平行光透過折射率線性變化介質(zhì)的傳播規(guī)律

劉開源

(鞍山師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114007)

0 引言

近年來，光學(xué)技術(shù)運(yùn)用的研究成為一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域，光線的匯聚、發(fā)散以及成像問題得到廣泛研究，而這些光信號(hào)的處理要求用光來控制光，這使得光學(xué)介質(zhì)的作用顯得尤為重要[1-5].目前計(jì)算機(jī)模擬系統(tǒng)在現(xiàn)代光學(xué)、光學(xué)測(cè)量等光學(xué)研究上得到了充分的運(yùn)用[6-9].本文用數(shù)值模擬的方法定量地研究平行光在折射率線性變化介質(zhì)中的傳播軌跡，并給出光束出射介質(zhì)后的一些特點(diǎn)與性質(zhì)，為線性變化介質(zhì)中光路的設(shè)置提供參考依據(jù).

1 理論基礎(chǔ)

如圖1所示，考慮一矩形光學(xué)介質(zhì)，折射率n沿y軸對(duì)稱分布為n(y)=n0(1-A|y|)，其中n0為y=0處的折射率，A為折射率的變化率.一束單色光沿x軸方向射入介質(zhì)內(nèi).我們應(yīng)用光的折射定律研究光線傳播的規(guī)律.

1.1 光線在介質(zhì)內(nèi)的傳播軌跡

圖1 矩形光學(xué)介質(zhì)Fig. 1 Optical medium in the shape of rectangle

為了應(yīng)用折射定律確定光線軌跡方程，根據(jù)圖2分段進(jìn)行研究.把介質(zhì)分成許多與x軸平行的薄層，其中在E處，厚度為dy的任意一薄層的折射率為n.光線通過該薄層后的折射角為θ，同時(shí)也是入射下薄層的入射角, 則由折射定律和幾何關(guān)系，有

nEsinθ0=n1sinθ1=…=nisinθi=….

(1)先考慮x∈(0,x0)的情況.

由于nE=n0(1-A|L|)且此時(shí)L>0，因此有

由圖2可得

圖2 光線在介質(zhì)中的傳播路徑Fig. 2 Propagation path of rays in the medium

在該區(qū)間內(nèi)(下同)，當(dāng)y=0時(shí)，

(2)再考慮x∈(x0,2x0)的情況

由于在x=x0時(shí)，y=-L，此時(shí)光線恰好平行于y軸，折射率nF=n0(1-A|-L|)=n0(1-AL).此時(shí)，由圖2可知,

綜合以上所求的各部分光線軌跡，得到光線在介質(zhì)中的軌跡方程為

由對(duì)稱性可直接寫出光線從點(diǎn)E′(0,-L)垂直于y軸入射的情況.最終可得，當(dāng)光線從點(diǎn)(0,L0)入射時(shí)(L0為實(shí)數(shù)，有正負(fù))，光線在介質(zhì)中的軌跡為

n=0,1,2,3,….令

光在介質(zhì)中傳播的過程中，當(dāng)光線軌跡的圖像位于x軸上方，即y>0時(shí)，

當(dāng)光線軌跡的圖像位于x軸下方，即y<0時(shí)，

1.2 光線透過介質(zhì)后的傳播軌跡

光從介質(zhì)中出射的情況有4種，見圖3.圖3中的tanγ=g′(a).

圖3 光從介質(zhì)中的出射情況Fig. 3 Exit of rays from the medium

由光的折射定律，得：

n0(1-A|g(a)|)sin|γ|=sinβ.

當(dāng)γ>0時(shí)，出射光線的方向?yàn)閠anβ；當(dāng)γ<0時(shí)，出射光線的方向?yàn)閠an(-β)=-tanβ.所以光線透過介質(zhì)后的傳播軌跡

y=sgn(γ)tanβ(x-a)+g(a).

其中tanβ=n0(1-A|g(a)|)sin|γ|，

2 數(shù)值模擬與結(jié)果討論

通過以上數(shù)學(xué)公式，對(duì)平行光通過矩形光學(xué)介質(zhì)的光線軌跡進(jìn)行模擬.

2.1 平行光透過矩形介質(zhì)的情況

矩形光學(xué)介質(zhì)參數(shù)如下：中心處折射率n0=1.5，折射率的變化率A=0.01 cm-1，介質(zhì)寬度D=20 cm，介質(zhì)長度L=10 cm或L=100 cm，介質(zhì)外光線傳播距離Lr=100 cm.根據(jù)以上參數(shù)所成的矩形介質(zhì)模型的光線仿真結(jié)果如圖4和圖5.

圖4 矩形介質(zhì)的長度為10cmFig. 4 Length of rectangle medium, 10 cm

由圖4可以看出，如果將一個(gè)物體放在圖中光線重疊的區(qū)域，這個(gè)物體將不會(huì)產(chǎn)生影子，可以和醫(yī)學(xué)上的無影燈相比.另外，一束平行光通過介質(zhì)后被分為兩束平行光，在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中與分束鏡具有相同的作用.

從圖5可以看出，平行光在介質(zhì)內(nèi)外均沒有實(shí)交點(diǎn)，但出射光線的反向延長線匯聚出虛交點(diǎn).為了更清楚地了解虛交點(diǎn)，把其他光線濾掉，得到圖6和圖7.從圖6和圖7可以看出，出射光線斜率遞減的光線能夠匯聚出一個(gè)虛交點(diǎn).

圖5 矩形介質(zhì)的長度為100 cmFig. 5 Length of rectangle medium, 100 cm

圖6 濾掉無關(guān)光線后Fig. 6 After filtration of unrelated rays

圖7 出射光線的斜率圖Fig. 7 Slope plot of emergent rays

2.2 介質(zhì)前有一個(gè)點(diǎn)光源的情況

由圖8可以看出，光線沒有確切實(shí)或虛交點(diǎn)，但有“虛交點(diǎn)”的密集區(qū)，因此在“虛交點(diǎn)”區(qū)域應(yīng)該可以看到點(diǎn)光源模糊的虛像集.另外，出射光線出現(xiàn)較好的發(fā)散情形.

圖8 點(diǎn)光源通過矩形介質(zhì)的情況Fig. 8 Pointolite passing rectangle medium

3 結(jié)論

本文運(yùn)用幾何光學(xué)的知識(shí)研究了線性介質(zhì)對(duì)平行光線的匯聚與發(fā)散情況，理論推導(dǎo)了光線的軌跡，并對(duì)光線透過線性介質(zhì)后的匯聚、發(fā)散以及成像問題進(jìn)行了探討.數(shù)值模擬結(jié)果表明：介質(zhì)的長短以及折射率的變化對(duì)光線具有良好的匯聚與發(fā)散作用，并能出現(xiàn)虛交點(diǎn).另外，由于自然光有多種成分，所以如果是自然光通過折射率線性變化介質(zhì)后，會(huì)呈現(xiàn)出五彩斑斕的彩色條紋，可以用來做裝飾品.對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中燈具的制作或?qū)嶒?yàn)室中某些光學(xué)儀器的改進(jìn)也具有指導(dǎo)意義.