利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法

馮中秋

本文將系統(tǒng)總結(jié)在高考試題經(jīng)常涉及的證明不等式的若干方法。首先我們可以把證明不等式的問(wèn)題在大的方向分為一個(gè)函數(shù)思想和兩個(gè)函數(shù)思想，而對(duì)于一個(gè)函數(shù)思想，顧名思義就是在證明不等式時(shí)，我們可以將不等式中涉及的所有形式都挪到不等式的同一側(cè)，把這個(gè)整體看成一個(gè)新的函數(shù)，并且在這種函數(shù)中經(jīng)常涉及兩類以上的基本初等函數(shù)，我們需要借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，進(jìn)而去證明不等式成立。而在處理這類問(wèn)題的時(shí)候，有些時(shí)候我們還需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的放縮。下面通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)給大家介紹：

題目2：P是曲線y=f（x）=ex上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線y=g（x）=lnx上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值。

分析：本題主要考查反函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，而在本題中所體現(xiàn)出的兩類不等式是我們?cè)诶脤?dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題中特別常用到的放縮手段。

解：因?yàn)閥=ex與y=lnx互為反函數(shù)，而反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，所以我們可以轉(zhuǎn)化為將直線y=x向上平移和向下平移，使得直線分別與y=ex與y=lnx相切，此時(shí)兩個(gè)切點(diǎn)之間的距離即為我們所要求的最小值。f′（x）=ex，令f′（x）=ex=1可得，切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；同理可求g′（x），令g′（x）=1可得，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。所以可以得到PQ的最小值為。

注：我們主要是想從本題解答過(guò)程中得到一組不等式：

（1）當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1；變形：ex>x；ex-1>x

（2）當(dāng)x>0時(shí)，x-1>lnx；變形：x>lnx；x>ln（x-1）

下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例體會(huì)該不等式的應(yīng)用。

題目3：已知f（x）=lnx，g（x）=ex。求證：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

分析：本題的基本思路仍然是一個(gè)函數(shù)的思想，但是在操作中必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s才能證明出該不等式。

解：F（x）=g（x）-f（x）-2=ex-lnx-2，則F′（x）=ex-2；則F′（x）單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在性判定定理知F′（1）>0，F(xiàn)′（）<0，所以F′（x）=0在（，1）上有根記為t，從而可知F（x）在（0，t）單調(diào)遞減，在（t，+∞）單調(diào)遞增，所以F（x）>F（t）=et-lnt-2，下面我們必須能證明F（t）=et-lnt-2>0恒成立即可。此時(shí)又回到本題最初的形式，在這種情況下我們可以對(duì)F（t）=et-lnt-2進(jìn)行放縮，其基本思想是此時(shí)et和lnt同時(shí)存在我們無(wú)法研究導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，因此我們可以把二者之一利用放縮的方式處理掉。具體操縱如下：

F（t）=et-lnt-2>t+1-lnt-2=t-lnt-1（利用ex>x+1進(jìn)行放縮），下面可以構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-lnt-1，下面我們可以證明g（t）>0恒成立即可。而我們知道ex>x也成立，但此時(shí)如果我們選擇ex>x進(jìn)行放縮根本不能證出我們的結(jié)論；由此可以放縮必須要把握度，不能放得太多，也不能放得太少。

另外，我們可以考慮將lnt處理掉，可以利用lnt與一次式之間的關(guān)系（x-1>lnx）進(jìn)行放縮，則F（t）=et-lnt-2>et-t+1-2=et-t-1，下面可以構(gòu)造函數(shù)h（t）=et-t-1，只需證明h（t）>0恒成立即可。

除此之外，我們還經(jīng)常涉及兩個(gè)函數(shù)的思想來(lái)證明不等式的問(wèn)題，其基本理念為：

若f（x）min>g（x）max成立，則f（x）>g（x）恒成立；

若f（x）>g（x）恒成立，不一定要f（x）min>g（x）max成立，我們只需保證對(duì)于f（x）和g（x）兩個(gè)函數(shù)在每一個(gè)自變量處都滿足f（x）的函數(shù)值大于g（x）的函數(shù)值即可。

題目4：證明：ex+x2>sinx+x

解析：本題也要用兩個(gè)函數(shù)思想（若全部挪到不等式的同一側(cè)構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)中函數(shù)指數(shù)的形式、冪函數(shù)的形式以及三角函數(shù)的形式，就算能夠把導(dǎo)數(shù)求出來(lái)，我們也無(wú)法確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)。）在整體構(gòu)造的過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)：由于（1）sinx的存在導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)無(wú)法處理。（2）我們發(fā)現(xiàn)sinx自身有范圍?；谝陨蟽牲c(diǎn)可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+x2-x以及函數(shù)g（x）=sinx，而g（x）∈[-1，1]，可以對(duì)f（x）=ex+x2-x進(jìn)行求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進(jìn)而確定y=f（x）的最值。f′（x）=ex+2x-1，則f′（x）=ex+2x-1為增函數(shù)，又因?yàn)閒′（0）=0，則y=f（x）在x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，所以y=f（x）的最小值為f（0）=1，而y=f（x）與y=g（x）不同時(shí)取到1，所以不等式成立。