3-TPT并聯(lián)機(jī)床的誤差分析

楊輝，趙恒華，高興軍

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧撫順113001)

并聯(lián)機(jī)床自1994年問(wèn)世以來(lái)［1－2］，較傳統(tǒng)機(jī)床有很大的優(yōu)越性。但是，并聯(lián)機(jī)床的精度與高精度的傳統(tǒng)機(jī)床相比還有一定的差距。目前工業(yè)上對(duì)機(jī)床精度的要求越來(lái)越高，所以降低并聯(lián)機(jī)床的加工誤差，在實(shí)際生產(chǎn)中有著十分重要的意義。在眾多誤差影響因素中，鉸鏈的位置誤差以及驅(qū)動(dòng)桿的測(cè)量誤差是影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿精度的兩個(gè)重要因素。作者根據(jù)誤差獨(dú)立作用原理建立3-TPT 并聯(lián)機(jī)床的誤差模型，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行理論分析，并利用MATLAB 軟件對(duì)結(jié)果進(jìn)行仿真，為誤差補(bǔ)償提供理論基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機(jī)床誤差的一般表達(dá)式

并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差［3－5］是衡量機(jī)床性能的重要指標(biāo)之一，它包括:位置誤差和姿態(tài)誤差。但由于3-TPT并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)中只有位置的變化，而沒(méi)有姿態(tài)的變化，故文中主要分析該機(jī)床的位置誤差。

如圖1所示，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置［6］是由驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度和鉸鏈點(diǎn)的位置確定的。由誤差獨(dú)立作用原理可知，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差是由驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度誤差同鉸鏈點(diǎn)的位置誤差疊加而成的。設(shè)矢量p 表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置，則可得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置的一般表達(dá)式為:

式中:l 為驅(qū)動(dòng)桿組成的關(guān)節(jié)坐標(biāo)矢量，l =［l1，l2，l3］T;Bi為定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置矢量;Ai為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置矢量。

圖1 三桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間坐標(biāo)

對(duì)式(1)兩端微分可得到3-TPT 并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的一般表達(dá)式為:

式中:Δl 為驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)誤差，Δl = ［Δl1，Δl2，Δl3］T;ΔBi為定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差，ΔBi=［Δxbi，Δybi，Δzbi］T;ΔAi為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差，ΔAi=［Δxpi，Δypi，Δzpi］T。

2 驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差對(duì)位置誤差的影響

設(shè)驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)誤差為Δl ，并由此引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)誤差為Δp1，且它們之間的關(guān)系可表示為:

式中:Δp1=［Δx Δy Δz］T，Δl =［Δl1Δl2Δl3］T，為驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差傳遞函數(shù)。

根據(jù)桿長(zhǎng)公式可得:

式中:c 為上下平臺(tái)外接圓半徑差，即c =R－r。由此可知其誤差傳遞函數(shù)。

為全面考察機(jī)床的參數(shù)對(duì)位置誤差的影響，故利用無(wú)窮范數(shù)K(Δ)對(duì)誤差傳遞函數(shù)矩陣進(jìn)行考察，其可表示為:

式中:aij為誤差傳遞函數(shù)矩陣的元素。

利用誤差傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)評(píng)價(jià)驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響，可表示為:

對(duì)于3-TPT 并聯(lián)機(jī)床樣機(jī)，定平臺(tái)外接圓半徑R=600 mm，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑r =400 mm，l =850 ～1 300 mm，設(shè)該機(jī)床的特征參數(shù)λ =l/c，利用MATLAB 軟件［7－8］進(jìn)行仿真，其結(jié)果如圖2所示。由圖(a)可知:該并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差隨特征系數(shù)的增大而增大。由圖(b)可知:運(yùn)動(dòng)平臺(tái)離定平臺(tái)越近，則驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差的影響越小。圖(c)則表明:運(yùn)動(dòng)平臺(tái)離工作空間越近，驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響越小。

