一類改進(jìn)Boussinesq方程的Lie對(duì)稱群及群不變解

張 錦,王鄉(xiāng)月

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

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一類改進(jìn)Boussinesq方程的Lie對(duì)稱群及群不變解

張 錦,王鄉(xiāng)月

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

利用經(jīng)典Lie群方法研究一類改進(jìn)Boussinesq方程的Lie對(duì)稱群的存在性及相應(yīng)的群不變解,證明了改進(jìn)Boussinesq方程存在3-參數(shù)的Lie對(duì)稱群,并得到了該方程的一些行波解和非行波解.

Lie群;Lie對(duì)稱;Boussinesq方程;群不變解

Boussinesq方程[1]的一般形式為

utt=uxx+quxxxx+(u2)xx,q=±1,

它不僅與水波傳播密切相關(guān),而且還可用于模擬其他波動(dòng)現(xiàn)象,如物理學(xué)中的聲波、離子波及醫(yī)學(xué)中血管內(nèi)的孤波等.但Boussinesq方程用于描述短波的傳播時(shí)具有不穩(wěn)定性,因此Bogolubsky[2]又提出了如下改進(jìn)Boussinesq方程:

utt=uxx+quttxx+(u2)xx,q=±1.

改進(jìn)Boussinesq方程可以很好地模擬圓截面彈性桿中聲波的橫向運(yùn)動(dòng)和非線性運(yùn)動(dòng).

目前,對(duì)于非線性微分方程的求解有很多可行方法,Lie群方法[3]是其中之一.利用Lie群方法對(duì)Boussinesq方程進(jìn)行研究已取得豐富的結(jié)果[4-11].本文通過(guò)對(duì)改進(jìn)Boussinesq方程進(jìn)行Lie對(duì)稱分析,得到了該方程的Lie對(duì)稱群以及相應(yīng)的群不變解.

考慮如下改進(jìn)Boussinesq方程:

(1)

其中q是任意常數(shù).利用經(jīng)典的Lie群方法可以得到如下結(jié)果.

定理1改進(jìn)Boussinesq方程(1)存在3-參數(shù)的Lie對(duì)稱群.

證明:考慮如下單參數(shù)Lie變換群:

(2)

其中:ε?1是小參數(shù);τ(t,x,u),ξ(t,x,u),φ(t,x,u)是關(guān)于t,x,u的光滑函數(shù).Lie變換群(2)的無(wú)窮小生成元為

V=τ(t,x,u)?t+ξ(t,x,u)?x+φ(t,x,u)?u,

對(duì)方程(1)的所有解都成立.等價(jià)于求解方程

(3)

其中Q=Q(t,x,u(4))是依賴于t,x,u及u關(guān)于t,x的直到4階導(dǎo)數(shù)的光滑函數(shù),并且

將各φJ(rèn)的表達(dá)式代入方程(3),并比較u的各階導(dǎo)數(shù)系數(shù),可得如下確定性方程組:

τx=0,τu=0,τtt=0,ξt=0,ξx=0,ξu=0,φx=0,φtt=0,φuu=0,φ=-(1+2u)τt.

求解該方程組得

τ=a+ct,ξ=b,φ=-c-2cu,

其中a,b,c是任意常數(shù).表明方程(1)的Lie對(duì)稱群的生成元構(gòu)成一個(gè)三維的Lie對(duì)稱代數(shù),并有如下一組基:

V1=?t,V2=?x,V3=t?t-(1+2u)?u.

證畢.

利用定理1,可得如下關(guān)于改進(jìn)Boussinesq方程的單參數(shù)群不變解的結(jié)果.

2)對(duì)應(yīng)于Lie對(duì)稱V2的群不變解為u=c1t+c2;

式中c1和c2都是任意常數(shù).

(4)

這里 ′=d/dx.在方程(4)兩端同時(shí)乘以2(6q+f)f′并積分可得

(6q+f)2f′2=36qf2+4f3+c1,

其中c1是任意常數(shù).進(jìn)一步求解該方程可知結(jié)論成立.

實(shí)際上,通過(guò)考慮Lie對(duì)稱代數(shù)的線性組合,可以得到更一般的關(guān)于群不變解存在性的結(jié)果.

定理31)對(duì)應(yīng)于向量場(chǎng)aV1+bV2(a,b≠0)的群不變解為u=f(ax-bt),這里f(y)滿足

3)對(duì)應(yīng)于向量場(chǎng)aV1+bV2+cV3(b,c≠0)的群不變解為

式中c0,c1,c2和c3都是任意常數(shù).

證明:Boussinesq方程(1)的3-參數(shù)Lie對(duì)稱群為

若u=f(t,x)是方程(1)的解,則

是可由群不變性得到的方程(1)的最一般解.

1)利用aV1+bV2的不變量ζ1=ax-bt和ζ2=u可知相應(yīng)的群不變解為u=f(ax-bt).將其代入方程(1),可得f(y)滿足的方程為

(5)

這里 ′=d/dy.方程(5)等價(jià)于下述二階方程:

(6)

其中c0和c1是任意常數(shù).特別地,令c0=0,并在方程(6)兩端同時(shí)乘以6f′再積分可知

(7)

其中c2是任意常數(shù).進(jìn)一步求解方程(7)可知結(jié)論成立.

(8)

這里 ′=d/dx.在方程(8)兩端同時(shí)乘以2(6qc2+f)f′并積分可得

(9)

其中c1是任意常數(shù).進(jìn)一步求解方程(9)可知結(jié)論成立.

將其代入方程(1),可得f(z)滿足的方程為

(10)

比較z的同次冪項(xiàng)系數(shù)即知結(jié)論成立.

綜上,本文利用Lie對(duì)稱方法求出了一類改進(jìn)Boussinesq方程的Lie對(duì)稱群,并得到了該方程的一些行波解、非行波解及最一般群不變解所滿足的方程和相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)解.

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(責(zé)任編輯：趙立芹)

LieSymmetryAnalysisandGroup-InvariantSolutionsforanImprovedBoussinesqEquation

ZHANG Jin,WANG Xiangyue

(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Applying the classical Lie symmetry method,we investigated the problem of determining the largest possible set of Lie point symmetries for an improved Boussinesq equation.The most general Lie point symmetry group of the improved Boussinesq equation was determined and the corresponding group-invariant solutions,such as travelling wave solutions were obtained.

Lie group;Lie symmetry;Boussinesq equation;group-invariant solution

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.02

2014-10-21.

張 錦(1982—),女,漢族,博士,講師,從事Lie群在微分方程中應(yīng)用的研究,E-mail:jinzhang@jlu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):J1310022;11001102).

O175.2

：A

：1671-5489(2015)03-0359-04