轉(zhuǎn)形問題研究中的鮑特凱維茲假說及其論證

張 忠 任

(清華大學(xué)《資本論》與當(dāng)代問題研究中心，北京100083)

轉(zhuǎn)形問題(The Transformation Problem)是馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)中的價(jià)值向生產(chǎn)價(jià)格轉(zhuǎn)化問題，源自1894 年出版的《資本論》第3 卷，至今已經(jīng)有120年的歷史，是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的著名難題之一。

轉(zhuǎn)形問題能否成立關(guān)系到馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)的存在價(jià)值。因?yàn)榧偃艮D(zhuǎn)形問題不能成立，則意味著導(dǎo)致李嘉圖體系解體的兩大矛盾之一(價(jià)值規(guī)律與“等量資本獲得等量利潤(rùn)”的矛盾)沒有被解決，從而馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)將退回到李嘉圖以前。所以，這一問題一直受人矚目，圍繞著這一問題在20 世紀(jì)50 年代和70 年代曾發(fā)生過兩次世界性大論戰(zhàn)。

轉(zhuǎn)形問題研究的關(guān)鍵或難點(diǎn)在于怎樣確定成本生產(chǎn)價(jià)格化以后所謂“總計(jì)一致2 命題”(即轉(zhuǎn)形后平均利潤(rùn)總額等于剩余價(jià)值總額，并且生產(chǎn)價(jià)格總額等于價(jià)值總額，也被簡(jiǎn)稱為“兩個(gè)等于”)是否能夠同時(shí)成立。

第一次對(duì)轉(zhuǎn)形問題計(jì)算方法進(jìn)行的有效探索是由德國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家鮑特凱維茲在1907 年做出的。盡管鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型還不夠完善，但是他基于馬克思的過渡性計(jì)算方法開創(chuàng)了“系數(shù)法”的先河，為在2000 年提出并首次實(shí)現(xiàn)對(duì)“總計(jì)一致2 命題”同時(shí)成立做出一般性論證的BSZ 轉(zhuǎn)形模型提供了重要啟示①最初的BSZ 轉(zhuǎn)形模型請(qǐng)參見張忠任《轉(zhuǎn)形問題的最終解決》，《數(shù)量經(jīng)濟(jì)·技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究》2001 年第2 期;規(guī)范化的BSZ 轉(zhuǎn)形模型請(qǐng)參見張忠任《轉(zhuǎn)形問題:薩繆爾遜為馬克思提供的一個(gè)旁證》，《海派經(jīng)濟(jì)學(xué)》(季刊)，2007 年1 月。。不過，對(duì)轉(zhuǎn)形問題的認(rèn)識(shí)需要人們慢慢消化，對(duì)BSZ轉(zhuǎn)形模型的接受還需要時(shí)間，因而存在缺陷的鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型仍然存在廣泛影響，尤其是鮑特凱維茲基于其存在缺陷的轉(zhuǎn)形模型曾經(jīng)提出的一個(gè)假說(只有當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)，轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”才能同時(shí)成立)，對(duì)于揭示鮑特凱維茲轉(zhuǎn)形模型的實(shí)質(zhì)具有很關(guān)鍵的作用，可是時(shí)至今日，對(duì)其認(rèn)識(shí)仍然不夠充分。本文旨在對(duì)鮑特凱維茲的這一假說從理論到數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行全方位剖析，以期正本清源。

一、轉(zhuǎn)形問題的由來與難點(diǎn)

在勞動(dòng)價(jià)值論上超越李嘉圖體系是馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)所邁出的極為重要的一步，也具有里程碑意義。馬克思為了解決導(dǎo)致李嘉圖體系破產(chǎn)的第2 個(gè)難題，即價(jià)值規(guī)律與“等量資本獲得等量利潤(rùn)”的矛盾，在《資本論》第3 卷第一篇討論了剩余價(jià)值轉(zhuǎn)化為利潤(rùn)之后，在第二篇尤其是第九章中集中闡明了商品價(jià)值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價(jià)格的問題②生產(chǎn)價(jià)格的概念源于重農(nóng)學(xué)派的“必要價(jià)格”、斯密的“自然價(jià)格”和李嘉圖的“生產(chǎn)費(fèi)用”等。馬克思第一個(gè)闡明了生產(chǎn)價(jià)格與價(jià)值的區(qū)別與聯(lián)系。參見《馬克思恩格斯全集》第25卷，人民出版社1975 年版，第221 頁(yè)。。