圖2 驅(qū)動(dòng)桿誤差傳遞函數(shù)范數(shù)與各幾何參數(shù)的關(guān)系

3 鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)位置誤差的影響

在考慮鉸鏈點(diǎn)位置誤差的影響時(shí)，根據(jù)誤差獨(dú)立作用原理，在考慮某個(gè)鉸鏈的影響時(shí)，認(rèn)為其他的鉸鏈不存在誤差。最后將所有鉸鏈點(diǎn)位置誤差的影響累積到一起即為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差。

設(shè)(xb，yb，zb)為定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，(xp，yp，zp)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，則有:

假設(shè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的鉸鏈位置正確，則其位置誤差主要是由固定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差所引起的，對(duì)式(8)微分則有:

由于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)任意一點(diǎn)的變化都相同，所以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差就是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的微小變化［Δxpi，Δypi，Δzpi］T，即:

分別求定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響，則有當(dāng)i=1 時(shí)，有:

令:

由于| B|≠0，所以矩陣B 可逆，則:

同理可求出其他5 個(gè)鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響，即:

其相應(yīng)的誤差影響系數(shù)為:

由式(19)、(20)和(21)可以看出，每根桿兩端鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響相同。將式(13)—(15)與式(16)—(18)合并，則有:

因?yàn)? 根驅(qū)動(dòng)桿對(duì)稱(chēng)分布，故每對(duì)鉸鏈影響規(guī)律相同，以驅(qū)動(dòng)桿l1作為仿真對(duì)象，方法及參數(shù)與前述相同，利用MATLAB 軟件，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖(a)可知:該并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差隨特征系數(shù)的增大而增大。由圖(b)可知:隨著z 坐標(biāo)值的增大，鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響越大。圖(c)則表明:當(dāng)x 趨近于0 時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差隨著y 值的增大而減小。

圖3 鉸鏈點(diǎn)位置誤差傳遞函數(shù)范數(shù)與各幾何參數(shù)的關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

并聯(lián)機(jī)床作為新一代的數(shù)控機(jī)床，雖然較傳統(tǒng)機(jī)床有許多優(yōu)點(diǎn)，但在精度上與高精度傳統(tǒng)機(jī)床相比還有一定的差距。分析驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差以及鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響，通過(guò)理論分析，建立了誤差模型，并用MATLAB 軟件對(duì)它進(jìn)行了仿真分析。從結(jié)果可以看出:運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差隨著機(jī)床結(jié)構(gòu)尺寸的增加而增大，并對(duì)機(jī)床產(chǎn)生不利的影響。通過(guò)誤差分析，建立誤差模型，為機(jī)床機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化以及誤差補(bǔ)償?shù)於嘶A(chǔ)。

【1】高天雷.國(guó)內(nèi)并聯(lián)機(jī)床的發(fā)展［J］.航空制造技術(shù)，2010(4):60－62.

【2】金云龍.并聯(lián)機(jī)床的研究現(xiàn)狀和發(fā)展前景［J］.企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā)，2010，29(6):128－129.

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【4】左扣成，謝里陽(yáng).3-TPT 型并聯(lián)機(jī)床的誤差分析與仿真［D］.沈陽(yáng):東北大學(xué)，2005.

【5】呂春梅，謝里陽(yáng).3-TPT 型并聯(lián)機(jī)床仿真分析與研究［D］.沈陽(yáng):東北大學(xué)，2005.

【6】楊斌久，蔡光起，趙亮.三桿五自由度并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)研究［J］.工具技術(shù)，2005，39(2):14－16.

【7】崔智全，賴(lài)一楠，趙韓濤，等.MATLAB 2009 從入門(mén)到精通［M］.北京:中國(guó)鐵道出版社，2011.

【8】曲麗榮，胡容，范壽康.LabVIEW、MATLAB 及其混合編程技術(shù)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2011.