構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問題

綦 婷

（云南省會澤縣茚旺高級中學(xué)）

從教學(xué)、解題經(jīng)驗(yàn)中，我們不難發(fā)現(xiàn)在求解函數(shù)不等式問題中，若直接構(gòu)造函數(shù)可能會使解題陷入困境。構(gòu)建函數(shù)是解決不等式問題的有效方法，如何在解題過程中構(gòu)建函數(shù)顯得十分重要。

一、通過移項(xiàng)構(gòu)建函數(shù)

將不等式的一邊進(jìn)行移項(xiàng)，使不等式的一邊為零，然后構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化成探究函數(shù)與x軸之間的位置關(guān)系問題，這是構(gòu)建函數(shù)解決不等式問題中最為簡便的方法，也是應(yīng)用最多的方法。比如，證明當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+x－1＜2x-2恒成立這個(gè)問題，首先將不等式進(jìn)行移項(xiàng)處理，變不等式為lnx-x+1＜0，構(gòu)建函數(shù)（fx）=lnx-x+1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（'x）=1/x－1＜0，則有（fx）在（1，+∞）遞減，故（fx）＜（f1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx-x+1＜0恒成立，那么lnx+x-1＜2x-2恒成立也就得證。

二、通過不等式兩邊去對數(shù)的形式構(gòu)建函數(shù)

對于一些包含指數(shù)型參數(shù)的不等式，通過簡單移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)是很難解決問題的，這時(shí)就需要使用取對數(shù)的方法把不等式轉(zhuǎn)化成普通不等式，再進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造。

三、巧妙調(diào)整不等式結(jié)構(gòu)

有的不等式中會出現(xiàn)兩個(gè)“x”，這樣的不等式就要巧妙地調(diào)整結(jié)構(gòu)，將x1和x2調(diào)整到不等式的兩邊，例如，已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，證明：當(dāng)a≤-2時(shí)，對任意x1，x2∈（0，+∞），不等式 |f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）恒成立。假設(shè)x1≥x2＞0，因?yàn)閍≤－2，又f（x）在（0，+∞）上 遞 減，所 以|f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2）可 以 變 為f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1，其中x1，x1∈（0，+∞），這樣便可以構(gòu)建函數(shù)g（x）=f（x）+4x，轉(zhuǎn)化成求g（x）單調(diào)性問題。

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.