基于分數(shù)階Kelvin黏彈性模型的固體推進劑藥柱應(yīng)力分析

閆啟方，劉林超，閆 盼

(信陽師范學(xué)院 土木工程學(xué)院, 河南 信陽464000)

0 引言

固體火箭發(fā)動機推進劑藥柱通常澆筑在金屬薄殼內(nèi)，在點火啟動時內(nèi)壓力通常造成推進劑藥柱內(nèi)表面產(chǎn)生裂紋，容易造成發(fā)動機點火爆炸事故，因此針對各種形式內(nèi)壓作用下推進劑藥柱的力學(xué)分析具有十分重要的意義.目前針對內(nèi)壓作用下固體推進劑藥柱力學(xué)性能的研究多是將推進劑視為黏彈性材料，如王元有[1]提出了一種推進劑藥柱在內(nèi)壓力荷載作用下新的黏彈性分析方法；王君祺等[2]考慮固體火箭發(fā)動機點火過程壓力分布的瞬態(tài)非均布特性，結(jié)合三維黏彈性有限元法，計算了固體火箭發(fā)動機點火工況下的結(jié)構(gòu)完整性；楊月誠等[3]采用有限元法對含人工脫黏層的某固體火箭發(fā)動機藥柱進行了線黏彈性分析，研究了在工作內(nèi)壓載荷下人工脫黏層和材料泊松比對藥柱應(yīng)力應(yīng)變的影響.需要指出的是，這些研究都是基于經(jīng)典黏彈性理論展開的，雖然經(jīng)典黏彈性模型在描述材料力學(xué)特性方面具有直觀易懂、物理概念清晰的優(yōu)點，但由于其在蠕變和松弛的初期與實驗數(shù)據(jù)不能很好吻合,導(dǎo)致其應(yīng)用和發(fā)展受到了一定的限制[4].近20年來，分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型作為一種新型的黏彈性模型，以其精確度高、確定模型所需的實驗參數(shù)少、應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)[5]、巖土[6]、材料[7]、減震隔震[8]、航空[9]等眾多工程領(lǐng)域.本文將基于分數(shù)階黏彈性Kelvin模型進行均布內(nèi)壓作用下固體火箭推進劑藥柱的應(yīng)力分析.

1 彈性解

分析圖1所示澆筑在圓形內(nèi)孔中的固體推進劑的應(yīng)力，推進劑澆筑在金屬薄殼內(nèi)，薄殼的內(nèi)外半徑分別為a和b，藥柱空腔內(nèi)受壓為

q(t)=q0H(t),

(1)

其中：q0為藥柱空腔所受壓力幅值，H(t)為單位階躍函數(shù).由彈性力學(xué)可知，推進劑藥柱的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為[10]

圖1 推進劑藥柱簡化模型Fig. 1 Simplified model of propellant grain

2 分數(shù)階Kelvin黏彈性固體推進劑藥柱的應(yīng)力

考慮推進劑的黏性性質(zhì)，將推進劑視為黏彈性介質(zhì)，則有三維黏彈性本構(gòu)方程為[11]

式中：P′，Q′，P″，Q″為線性微分算子；Sij(t)和eij(t)代表黏彈性材料的應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量；σkk(t)和εkk(t)代表黏彈性材料的應(yīng)力球和應(yīng)變球張量.假定推進劑體積變形為彈性，則有Q″=3K，K為體積彈性模量.對式(4)和(6)進行Laplace變換則有

P′=1,Q′=G0+G1Dα,

(9)

其中，G0、G1為材料參數(shù)，可由實驗確定.

考慮零初始條件，則分數(shù)階Riemann-Liouville的Laplace變換式為

L[Dαf(t)]=sαF(s),

(11)

其中，F(xiàn)(s)是f(t)的Laplace變換.對式(7)兩端進行Laplace變換則有

利用黏彈性本構(gòu)關(guān)系變換與彈性材料的形式相似性，可得彈性模量和泊松比的拉氏變換為

這里假設(shè)推進劑不可壓縮，則K→∞，由此可得

對式(4)兩端進行Laplace變換，并考慮式(14)可得

對式(1)、(2)和(3)兩端進行Laplace變換，運用彈性-黏彈性對應(yīng)原理,并考慮式(15)可得推進劑藥柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的拉氏解為

考慮分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),有

3 數(shù)值算例

圖2和圖3以數(shù)值算例的形式給出了r/a=1.5處推進劑藥柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力隨時間的變化曲線.

圖2 徑向應(yīng)力隨時間變化曲線Fig. 2 Curves of radial stress changing with time

圖3 環(huán)向應(yīng)力隨時間變化曲線Fig. 3 Curves of circumferential stress changing with time

圖4和圖5給出了t=10 s、20 s、30 s、40 s時推進劑藥柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力沿徑向的變化曲線. 圖4和圖5中橫坐標(biāo)為r/a，相關(guān)參數(shù)取值為：r/a=1.5，r/a=2，G0=2.3×106，G1=1.05×105，χ=6.9×105.從圖中可以看出，推進劑藥柱徑向應(yīng)力總是壓應(yīng)力，而環(huán)向應(yīng)力總是拉應(yīng)力.由圖2和圖4可知，不管是推進劑藥柱徑向應(yīng)力還是環(huán)向應(yīng)力，其絕對值都是隨著時間逐漸增大并逐步趨于穩(wěn)定；分數(shù)階Kelvin黏彈性模型得到的推進劑藥柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力要比經(jīng)典Kelvin黏彈性模型得到的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力小，且分數(shù)階Kelvin黏彈性模型的解可以退化到經(jīng)典Kelvin黏彈性模型的情況；分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α越大，推進劑藥柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的絕對值越大，越接近經(jīng)典Kelvin黏彈性模型的解.由圖3和圖5可以看出，隨著時間的增大，徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力緩慢的增大，且徑向應(yīng)力薄殼越近，其受時間的影響越小，這里因為此時推進劑藥柱的徑向應(yīng)力接近薄殼的徑向應(yīng)力，而薄殼為彈性體，其徑向應(yīng)力隨時間不變化.

圖4 徑向應(yīng)力沿徑向變化曲線Fig. 4 Curves of radial stress along the radial variation

圖5 環(huán)向應(yīng)力沿徑向變化曲線Fig. 5 Curves of circumferential stress along the radial variation

4 結(jié)論

本文在固體推進劑藥柱均布內(nèi)壓作用下應(yīng)力彈性解的基礎(chǔ)上，考慮分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換及性質(zhì)，運用彈性-黏彈性對應(yīng)原理求解了分數(shù)階Kelvin黏彈性模型描述的固體推進劑藥柱應(yīng)力的時域解.通過數(shù)值算例分析主要得到以下結(jié)論：(1)、固體推進劑藥柱應(yīng)力的分數(shù)階Kelvin黏彈性解可以退化到經(jīng)典Kelvin黏彈性解；(2)、分數(shù)階黏彈性模型在描述推進劑藥柱力學(xué)行為方面要比經(jīng)典黏彈性模型的應(yīng)用范圍廣；(3)、徑向應(yīng)力越接近薄殼，其受時間的影響越小.