下面我們運(yùn)用公式來說明這一問題，令ci、vi、mi和wi分別表示第i 部門的不變資本、可變資本、剩余價(jià)值和總價(jià)值，于是全社會(huì)n 個(gè)部門的價(jià)值體系可以用數(shù)學(xué)公式表示為:

令e(e=mi/vi，i =1，2，…，n)表示剩余價(jià)值率，則(1)式可化為:

令πi(=mi/［ci+vi］)表示第i 部門的利潤(rùn)率，剩余價(jià)值轉(zhuǎn)化為利潤(rùn)以后，則(2)式可以化為:

這里，ci+vi是第i 部門的資本總額，一般也稱為成本或者成本價(jià)格，而利潤(rùn)額是πi(ci+vi)。總之，剩余價(jià)值轉(zhuǎn)化為利潤(rùn)以后，價(jià)值便等于成本價(jià)格ci+vi加上利潤(rùn)πi(ci+vi)，此時(shí)，各部門的利潤(rùn)率是各不相同的。

但是，在資本主義經(jīng)濟(jì)當(dāng)中，不論資本投入哪個(gè)部門，等量資本大體上都要求取得等量利潤(rùn)，于是部門之間就會(huì)發(fā)生競(jìng)爭(zhēng)，其結(jié)果是各部門的不同利潤(rùn)率轉(zhuǎn)化為相同的平均利潤(rùn)率。各部門按照平均利潤(rùn)率取得的利潤(rùn)就是平均利潤(rùn)。平均利潤(rùn)率形成以后，商品不再按照成本價(jià)格加上利潤(rùn)出售，而是按照成本價(jià)格加上平均利潤(rùn)出售。成本價(jià)格加上平均利潤(rùn)就是生產(chǎn)價(jià)格。

價(jià)值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價(jià)格以后，只有量的變化，而沒有質(zhì)的變化，在質(zhì)上生產(chǎn)價(jià)格與價(jià)值是相同的，生產(chǎn)價(jià)格只是表現(xiàn)著轉(zhuǎn)化了的價(jià)值。而在量上，變化只發(fā)生在各個(gè)部門之間③馬克思認(rèn)為，轉(zhuǎn)形之后，a.資本有機(jī)構(gòu)成高的部門，價(jià)值將小于生產(chǎn)價(jià)格;b.資本有機(jī)構(gòu)成低的部門，價(jià)值大于生產(chǎn)價(jià)格;c.只有資本有機(jī)構(gòu)成與社會(huì)資本平均構(gòu)成一致的部門，價(jià)值等于生產(chǎn)價(jià)格。這是三個(gè)有待證明的三個(gè)著名的命題。，從全社會(huì)來看，全部商品生產(chǎn)價(jià)格的總額仍然等于全部商品價(jià)值的總額。價(jià)值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價(jià)格的實(shí)質(zhì)是剩余價(jià)值的再分配，各部門按照平均利潤(rùn)率取得的利潤(rùn)，即平均利潤(rùn)雖然與剩余價(jià)值額會(huì)有不同，從全社會(huì)來看，平均利潤(rùn)總額仍然等于剩余價(jià)值總額。總之，轉(zhuǎn)形后，生產(chǎn)價(jià)格總額等于價(jià)值總額，平均利潤(rùn)總額等于剩余價(jià)值總額，這就是有名的“總計(jì)一致2 命題”。

關(guān)于生產(chǎn)價(jià)格的計(jì)算，馬克思給出了一種過渡性計(jì)算方法:

這里Pi表示第i 部門的生產(chǎn)價(jià)格總額，r 是平均利潤(rùn)率，r 相當(dāng)于剩余價(jià)值總額在社會(huì)總資本中所占的份額，即:

公式(4)的使用方法如文后附表所示。因?yàn)閮r(jià)值向生產(chǎn)價(jià)格的轉(zhuǎn)化問題一般被稱為“轉(zhuǎn)形問題”，所以公式(4)一般被稱之為“半轉(zhuǎn)形公式”。

