基于廣義Henon映射以及CNN超混沌系統(tǒng)圖像加密方案

趙國敏, 李國東

(新疆財經(jīng)大學(xué), 新疆 烏魯木齊 830012)

0 引言

隨著計算機及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)傳輸信息量和速度隨之發(fā)展，現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)傳輸速度之快及信息量之大令人驚嘆，但網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的背后隨之帶來的信息安全問題也越來越受到關(guān)注.由于數(shù)字圖像具有信息豐富、數(shù)據(jù)量大、冗余度高及像素之間相關(guān)程度高等特點，因而數(shù)字圖像已廣泛滲透到我們生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域，并一度成為人們表達信息的重要方式之一.為防止第三方對傳輸圖像的竊取和破壞，需要設(shè)計更加縝密的圖像加密方案.

針對圖像加密問題，學(xué)者們提出了各式各樣加密技術(shù)，總結(jié)現(xiàn)有的圖像加密技術(shù)主要包括：1)傳統(tǒng)加密技術(shù)，如DES(數(shù)據(jù)加密標準)、IDEA(國際數(shù)據(jù)加密算法)等.對于傳統(tǒng)加密技術(shù)來說，其主要是對文本信息加密，其操作簡單，但對數(shù)字圖像加密需對圖像做預(yù)處理，因此圖像加密速度慢.2)數(shù)字圖像像素置亂的加密技術(shù).對于圖像像素置亂加密技術(shù)來說，該方法所涉及的變化為線性變換，操作簡單，容易實現(xiàn)，運算速度快，但經(jīng)過幾次迭代后，明文信息就可以被完全顯示出來，所以該方法抗攻擊性弱，安全性差.3)圖像秘密分割及共享的加密技術(shù).此技術(shù)算法簡單、直觀、安全性好、具有較好的抗干擾性，但圖像數(shù)據(jù)量易發(fā)生膨脹，不利于在網(wǎng)絡(luò)中傳輸.

因此，迫切需要設(shè)計一種安全程度高、操作簡單、運算速度快、利于圖像在網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)募用芊桨?混沌是一種非線性動力學(xué)系統(tǒng)，混沌現(xiàn)象表現(xiàn)為確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機特性.由于混沌系統(tǒng)的初值敏感性及長期不可預(yù)測性，因此混沌系統(tǒng)特別適合應(yīng)用于現(xiàn)代化的圖像保密通信技術(shù)中.鑒于混沌系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，本文利用Henon映射及細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號對圖像加密，增強了加密序列的安全性.

1 Henon映射混沌及細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)

1.1 Henon映射混沌系統(tǒng)

混沌現(xiàn)象是自然界中普遍存在的一種復(fù)雜現(xiàn)象，其主要表現(xiàn)為不規(guī)則、不連續(xù)及不穩(wěn)定特性.Lorenz在1963年發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng),自此之后各式各樣的新混沌系統(tǒng)也不斷被人們所發(fā)現(xiàn).法國天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家Michel Henon在1976年對一種二維函數(shù)進行研究時發(fā)現(xiàn)了一種復(fù)雜系統(tǒng)，定義為Henon混沌系統(tǒng).

Michel Henon從球狀星團以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā),對一種形式簡單的二維函數(shù)過程進行研究,發(fā)現(xiàn)它是具有一些特殊性質(zhì)的復(fù)雜系統(tǒng)，該系統(tǒng)即為Henon混沌系統(tǒng).此后國內(nèi)外許多學(xué)者不斷對Henon混沌系統(tǒng)進行數(shù)值模擬以及仿真研究，最終將Henon混沌系統(tǒng)從二維系統(tǒng)擴展到高維，給出了廣義Henon混沌系統(tǒng).基于前人研究，Richter在2002年定義了無限維的廣義Henon混沌系統(tǒng)，其表示形式如下[1]：

(1)

式中：w表示維數(shù)，當w>2時，該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；i=2,3,…,w；a和b為控制參數(shù)，實驗證明當a=1.76,b=0.1時系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).當w=2時，該系統(tǒng)即為著名的Henon映射[2].目前具有內(nèi)在隨機特性的廣義Henon映射已經(jīng)成為人們在圖像加密過程中經(jīng)常用到的混沌映射之一.基于此,本文研究5維Henon映射的超混沌現(xiàn)象，用于圖像加密技術(shù)的應(yīng)用中，即w=5，其表示形式為

(2)

當a=1.76，b=0.1，初始值xj(1)=1,j=1,2,…,5時所產(chǎn)生的混沌軌跡如圖1所示.

