外邊界封閉內(nèi)邊界定壓油氣井模型求解及分析

姬安召，崔建斌，薛胥青，王玉風(fēng)，許 泰

（ 1.隴東學(xué)院能源工程學(xué)院，甘肅慶陽 745000；2.隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽 745000）

1949 年Van Everdingen 采用拉普拉斯變換求解油氣滲流數(shù)學(xué)模型， 為油氣滲流數(shù)學(xué)模型求解引入新的方法[1]。 20 世紀(jì)60 年代初，Баренбдатт 建立了雙重介 質(zhì) 達(dá) 西 滲 流 的 數(shù) 學(xué) 模 型。 KazemiH.、OdehA.S.、WarrenJ.E.、Polalrd、陳鐘祥、蔣繼光等人研究了雙重介質(zhì)達(dá)西滲流[2，3]。 20 世紀(jì)末，葛家理、吳玉樹等人對(duì)三重介質(zhì)滲流特征進(jìn)行了研究，劉慈群、劉曰武對(duì)表皮效應(yīng)和井儲(chǔ)效應(yīng)模型的拉普拉斯空間解進(jìn)行研究， 姚軍等也對(duì)這類三重介質(zhì)做了理論研究[4，5]。 2006 年李成勇對(duì)三重介質(zhì)油藏模型及水平井試井解釋方法進(jìn)行研究[6]。2008 年張利軍對(duì)雙滲三重介質(zhì)油藏試井分析方法進(jìn)行研究[7]。但這些模型基本都是基于井底定產(chǎn)量條件來研究的，在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)，生產(chǎn)過程中可能會(huì)出現(xiàn)井底定壓的情況， 針對(duì)井底定壓生產(chǎn)情況研究較少，Van Everdingen 和Hurst 等人做了這方面的研究。筆者在前人研究成果的基礎(chǔ)之上， 分別對(duì)油氣井井底定壓生產(chǎn)過程中滲流規(guī)律進(jìn)行研究。

1 油井?dāng)?shù)學(xué)模型建立及求解

1.1 數(shù)學(xué)模型

模型假設(shè)[8]條件：儲(chǔ)層中的滲流為單相（ 油相）滲流；儲(chǔ)層中流動(dòng)的油相是微可壓縮；儲(chǔ)層為均質(zhì)水平等厚；油相在地層中的流動(dòng)服從達(dá)西定律；不考慮儲(chǔ)層污染和井儲(chǔ)效應(yīng)。

為了研究問題的簡(jiǎn)便， 需要把某些有量綱的物理量進(jìn)行無量綱化，即引進(jìn)無量綱參數(shù)[8]，具體無量綱參數(shù)定義如下：

無量綱壓力：

無量綱時(shí)間：

無量綱半徑：

根據(jù)上述無量綱參數(shù)的定義， 可以得到圓形封閉地層中心有一口油井以恒定井底壓力進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)無量綱化滲流數(shù)學(xué)模型如下：

1.2 微分方程的求解

根據(jù)拉氏變換的定義[9]和拉氏變換微分定理性質(zhì)，對(duì)（ 4）式tD→進(jìn)行拉氏變換。通過拉氏變換，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為二階常微分方程， 方程為零階變形的貝塞爾方程，其方程的通解[9]為：

根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[9]，再結(jié)合封閉外邊界拉氏變換壓力導(dǎo)數(shù)等于零和定壓內(nèi)邊界拉氏變換等于1/可得系數(shù)A 和B：

將式（ 6）代入（ 5）式可得方程（ 4）式的特解為：

1.3 壓力反演

現(xiàn)在需要對(duì)拉氏空間的解進(jìn)行反演， 按照反演的原則，首先需要確定被反演函數(shù)的奇點(diǎn)，由上式可以看出，其中一個(gè)奇點(diǎn)是=0，而其他奇點(diǎn)是和有關(guān)的。在＞0 的正實(shí)軸上， 分母上的貝塞爾函數(shù)不會(huì)為零[8]，只有在為負(fù)值，即=-u2時(shí)，分母中的函數(shù)變?yōu)閹撟宰兞康暮瘮?shù)才有可能出現(xiàn)奇點(diǎn)。

根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[9]，對(duì)（ 7）進(jìn)行極限運(yùn)算可得：

