算法的控制變量，包括種群規(guī)模、慣性因子、最大迭代次數(shù)、模型參數(shù)的維數(shù)及搜索空間等;

2)隨機產(chǎn)生模型參數(shù)的初始值，即初始化群體中各粒子的位置和速度；

3)調(diào)用Simulink形式的JA模型，按式(9)計算粒子的適應度，若得到更優(yōu)的pij和pgj，則更新并保存當前的最優(yōu)值；

4)依照式(10)更新每個粒子的速度和位置；

5)若未能達到預先設定的最大迭代次數(shù)，則返回3)；否則停止運算，并輸出最優(yōu)的適應度值(即目標函數(shù)值)及對應的優(yōu)化模型參數(shù)值.

4 數(shù)值實驗結果與討論

本文數(shù)據(jù)實驗中所用的JA模型參數(shù)真值分別來源于文獻[27]與[28]．其中，文獻[27]給出的是一組低碳鋼SAE1010環(huán)形材料(內(nèi)徑60 mm，外徑79.04 mm，高度9.52 mm)的JA模型參數(shù)集(以下稱參數(shù)集1)；而由文獻[28]給出的則是一組碳化鐵(Fe3C)材料對應的JA模型參數(shù)集(以下稱參數(shù)集2)．在本文的JA模型參數(shù)計算數(shù)值實驗中，參數(shù)集1的采樣點數(shù)為261個，磁場強度H的最大值為2 600 A/m；參數(shù)集2的采樣點數(shù)為361個，磁場強度H的最大值為6 100 A/m．本文分別在仿真數(shù)據(jù)無噪和加噪2種情況下，驗證了PSO方法計算JA磁滯回線模型參數(shù)的可行性．

對于PSO的控制變量，本文取種群規(guī)模PS=50，最大迭代次數(shù)tmax=500，5個模型參數(shù)的搜索空間均設定為其真值附近±100%以內(nèi)的區(qū)域．仿真數(shù)據(jù)無噪時，對于參數(shù)集1，取w=1，c1=c2=2；而參數(shù)集2，則取w=0.6，c1=c2=1.7．仿真數(shù)據(jù)加噪時，w在迭代過程中均由0.9到0.4呈線性下降，并取c1=c2=2．

4.1仿真數(shù)據(jù)無噪時的參數(shù)計算

此時，通過直接將參數(shù)集1或參數(shù)集2加入Simulink的JA模型，并求解該模型即可得到無噪的仿真數(shù)據(jù)序列．

在用無噪仿真數(shù)據(jù)計算JA模型參數(shù)時，理論上目標函數(shù)最小值應該為0，即式(9)中磁感應強度B的仿真值與計算值應相等．這種情況下可認為計算所得的最優(yōu)JA模型參數(shù)與產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)所用的參數(shù)集1或參數(shù)集2相同(實際因數(shù)值計算誤差會略有不同)．因此，可以通過無噪仿真數(shù)據(jù)的數(shù)值實驗觀測PSO方法的計算精度．

圖1(a)與(b)分別是以參數(shù)集1、2利用無噪仿真數(shù)據(jù)時PSO方法JA模型參數(shù)計算所得的磁滯特性．比較圖1中的磁滯回線與原始無噪仿真數(shù)據(jù)，可見無論是參數(shù)集1還是參數(shù)集2，對于無噪仿真數(shù)據(jù)，兩者均能很好地吻合．圖2(a)與(b)則分別展現(xiàn)了PSO方法在參數(shù)集1、2的JA模型參數(shù)計算過程中，目標函數(shù)值F隨迭代次數(shù)t的變化情況，可見PSO方法能快速收斂．相關的JA模型參數(shù)真值與PSO計算值的比較列于表1，顯然模型參數(shù)的計算值與真值幾乎一致．特別地，表1所列參數(shù)集1對應的計算值與真值完全相同(實際上若數(shù)據(jù)位數(shù)取足夠多，兩者仍會略有差異)．

圖1 無噪仿真數(shù)據(jù)時PSO方法JA模型參數(shù)計算的磁滯特性

應用無噪仿真數(shù)據(jù)以4種PSO程序運行模式計算JA模型參數(shù)的結果列于表2．其中程序運行的時間tp與軟硬件環(huán)境有關，本文數(shù)值實驗所用的計算機配置：CPU為INTEL雙核酷睿2，內(nèi)存為2 GB，操作系統(tǒng)為Windows 7/64位，MATLAB為R2010a版本．由表2可知：對于無噪仿真數(shù)據(jù)，不同情況的參數(shù)計算耗時tp相差并不大，均不需花太多的時間，且計算結束時，目標函數(shù)值F除參數(shù)集2在PSO程序Model=0和3時略差些(說明正確選擇PSO算法的控制參數(shù)是有必要的)，其余情況均很?。傊瑧肞SO方法在大多數(shù)情況下都可得到誤差較小的計算結果．