在文后附表最后一行中我們看到，轉(zhuǎn)形后生產(chǎn)價(jià)格總額仍然等于價(jià)值總額(360 =360)，平均利潤(rùn)總額仍然等于剩余價(jià)值總額(60 =60)，即“總計(jì)一致2 命題”得到了同時(shí)滿足。不過，這種過渡性的轉(zhuǎn)形方法是不徹底的，因?yàn)閷?duì)成本價(jià)格部分還沒有進(jìn)行生產(chǎn)價(jià)格化。對(duì)此，如果我們把(4)式稍微變一下形可能看得更為清楚，令xi=pi/wi，則xi表示生產(chǎn)價(jià)格對(duì)價(jià)值的偏離率，也可以理解為wi的變化率，于是(4)式便化為:

注意(6)式的右端，作為生產(chǎn)價(jià)格，wi已經(jīng)發(fā)生了變化，其變化率是xi;但是左端只是出現(xiàn)了平均利潤(rùn)率r，而作為成本價(jià)格的ci和vi卻沒有任何變化，仍然處于價(jià)值狀態(tài)。所以(6)式的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義存在不妥之處。也就是說，只有生產(chǎn)價(jià)格化了才是完美的。

馬克思很清楚上面的“半轉(zhuǎn)形”還不夠完善，因此，馬克思曾明確指出:“…一個(gè)商品的生產(chǎn)價(jià)格，對(duì)他的買者來說，就是成本價(jià)格，并且可以作為成本價(jià)格加入另一個(gè)商品的價(jià)格形成。因?yàn)樯a(chǎn)價(jià)格可以偏離商品的價(jià)值，所以，一個(gè)商品的包含另一個(gè)商品的這個(gè)生產(chǎn)價(jià)格在內(nèi)的成本價(jià)格，可以高于或低于它的總價(jià)值中由加到它里面的生產(chǎn)資料的價(jià)值構(gòu)成的部分。必須記住成本價(jià)格這個(gè)修改了的意義?！保?］184-185這里所闡述的就是對(duì)于轉(zhuǎn)形來說成本價(jià)格的生產(chǎn)價(jià)格化的必要性。不過，馬克思認(rèn)為，“對(duì)我們現(xiàn)在的研究來說，這一點(diǎn)沒有進(jìn)一步考察的必要”［1］185。

馬克思沒能徹底完成《資本論》就與世長(zhǎng)辭了，我們已經(jīng)無法知道他究竟打算在什么地方對(duì)此做進(jìn)一步的考察，這樣，馬克思就把轉(zhuǎn)形的計(jì)算問題留給了后人。

轉(zhuǎn)形問題的難點(diǎn)在于:如何證明成本價(jià)格的生產(chǎn)價(jià)格化以后，“總計(jì)一致2 命題”是否能夠同時(shí)成立?不過，如果不能成立，后果是極其嚴(yán)重的，因?yàn)橹辽傩缕咸丫啤㈥惼咸丫茊栴}就解釋不了了，讀者可以想一想，那將意味著什么?所以，轉(zhuǎn)形問題成立與否，一致被視為是馬克思經(jīng)濟(jì)學(xué)生死攸關(guān)的根本問題。

二、鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型與一個(gè)假說

最早試圖用數(shù)學(xué)方法解決轉(zhuǎn)形的計(jì)算問題并取得突破性成果的是德國(guó)柏林大學(xué)教授、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家鮑特凱維茲(Ladislaus von Bortkiewicz)。

1906—1907 年，鮑特凱維茲用德文先后發(fā)表了兩篇研究馬克思轉(zhuǎn)形問題的長(zhǎng)篇論文。第一篇是《馬克思體系中的價(jià)值計(jì)算和價(jià)格計(jì)算》，在這篇論文里，他主要總結(jié)了迄1906 年為止的轉(zhuǎn)形研究，并運(yùn)用數(shù)學(xué)公式對(duì)價(jià)值和生產(chǎn)價(jià)格、剩余價(jià)值和利潤(rùn)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了深入探討。第二篇是《論〈資本論〉第3 卷中馬克思基本理論結(jié)構(gòu)的修正問題》，在這篇論文中，鮑特凱維茲首次提出了解決轉(zhuǎn)形問題的數(shù)學(xué)模型問題。

