解析方程法得雙曲線的部分性質(zhì)

高 歡

（陜西省西安中學(xué)）

數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中的三大思想方法之一，但在很多學(xué)生心中利用“形”研究“數(shù)”就是數(shù)形結(jié)合，那這對(duì)“結(jié)合”兩字的理解是有偏差的。當(dāng)然將代數(shù)問(wèn)題通過(guò)賦予它幾何意義使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，這在高中數(shù)學(xué)中是很常見(jiàn)的，正因如此，利用“數(shù)”去研究“形”——數(shù)形結(jié)合的另一方面往往被學(xué)生忽視，這也是為什么學(xué)生在剛剛進(jìn)入圓錐曲線部分的學(xué)習(xí)時(shí)，常常不知道要做什么，或者為什么要這么做。

圓錐曲線是解析幾何的一部分，本應(yīng)重在讓學(xué)生感悟解析方程的方法在曲線研究中的價(jià)值，然而在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生一開(kāi)始關(guān)注到的依舊是曲線的形。在研究圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生也覺(jué)得可以直觀得來(lái)，當(dāng)我們用解析方程法去分析圓錐曲線的對(duì)稱性、范圍時(shí)，學(xué)生會(huì)覺(jué)得很多余，自然也感受不到解析方程法的價(jià)值。本文將以研究圓錐曲線的部分性質(zhì)為例，讓大家感受解析方程法的神奇之處。

首先，原方程的平方結(jié)構(gòu)，可以保證對(duì)稱性。

站在函數(shù)的角度，求得定義域，可得x 的范圍，求得值域可得y在第一象限的范圍，結(jié)合對(duì)稱性可得整個(gè)y 的范圍。

變形二：b2x2-a2y2-a2b2=0

站在一元二次方程的角度，若上式看作關(guān)于x 的一元二次方程，則其必有根，可用判別式法求得y 的范圍，同理，若上式看作關(guān)于y 的一元二次方程，可得x 的范圍。

變形三：b2x2-a2y2=a2b2＞0

即（bx+ay）（bx-ay）＞0

站在線性規(guī)劃的角度，雙曲線上的點(diǎn)位于直線bx+ay=0，bxay=0 所圍成的角形區(qū)域內(nèi)，而bx+ay=0，bx-ay=0 是區(qū)域的邊界。注意，如果引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致的思考直線bx+ay=0，bx-ay=0 和雙曲線的關(guān)系，就可以通過(guò)圖形提出問(wèn)題，從而順利引入雙曲線的漸近線這一性質(zhì)并加以證明：由變形一中（y≥0）可得，隨著x 的增加，y 是增加的，并且值越來(lái)越接近于。而我們習(xí)慣上雙曲線的漸進(jìn)線的引入都略顯生硬。

通過(guò)上述三種對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的不同角度的變形，利用解析方程的方法，可以輕松得到雙曲線的兩個(gè)性質(zhì)：范圍和漸近線。在解析幾何研究問(wèn)題的過(guò)程中，我們就是要不斷給學(xué)生強(qiáng)化解析方程研究曲線的思想，讓學(xué)生深切感受到方程是曲線“數(shù)”的體現(xiàn)，當(dāng)僅僅依靠“形”不能有效解決問(wèn)題時(shí)，只能依靠解析方程的方法。