根據(jù)拉氏反變換的性質(zhì)則有：

1.4 產(chǎn)量分析

為了得到油井產(chǎn)量的變化規(guī)律， 先求解井底無量綱壓力梯度，對(duì)式（ 11）進(jìn)行求導(dǎo)可得式（ 12）。

因?yàn)椋?/p>

代入式（ 13）可得：

故定義無量綱產(chǎn)量如下：

根據(jù)無量綱產(chǎn)量的定義，結(jié)合（ 15）式，可得式（ 16）。

其中：p-壓力（ 0.1 MPa）；t-時(shí)間（ s）；k-滲透率（ μm2）；φ-孔隙度（ 小數(shù)）；r-半徑（ cm）；h-儲(chǔ)層有效厚度（ cm）；μ-粘度（ mPa·s）；ct-綜合壓縮系數(shù)（（ 0.1 MPa）-1）；Qo（ t）-產(chǎn)量（ 井下產(chǎn)量）（ cm3/s）；A-滲流面積（ cm2）；v，-滲流速度（ cm/s）。

根據(jù)（ 15）式，當(dāng)無量綱產(chǎn)量計(jì)算精度設(shè)置為10-6時(shí)，則通過圖1 可以看出，在壓力波傳播到邊界以前，單井的產(chǎn)量不變，當(dāng)壓力波傳播到邊界以后，不同的供給邊界，其產(chǎn)量的變化規(guī)律不一致，供給半徑越大，其產(chǎn)量開始下降的時(shí)間越晚。

根據(jù)（ 15）式，當(dāng)無量綱產(chǎn)量計(jì)算精度設(shè)置為10-6時(shí)，則通過圖2 可以看出，當(dāng)無量綱半徑越小，計(jì)算時(shí)所需的根越少；當(dāng)無量綱時(shí)間越大，計(jì)算時(shí)所需的根越少。

2 氣井定井底壓力生產(chǎn)時(shí)常用工程單位下的產(chǎn)量表示

同油井模型建立及求解的方法一致， 可得氣井定井底壓力生產(chǎn)時(shí)在標(biāo)況下的產(chǎn)量計(jì)算公式。

圖2 無量綱半徑、無量綱時(shí)間與復(fù)合貝塞爾方程根數(shù)量關(guān)系曲線

式（ 17）為壓力形式，式（ 18）為壓力平方形式，式（ 19）為擬壓力表示形式，根據(jù)式（ 16），結(jié)合單位換算方法，可得式（ 20）常用工程單位油井產(chǎn)量。

式中：p-壓力（ MPa）；ψ-擬壓力（（ MPa）2/mPa·s）；rw-井半徑（ m）；t-時(shí)間（ h）；k-滲透率（ mD）；μ-粘度（ mPa·s）；h-地儲(chǔ)層有效厚度（ m）；ct-綜合壓縮系數(shù)（（ MPa）-1）；Qo（ t）-油井產(chǎn)量（ 井下）（ m3/d）；Qgsc（ t）-氣井標(biāo)況下的產(chǎn)量（ 104m3/d）。

3 結(jié)論及建議

（ 1）井底定壓生產(chǎn)時(shí)，無量綱供給半徑對(duì)無量綱產(chǎn)量的影響較大，不同的供給半徑，其無量綱產(chǎn)量的變化規(guī)律不一致。

（ 2）無量綱供給半徑越大，無量綱時(shí)間越短，復(fù)合貝塞爾方程根的個(gè)數(shù)對(duì)無量綱產(chǎn)量的影響越大。

（ 3）建議合理選擇復(fù)合貝塞爾方程：Y1（ rDeai）J0（ ai）-Y0（ ai）J1（ rDeai）=0 根的個(gè)數(shù)，這樣才能保證計(jì)算產(chǎn)量具有可靠性。

［ 1］ Van Everdingen.The Application of the Laplace Transformation to Flow Problems in Reservoirs［ J］. Journal of Petroleum Technology，1949，1（ 12）：305-324.

［ 2］ 蔣繼光，等.裂縫性儲(chǔ)集層內(nèi)滲流間題的精確解［ J］.力學(xué)，

1977，（ 23）：263-269.

［ 3］ 蔣繼光.裂縫性儲(chǔ)集層內(nèi)滲流問題的精確解Ⅱ［ J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1980，3（ 3）：210-222.

［ 4］ 吳玉樹，葛家理.三重介質(zhì)裂-隙油藏中的滲流問題［ J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，1983，（ 6）：643-650.

［ 5］ 馮文光，等.多重介質(zhì)組合油藏非定常非達(dá)西高速滲流問題的解析研究［ J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)，1985，22（ 3）：14-28.

［ 6］ 李成勇，劉啟國(guó)，張燃，等.三重介質(zhì)油藏水平井試井解釋模型研究［ J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（ 4）：32-37.

［ 7］ 張利軍，程時(shí)清，尹洪軍.雙滲三重介質(zhì)油藏試井分析［ J］.特種油氣藏，2008，15（ 5）：66-73.

［ 8］ 郎兆新.油氣地下滲流力學(xué)［ M］.北京：石油大學(xué)出版社，2001.

［ 9］ 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法［ M］.北京：高等教育出版社，2010.