鮑特凱維茲方法的靈感其實(shí)來自馬克思的“半轉(zhuǎn)形公式”(4)式的啟發(fā)。馬克思本人并沒有意識(shí)到在(4)式中所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為(6)式的那樣表達(dá)。也就是說，馬克思并沒有看到Pi=WiXi這種轉(zhuǎn)化技巧，這一點(diǎn)應(yīng)該是鮑特凱維茲第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的。然后他將之運(yùn)用到作為成本價(jià)格的Ci和Vi上，由此便解決了成本生產(chǎn)價(jià)格化的手段問題。這種方法后來被稱為“系數(shù)法”。

鮑特凱維茲如果不是在部門結(jié)構(gòu)問題上誤入歧途，很可能轉(zhuǎn)形問題在他那里就已經(jīng)畫上了句號(hào)。他沒有充分理解馬克思的兩大部類的思想，硬把兩大部類擴(kuò)充成三大部類:第1 部類為生產(chǎn)資料，第2 部類為工人消費(fèi)資料，第3 部類為資本家消費(fèi)資料即奢侈品。按照斯威齊譯文中的符號(hào)，ci、vi、si(i =1，2，3)分別表示第i 部類的不變資本、可變資本和剩余價(jià)值。鮑特凱維茲認(rèn)為在簡(jiǎn)單再生產(chǎn)條件下，下列平衡關(guān)系應(yīng)該成立①這種平衡關(guān)系是不能成立的。雖然奢侈品只進(jìn)入資本家階級(jí)的消費(fèi)，但是不存在不食人間煙火的資本家。在《資本論》第2 卷中，馬克思雖然把工人階級(jí)的消費(fèi)資料和資本家的奢侈品分為兩個(gè)分部類，但是屬于第Ⅱ部類內(nèi)部的劃分。因此，鮑特凱維茲的這一假定，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上是不能成立的。需要強(qiáng)調(diào)的是，鮑特凱維茲的錯(cuò)誤的三大部類方法，特別是公式(7)所體現(xiàn)的平衡關(guān)系，長(zhǎng)期以來一直在誤導(dǎo)著人們，簡(jiǎn)直可以稱為一個(gè)怪圈。即便是塞頓和薩繆爾森，在試圖舉例說明其一般模型時(shí)，也都沒有能夠擺脫這個(gè)怪圈。。

用x、y、z 表示c、v、s 的生產(chǎn)價(jià)格對(duì)其價(jià)值的偏離率，令ρ 表示平均利潤(rùn)率，則有:

現(xiàn)在共有4 個(gè)未知數(shù)x、y、z、ρ，而方程卻只有3 個(gè)①。為使方程組有解，有兩個(gè)解決辦法:或者增加一個(gè)方程，或者減少一個(gè)未知數(shù)。鮑特凱維茲曾經(jīng)考慮過，令總生產(chǎn)價(jià)格等于總價(jià)值，即把:

作為一個(gè)限制條件加進(jìn)來，這樣便有了4 個(gè)未知數(shù)和4 個(gè)方程。在這里，

但是，他又覺得這樣做太麻煩，不如設(shè)法減少一個(gè)未知數(shù)。方程組(8)的計(jì)量單位是勞動(dòng)時(shí)間，他認(rèn)為如果用貨幣來表示更為理想。他說，生產(chǎn)貨幣1 個(gè)單位所必要的勞動(dòng)量(他實(shí)際上說的就是社會(huì)必要?jiǎng)趧?dòng)時(shí)間，把貨幣作為一種商品來認(rèn)識(shí))，是直接溝通兩個(gè)計(jì)算體系(指勞動(dòng)時(shí)間和貨幣)的橋梁②。并假定貨幣商品是黃金，把黃金的1 單位(或者黃金1 盎司的1/35)作為價(jià)值的單位，接著他又進(jìn)一步假定所有奢侈品的單位價(jià)值都是1。這實(shí)際上意味著假定z =1，這樣方程組(8)的未知數(shù)就由4 個(gè)減少為3 個(gè)，化為:

接著，他開始考慮方程組(10)的解法，并做得很細(xì)，不過隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，已經(jīng)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些更為簡(jiǎn)便的解法，我們?cè)谶@里就不再討論該方程組的解法問題了。