圖2 無噪仿真數(shù)據(jù)時PSO方法目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化

表1 JA模型參數(shù)真值與無噪仿真數(shù)據(jù)時PSO計算值的比較

表2 無噪仿真數(shù)據(jù)時PSO在不同模式下對JA模型參數(shù)集1、2計算結果的比較

4.2仿真數(shù)據(jù)加噪時的參數(shù)計算

考慮到在測量B-H磁滯數(shù)據(jù)的物理實驗時不可避免地會受到來自測量儀器本身的誤差及外部環(huán)境干擾等因素的影響，以致實際得到的B-H實驗數(shù)據(jù)并不“純凈”，其中必定包含測量噪聲．因此，筆者在此增加了仿真數(shù)據(jù)加噪后的數(shù)值實驗，以進一步驗證PSO方法的有效性．

設在無噪數(shù)據(jù)序列上所疊加的測量噪聲為

式(12)中：r為一組數(shù)據(jù)個數(shù)與無噪數(shù)據(jù)序列相同的、均值為0、方差與標準差均為1的正態(tài)分布隨機數(shù);Ne則表示所疊加的噪聲水平．在以下數(shù)值實驗中分別取Ne=0.015及0.030，以檢驗不同測量噪聲水平的影響．

仿真數(shù)據(jù)加噪后應用PSO方法計算JA模型參數(shù)獲得的磁滯特性見圖3．由圖3(a)～(d)可看出：參數(shù)集1、2的磁滯回線與加噪后的仿真數(shù)據(jù)吻合程度有所降低，顯然噪聲水平越高,兩者的差異就越大，但即使Ne=0.030,其誤差在工程上也仍可接受．可見無論是參數(shù)集1還是參數(shù)集2，即使對于加噪仿真數(shù)據(jù)，兩者均能很好地吻合.

圖4是仿真數(shù)據(jù)加噪后目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化情況，表明此時PSO算法仍能比較快地收斂．表3列出了仿真數(shù)據(jù)加噪后PSO方法的JA模型參數(shù)計算結果．由表3可知，加噪后磁滯模型中的4個參數(shù)k,α,a,Ms的計算值與真值仍然接近，但參數(shù)c對計算誤差比較敏感，計算值與真值偏離較大．比較表1～表3，總體來說仍是噪聲水平越高,誤差越大，其原因不難理解，仿真數(shù)據(jù)加噪后目標函數(shù)值必然大于0．根據(jù)表3可知，加噪后對計算耗時并無影響，與未加噪聲前依然相近．

圖3 不同加噪水平仿真數(shù)據(jù)時PSO方法JA模型參數(shù)計算的磁滯特性

圖4 不同加噪水平仿真數(shù)據(jù)時PSO方法目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化

表3 仿真數(shù)據(jù)加噪后PSO方法的JA模型參數(shù)計算結果

5 結 論

本文嘗試將PSO算法結合MATLAB/Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境應用于JA磁滯模型參數(shù)計算．數(shù)字實驗結果表明，當仿真數(shù)據(jù)未加噪聲時，應用本文提出的方法可以得到幾乎與模型參數(shù)真值一致的計算結果；即使在仿真數(shù)據(jù)加噪情況下，該方法仍能得到較高的參數(shù)計算精度，且由計算所得參數(shù)繪制的磁滯回線與仿真數(shù)據(jù)相吻合，說明該方法有較高的穩(wěn)定性．因此，本文提出的方法是有效的．

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(責任編輯 杜利民)

ParametercalculationoftheJiles-Athertonhysteresismodelusingparticleswarmoptimizationalgorithm

HAO Xiaoliang, YE Meiying

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Particles swarm optimization algorithm was a kind of swarm intelligence algorithm simulating birds feeding behavior. The algorithm had the advantages of concision, easy implement, few control parameters, did not need the gradient information, and fast convergence to optimal solution in most cases．In order to describe the hysteresis characteristics of the material， it was proposed a method of the particle swarm optimization algorithm combination with MATLAB/Simulink dynamic simulation integration environment to calculate the Jiles-Atherton hysteresis loop model parameters. By means of noise-free and noisy simulation data, the numerical experiments of Jiles-Atherton hysteresis loop model with the two groups of different parameter values were carried out. The results indicated that the particle swarm optimization algorithm combination with MATLAB/Simulink dynamic simulation integration environment was an effective technique for the parameters calculation of Jiles-Atherton hysteresis model．

hysteresis loop; particle swarm optimization algorithm; Jiles-Atherton hysteresis model; parameter calculation

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.02.003

2015-01-12

國家自然科學基金資助項目(51305407)

郝曉亮(1988-)，男，山西晉中人，碩士研究生．研究方向：理論物理．

葉美盈．E-mail： ymy@zjnu.cn

TM936.3

A

1001-5051(2015)02-0133-09