應用首次積分法求解非線性波動方程

尹偉石,孟品超,李延忠

(1.長春理工大學 理學院,長春 130022；2.北華大學,吉林 吉林 132013)

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研究簡報

應用首次積分法求解非線性波動方程

尹偉石1,孟品超1,李延忠2

(1.長春理工大學 理學院,長春 130022；2.北華大學,吉林 吉林 132013)

利用首次積分法求解一類非線性波動方程的行波解,得到了行波解的精確表達式.數(shù)值算例表明,對于同類的雙曲型發(fā)展方程,該方法仍然有效.

首次積分法；非線性波動方程；行波解

非線性偏微分方程(組)在流體動力學、等離子體物理學、光學、固態(tài)物理學和交通等領域應用廣泛.由于描述問題的復雜性和非線性項的影響,求解解析解幾乎是不可能的,因此求解非線偏微分方程(組)行波形式的精確解具有重要意義.隨著孤波理論的發(fā)展,目前已報道一些方法求正解非線性偏微分方程的精確解,如逆散射轉(zhuǎn)變[1]、雙曲切-雙曲正割法[2-3]、,齊次平衡法[4]、指數(shù)函數(shù)法[5]、(G/G′)展開法[6-7]和首次積分法[8]等.本文主要考慮應用首次積分法求解非線性波動方程精確形式的行波解,首次積分法的優(yōu)勢是整個迭代算法為純代數(shù)運算,從而可借助符號計算軟件進行求解.

1 算法簡介

定理1(Division定理)[9]假設P(W,Z),Q(W,Z)是復數(shù)域C(W,Z)上的多項式,并且P(W,Z)在C(W,Z)上是不可約的.如果P(W,Z)=0的零點也為Q(W,Z)的零點,則在復數(shù)域C(W,Z)上存在一個多項式G(W,Z),使得Q(W,Z)=P(W,Z)G(W,Z).

首次積分法的基本思想是先將非線性偏微分方程通過行波變換轉(zhuǎn)化為常微分方程,再對常微分方程進行適當變化轉(zhuǎn)化為常微分方程組,進而求解非線性偏微分方程的精確解.步驟如下：

1)考慮一般非線性發(fā)展方程

(1)

2)使用行波變量ξ=x-ct對式(1)進行變換u(x,t)=U(ξ),得

(2)

3)假設引入新的變量u(x,t)=f(ξ),則式(2)可化為

(3)

其中f是假設由式(2)可得到的解析表達式,從而得到一個微分系統(tǒng)

(4)

其中F是由式(3)得到的關(guān)于Y的導數(shù)表達式;

4)先利用常微分方程定性理論與Division定理得到式(3)的一個首次積分,再代入方程(2)得到該方程的解,即得到式(1)的精確解.

2 首次積分法的應用

下面利用首次積分法求解非線性波動方程的精確解.考慮

(5)

其中:α>0;β,γ為實常數(shù).運用變換u(x,t)=f(ξ),ξ=x-λt,可將式(5)轉(zhuǎn)化成為常微分方程：

(6)

由式(4)可得

(7)

(8)

(9)

其中ai(X)(i=1,2,…,m)是關(guān)于X的多項式,且am(X)≠0.式(9)稱為式(7)-(8)的首次積分.根據(jù)Division定理,存在一個多項式g(X)+h(X)Y,使得在域C[X,Y]內(nèi)有

(10)

本文主要討論m=1的情況.由式(10)可得

(11)

令式(11)兩邊關(guān)于Yi(i=0,1,2)的系數(shù)相等,可得

(12)

(13)

(14)

情形1)

(15)

把式(15)代入式(9)有

(16)

比較式(16),(7)可得式(6)的精確解：

(17)

其中C1是常數(shù).因此方程(5)的精確解可以寫成

情形2)

(18)

把式(18)代入式(9)有

(19)

比較式(7),(19)可得式(6)的精確解：

其中C1是常數(shù).從而可得方程(5)的解：

綜上可見,首次積分法對于求該類非線性波動方程的精確解是一種可行有效的方法,因此,對類似的雙曲型偏微分方程如非線性梁方程、非線性Schr?dinger方程等也可以用該方法求其精確解.

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(責任編輯：趙立芹)

ExactSolutionsforNonlinearWaveEquationsbyFirstIntegralMethod

YIN Weishi1,MENG Pinchao1,LI Yanzhong2

(1.CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;2.BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China)

We used the first integral method to solve a class of nonlinear wave equations and obtained the exact form of traveling wave solutions.Furthermore,the validity and efficiency of this method were shown by numerical calculation of nonlinear wave equation,indicating that it can be applied to other hyperbolic evolution equations.

first integral method;nonlinear wave equation;traveling wave solutions

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.19

2014-09-10.

尹偉石(1980—),男,漢族,博士研究生,講師,從事數(shù)學物理反問題及數(shù)值計算的研究,E-mail:yinweishi@foxmail.com.通信作者：李延忠(1978—),男,漢族,博士,教授,從事最優(yōu)化理論與計算方法的研究,E-mail:liyz.bh@gmail.com.

國家自然科學基金(批準號：51278221;51378076).

O175.14

：A

：1671-5489(2015)03-0454-03