1.2 細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)

Chua在1988年首次提出細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Cellular Neural Network，簡稱CNN)概念，它是一種局部互連的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[3].系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的動力學(xué)行為，能夠?qū)崟r、高速、并行處理信號，該系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于各種圖像處理、模式識別等領(lǐng)域.實驗證明這種復(fù)雜系統(tǒng)在相當大參數(shù)范圍內(nèi)能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，因此利用該系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列對圖像加密很大程度增強圖像的安全性.

圖1 Henon系統(tǒng)混沌軌跡圖

(3)

(4)

由式(3)和式(4)推得5階的全互連CNN動態(tài)模型為

(5)

其中參數(shù)選取為

(6)

把以上參數(shù)代入式(5)，可得CNN微分方程組為式(7)：

(7)

利用四階Runge-Kutta算法求解上述式(7)，產(chǎn)生的混沌吸引子如圖2所示.格里波基在1983年已經(jīng)證明只要最大Lyapunov指數(shù)大于零，就可以肯定混沌的存在.存在正的Lyapunov指數(shù)個數(shù)大于等于2時，就說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).本文選擇Henon所產(chǎn)生序列的第100個作為CNN系統(tǒng)初始條件時，計算每個狀態(tài)下Lyapunov指數(shù)λ1,λ2,λ3,λ4,λ5，圖3為該系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜系圖，計算得到Lyapunov指數(shù)分別為λ1=4.958 3,λ2=2.487 7,λ3=-6.501 0,λ4=-105.683 2,λ5=-2.958 0，從而可知其中有2個正的Lyapunov指數(shù)大于0，因此可以證明該5階細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處于超混沌系統(tǒng).

圖2 CNN超混沌系統(tǒng)混沌吸引子

圖3 系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜系圖

2 圖像加密算法

每一幅灰度圖像對應(yīng)著M行N列的數(shù)字矩陣，矩陣中每一個點對應(yīng)著圖像的一個像素值，像素值為[0,255]之間的整數(shù)，其值即為圖像灰度值.假設(shè)通訊雙方共同持有5維Henon映射和5維細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并且雙方共同享有密鑰集，即5維Henon映射密鑰集key1={a,b,(xi,i=1,…,5)}以及5維細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中如式(6)中的60個參數(shù)密鑰.

2.1 圖像加密算法過程

Step1 發(fā)送方利用廣義Henon映射生成序列①：x1(k),x2(k),x3(k),x4(k),x5(k)，其中k可自行設(shè)定.

Step2 發(fā)送方利用上面生成的序列①作為細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始條件，利用細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(5)生成序列②：y1(k1),y2(k1),y3(k1),y4(k1),y5(k1)，其中k1可根據(jù)圖像情況具體設(shè)定.

Step3 重復(fù)步驟(2)k次，將每次得到的數(shù)②擴展生成序列③：z1(k*k1),z2(k*k1),z3(k*k1),z4(k*k1),z5(k*k1)，且使得k*k1=M*N,最后將③重新排列，排成圖像大小M行N列矩陣④：t1(M*N),t2(M*N),t3(M*N),t4(M*N),t5(M*N).

Step4 分別取常數(shù)k2=9,k3=99,k4=999,k5=999 9,k6=999 99，對矩陣④做如下處理，得到序列⑤：l1(M*N),l2(M*N),l3(M*N),l4(M*N),l5(M*N),

l1=mod(round(t1*k2),256),

l2=mod(round(t2*k3),256),

l3=mod(round(t3*k4),256),

l4=mod(round(t4*k5),256),

l5=mod(round(t5*k6),256).

Step5 發(fā)送方利用生成的序列⑤與l(i,j)=0按如下方式產(chǎn)生加密序列l(wèi)(i,j)：

l=mod(l+l1+l2+l3+l4+l5,256).

Step6 對原始圖像加密，令Yimage=mod(l+Ximage,256)，形成加密圖像.

Step7 接收方收到密文Zimage，解密即加密的逆過程，接收方根據(jù)上述步驟解密得到明文圖像Ximage.

3 實驗仿真及結(jié)果安全性分析

3.1 實驗仿真

本文選取400*400大小的灰度圖像[7-9]，按照以上加密算法對該圖像加密，實驗仿真結(jié)果如圖4所示，其中(a)圖為原始圖像，(b)圖為加密圖像，(c)圖為解密圖像.可見該加密方案能夠完全無損恢復(fù)出加密圖像.