之后，鮑特凱維茲便用數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｋ牡? 組數(shù)據(jù)成功地通過了檢驗(yàn)。按照上面的解法，x=9/8，y =3/4，σ =4/3 (即ρ =1/3，注意這一平均利潤(rùn)率與按馬克思定義所計(jì)算的是一致的，可惜只是一個(gè)巧合。后文中我們將會(huì)看到在何種條件下才會(huì)出現(xiàn)這種巧合)，轉(zhuǎn)形的結(jié)果顯示，確實(shí)做到了轉(zhuǎn)形(包括成本的生產(chǎn)價(jià)格化)后，平均利潤(rùn)總額等于剩余價(jià)值總額，生產(chǎn)價(jià)格總額等于價(jià)值總額也同時(shí)成立。但是，鮑特凱維茲馬上發(fā)現(xiàn)了他的模型不具有一般性。他的第2組數(shù)據(jù)就沒能夠通過檢驗(yàn)，雖然平均利潤(rùn)總額等于剩余價(jià)值總額，但是生產(chǎn)價(jià)格總額卻不等于價(jià)值總額。

為什么第1 組數(shù)據(jù)能夠通過檢驗(yàn)，而第2 組數(shù)據(jù)就不能通過檢驗(yàn)?zāi)?鮑特凱維茲發(fā)現(xiàn)其原因在于第3 部類。當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)(如第1 組數(shù)據(jù))，轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”都能成立;而當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成不等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)(如第2 組數(shù)據(jù))，則“兩個(gè)等于”不能同時(shí)成立，生產(chǎn)價(jià)格總額將不等于價(jià)值總額。在鮑特凱維茲的假定中，第3 部類是貨幣部門(開始時(shí)為奢侈品部門)，而一般說來貨幣部門的資本有機(jī)構(gòu)成應(yīng)該不會(huì)等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成，所以他的結(jié)論是:只有在特殊情形下轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”才能同時(shí)成立。也就是說，鮑特凱維茲認(rèn)為轉(zhuǎn)形問題不能夠普遍成立，也就是說他以此來否定了生產(chǎn)價(jià)格理論。

不過，關(guān)于上述的“特殊情形”，鮑特凱維茲提出了一個(gè)令人迷惑的假說:只有當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)，轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”都能成立。雖然這只是限于鮑特凱維茲模型的一個(gè)假說，至今沒有人認(rèn)識(shí)到該假說的真正作用:對(duì)于認(rèn)識(shí)鮑特凱維茲模型的局限性竟然是很關(guān)鍵的一環(huán)。另外，這一假說是否成立或?yàn)槭裁茨軌虺闪?，迄今為止還沒有人從數(shù)學(xué)上做出回答。我們?cè)谙乱还?jié)探討這一問題。

三、鮑特凱維茲假說的數(shù)學(xué)證明

為了證明上述鮑特凱維茲假說，我們先來看一下當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)有什么性質(zhì)。在這里，我們將反復(fù)應(yīng)用所謂分比定理、合比定理等原理。

為了分析的方便，我們令C =c1+c2+c3，V=v1+v2+v3，S=s1+s2+s3。

首先，第3 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成，可以用公式表述為:

由此可得:

因?yàn)镃=c1+c2+c3，V=v1+v2+v3所以有:

方程組(8)的要害之一，就在于等同了可變資本的偏離率與第2 部門商品的偏離率。

② 指出這一點(diǎn)很重要，對(duì)于解決轉(zhuǎn)形的單位問題(即采用勞動(dòng)時(shí)間還是貨幣來作為計(jì)量單位)有重要意義。

從而有:

注意，這里用上了條件(7)。公式(11)的右邊就是馬克思的平均利潤(rùn)率公式。

這樣，把方程組(10)的3 個(gè)方程加到一起，便有:

從而:

把它代入到方程組(10)的第3 個(gè)方程，有:

這說明，當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成時(shí)，在前述(11)下，鮑特凱維茲模型的平均利潤(rùn)率與馬克思所定義的平均利潤(rùn)率是一致的。

由此，對(duì)于生產(chǎn)價(jià)格總額(1 +ρ)(Cx +Vy)有:

即等于價(jià)值總額C+V+S。

而對(duì)于平均利潤(rùn)總額ρ(Cx+Vy)有:

即等于剩余價(jià)值總額S。

上面的論證說明，在鮑特凱維茲模型下，當(dāng)?shù)? 部類的資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成的時(shí)候，轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”都能成立。也就是說，鮑特凱維茲假說在邏輯上是成立的。

順便說一句，通過上面的分析還可以看出，鮑特凱維茲模型即方程組(10)并非如斯威齊(1942)所認(rèn)為的那樣，僅僅是由前兩個(gè)方程決定的，其三個(gè)方程之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的，這種內(nèi)在聯(lián)系在很大的程度上決定了轉(zhuǎn)形后“兩個(gè)等于”能否同時(shí)成立。

四、簡(jiǎn)要的結(jié)論

一百多年來，無數(shù)人在探討鮑特凱維茲模型能夠滿足轉(zhuǎn)形后“總計(jì)一致2 命題”同時(shí)成立的條件，但是大多數(shù)人的眼睛都盯在如何對(duì)z 賦值問題上。也有人開始懷疑令z=1 的必要性，例如日本伊藤誠(chéng)教授就曾質(zhì)疑過，難道就不可以令z等于嗎①伊藤認(rèn)為，如果生產(chǎn)黃金的勞動(dòng)不是1 小時(shí)而是2 小時(shí)的話，那么就應(yīng)該是z=1/2，這樣，鮑特凱維茲的價(jià)格計(jì)算就會(huì)縮減。參見伊藤誠(chéng)《馬克思的價(jià)值理論研究》，《科學(xué)與社會(huì)》1976 年秋季號(hào);《價(jià)值和資本的理論》，巖波書店，1981 年。?但是并沒有人注意到鮑特凱維茲假說也是一個(gè)不可或缺的條件，當(dāng)然這與該假說沒有得到論證有關(guān)。

如上所述，鮑特凱維茲假說是成立的。不過只有在鮑特凱維茲模型(10)下，即在z=1 的時(shí)候才有意義，因而并不具有普遍性。也就是說，他的第3 部類資本有機(jī)構(gòu)成是否等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成，并不能構(gòu)成轉(zhuǎn)形后“總計(jì)一致2 命題”能否同時(shí)成立的一般條件。其實(shí)連他的第3 部類的概念都是不成立的，其上述假說中的條件怎么可能成為轉(zhuǎn)形問題的一個(gè)前提?

另外，把第3 部類資本有機(jī)構(gòu)成是否等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成作為轉(zhuǎn)形后“總計(jì)一致2 命題”能否同時(shí)成立的條件，其實(shí)還是從問題的表象出發(fā)來認(rèn)識(shí)問題的，并沒有認(rèn)識(shí)到該問題的本質(zhì)。當(dāng)然在線性代數(shù)的方法還沒有充分發(fā)展的時(shí)代，能看到這一點(diǎn)已經(jīng)是難能可貴的了。時(shí)至今日，如果用現(xiàn)代線性代數(shù)的方法改寫一下鮑特凱維茲模型(8)便得到:

由此我們可以認(rèn)識(shí)到，鮑特凱維茲其實(shí)已經(jīng)觸摸到了其模型能夠滿足“總計(jì)一致2 命題”同時(shí)成立的條件，這個(gè)條件就是z=1 并且模型系數(shù)陣特征值所決定的平均利潤(rùn)率與馬克思所定義的平均利潤(rùn)率一致(也可以通過第3 部類資本有機(jī)構(gòu)成等于社會(huì)平均有機(jī)構(gòu)成來判斷)。

總之，鮑特凱維茲轉(zhuǎn)形模型盡管是一個(gè)不完善的模型，但是在一定條件下能夠滿足“總計(jì)一致2 命題”同時(shí)成立，這說明，該模型中具有一定的成分接近了正確轉(zhuǎn)形模型，這也正是該模型能夠成為構(gòu)筑BSZ 轉(zhuǎn)形模型的源泉之一的主要原因［2］。

按照半轉(zhuǎn)形公式進(jìn)行計(jì)算的生產(chǎn)價(jià)格化數(shù)例

［1］ 馬克思恩格斯全集:第25 卷［M］. 北京:人民出版社，1975.

［2］ 張忠任.轉(zhuǎn)形問題的關(guān)鍵和誤區(qū):一個(gè)必要的修正［J］.清華政治經(jīng)濟(jì)學(xué)報(bào)，2013，(1).