圖4 模擬實驗結(jié)果

3.2 結(jié)果安全性分析

3.2.1 密文熵分析

3.2.2 像素相關(guān)性分析

每幅圖像之間存在某種相關(guān)關(guān)系，也正是由于這種相關(guān)性，圖像才可以完全清晰呈現(xiàn)在人們面前，若相鄰像素之間不存在某種相關(guān)性，圖像像素位置雜亂無章，就不能識別圖像.為驗證原始圖像和加密圖像各像素間的相關(guān)性，本文從水平方向、豎直方向和對角線方向出發(fā)，分別做圖像相鄰像素散點圖.圖5(a)顯示了原始圖像水平方向相鄰像素灰度值的散點圖，圖5(b)表示加密圖像在水平方向上相鄰像素散點圖，表明原始圖像水平方向各像素間存在較強的線性關(guān)系，而加密圖像中散點在整個空間均勻分布，各像素間沒有明顯的線性關(guān)系，同樣在豎直方向和對角線方向可得到類似結(jié)論，本文不再贅述.

圖5 圖像水平方向像素之間相關(guān)關(guān)系

為了定量說明原始圖像和加密圖像像素之間的相關(guān)性，本文計算相鄰像素的相關(guān)系數(shù)，隨機選取10 000個相鄰像素點作為訓(xùn)練樣本，相關(guān)系數(shù)計算見式(8)，實驗結(jié)果見表1，顯示原始圖像和加密圖像在不同方向上相鄰像素的相關(guān)系數(shù).

(8)

表1中數(shù)據(jù)驗證：加密圖像無論是水平方向、垂直方向還是對角線方向上相鄰像素之間相關(guān)系數(shù)較大，說明存在較強的線性關(guān)系.而加密圖像相關(guān)系數(shù)趨近于0，圖像像素之間相關(guān)性蕩然無存.因此可以證明加密圖像中已經(jīng)不存在原始圖像的統(tǒng)計特性，加密效果好.

表1 原始和加密圖像相鄰像素之間相關(guān)系數(shù)

3.2.3 圖像直方圖分析

圖6分別給出了原始圖像直方圖和加密圖像直方圖，通過比較可以看出，在原始圖像中，直方圖錯落有致，明顯看出像素之間存在某種關(guān)系.加密后圖像直方圖分布發(fā)生巨大變化，直方圖分布均勻，說明原始圖像的統(tǒng)計特性已不存在，因此加密圖像有較強的抵抗能力.

圖6 圖像像素直方圖

3.2.4 密鑰空間及敏感性分析

算法對系統(tǒng)參數(shù)依賴程度較大，只要參數(shù)有微小變化，接受者就不能完全無誤解密出加密圖像，也驗證算法的抗攻擊能力較強.實驗仿真結(jié)果表明，本文算法對Henon映射中的7個參數(shù)，細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的60個參數(shù)的敏感程度都非常高，均達到10-16，也就是說圖像加密過程中使用的加密密鑰中有10-16的微小變化，攻擊者就不能解密出原始圖像，此時攻擊將是徒勞的.圖7分別給出了兩個混沌系統(tǒng)的某一個參數(shù)發(fā)生變化時解密出來的圖像.圖7(a)為原始圖像；圖7(b)表示Henon系統(tǒng)初始條件x(1)變化為x(1)=1+10-16時的解密圖像；圖7(c)表示細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)系數(shù)a4變化為a4=2+10-16時的解密圖像，本文算法密鑰空間也是相當大的，其中使用的密鑰總共67個，則密鑰空間中個數(shù)將達到(1016)67.

圖7 圖像對密鑰敏感性測試

另外算法中涉及的一些常數(shù)也設(shè)計為密鑰的話，密鑰空間將進一步擴大，可見本文算法對攻擊者來說抵抗能力較強.

5 結(jié)論

基于復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，本文設(shè)計了一種更有利于圖像在網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)膱D像加密方案即基于廣義Henon映射、5階CNN超混沌系統(tǒng)的加密方案.基于產(chǎn)生的超混沌序列對原始圖像做變換得到密文圖像，文中最后做了模擬仿真實驗并對結(jié)果進行了安全性分析，得出以下結(jié)論：1)信息熵作為隨機性評價的統(tǒng)計指標來衡量本文加密方案，計算加密圖像信息熵為7.998 8，接近理想水平信息熵8，加密效果好.2)本文用像素之間相關(guān)系數(shù)作為衡量圖像統(tǒng)計特性的統(tǒng)計指標，驗證表明原始圖像相關(guān)系數(shù)接近1，加密圖像相關(guān)系數(shù)接近0，證明加密圖像不存在原始圖像的統(tǒng)計特性.3)混沌系統(tǒng)對初始值的敏感特性以及密鑰空間巨大使得加密圖像對于反攻者的抵抗能力較強.因此基于5階廣義Henon映射以及5階細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超混沌系統(tǒng)的圖像加密方案加密效果好.