粒子的散射方程、孤子解和高能統(tǒng)計(jì)模型

張一方，張國(guó)璽

(1.云南大學(xué) 物理系，云南 昆明 650091; 2.鄭州幼兒師范高等?？茖W(xué)校，河南 鄭州 450000)

0 引言

對(duì)于粒子的運(yùn)動(dòng)態(tài)主要研究彈性、非彈性及各種相互作用時(shí)的碰撞及多重產(chǎn)生.因此,各種粒子的碰撞截面在粒子物理中是一個(gè)十分具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并且積累了海量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).然而，從1980年到2010年,其中大部分結(jié)果都基本相同[1-2],但是對(duì)這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及圖形的解釋卻是非常困難的問題，也是許多高深理論并不討論的問題.

散射時(shí)只有基態(tài)強(qiáng)子及輕子、光子的散射，而共振態(tài)壽命太短，無法散射.散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果主要有：1)非彈性散射部分所占比例不變，約為3/4.2)總截面上升[2].3)交叉對(duì)稱性等.按能量散射可以分為低、中、高、超高能區(qū)域.超高能時(shí)聯(lián)系于噴、多重產(chǎn)生.低能彈性散射對(duì)應(yīng)Compton散射等.對(duì)pp彈性散射，低能時(shí)是庫侖散射，高能時(shí)是Van der Waals(VdW)公式.

散射理論一般基于場(chǎng)論等純理論，如WKB法、分波法、Born近似法等[3]，但通常無精確解.分波法是普遍方法，r→∞時(shí)相互作用可以略去，V(r)→0，最后結(jié)果與勢(shì)無關(guān)，如此波函數(shù)、截面與粒子無關(guān).量子力學(xué)的散射理論中有一個(gè)著名公式[3]，

(1)

而且散射截面σ(θ)=|f(θ)|2=|ψ2|2r2.分波法和Born近似法分別適用于低能和高能，如此中能散射應(yīng)該在二者之間內(nèi)插.量子場(chǎng)論中嚴(yán)格的散射理論，是基于散射矩陣和微擾論.散射中無限遠(yuǎn)時(shí)(入射前或后)是自由場(chǎng)方程，而散射時(shí)是相互作用場(chǎng)方程.此外也有一些散射的半唯象理論，如VdW公式及其推廣，對(duì)總截面的Lipkin繪標(biāo).這又涉及標(biāo)度性和部分子-夸克模型等.量子力學(xué)的方法是把相互作用歸為勢(shì).碰撞時(shí)的方程應(yīng)該是解相互作用耦合方程，然后相互作用化為流、勢(shì)等.量子場(chǎng)論的散射矩陣?yán)碚摼芙^討論任何局域可觀察量.散射矩陣滿足數(shù)條公理：對(duì)稱性，幺正性(這就是量子力學(xué)中的幾率守恒)和解析性(對(duì)某些簡(jiǎn)單的散射過程，解析性是相對(duì)論因果律的推論).而粒子物理中存在各種對(duì)稱性[1,4-5].

筆者在回顧粒子碰撞中的模型后，討論了由這些碰撞得到的某些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.并重點(diǎn)探討了某幾類碰撞截面和相應(yīng)的散射方程.這些方程及截面是互相聯(lián)系的，甚至是可以統(tǒng)一的.把方程歸為四類：特殊函數(shù)方程、VdW方程、Γ分布及一般分布的方程和某些新的方程[6].散射總截面的變化可以認(rèn)為是低能波動(dòng)性(離散分布)越來越弱，最后趨于粒子性(連續(xù)、Γ分布).1990年基于統(tǒng)計(jì)性試圖解釋pp彈性散射截面[7].已知統(tǒng)計(jì)物理又類似量子場(chǎng)論[8].無相互作用則各種散射統(tǒng)一.R(p)方程的解是Bessel函數(shù).相互作用作為微擾，則類似Born近似法.本文基于散射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論散射的各種方程及相應(yīng)的模型.

1 散射方程及其解

散射方程可以是量子場(chǎng)論方程，有勢(shì)的量子力學(xué)方程，KdV方程等.

各種粒子相應(yīng)的方程具有相同性和不同性.最基礎(chǔ)的應(yīng)該歸為相互作用、拉氏量方程不同.如電磁相互作用不同的π+p,π-p；量子數(shù)S、I不同的Kp,πp等等.但結(jié)果必然還是與能量有關(guān).對(duì)Kp,πp等，動(dòng)力學(xué)模型的矢量場(chǎng)必須先化為標(biāo)量場(chǎng).理論上如果都化為夸克-膠子相互作用，則全部強(qiáng)相互作用碰撞應(yīng)該統(tǒng)一.散射有n級(jí)近似就是存在n種相互作用，可以化為各種勢(shì)，如反比曲線對(duì)應(yīng)于基本相互作用，而波形圖對(duì)應(yīng)強(qiáng)相互作用等.

正正荷電pp、π+p等碰撞，可以是波形和Γ形的中插，最簡(jiǎn)單是二者結(jié)合.如聯(lián)系于相對(duì)論立方方程，對(duì)應(yīng)Higgs方程.低能時(shí)是非相對(duì)論立方Schrodinger方程，碰撞時(shí)是波形圖，高能時(shí)對(duì)應(yīng)于Higgs方程，孤子解又是Γ形圖.

量子力學(xué)和量子場(chǎng)論方法結(jié)合則[9]：

σ∝d∑fi∝dWfi∝|Mfi|2∝|Sfi|2∝|ψ|2;

σ∝|T|2,τ-1∝|Tba|2.

(2)

把各種截面都化為方程，有結(jié)果.

1)一般σ=C(ln (s/s0))α-1(s/s0)-β，所以

dσ/ds=(C/s0)(ln (s/s0))α-2(s/s0)-(β+1)

((α-1)-βln (s/s0)).

(3)

它包括多重?cái)?shù)=A+Blns+C(lns)2及方程

d/ds=(B+2Clns)/s,

(α=2,β=0,s0=1).

(4)

α=1時(shí)包括Lipkin標(biāo)繪dσT/ds=-Rs-3/2/2，Collins公式，火球模型，=a+blns或AEα等.β=0時(shí)包括夸克-部分子模型等的結(jié)果.

2)s0=1,β+1→b，(α-1)→a,則

dσ/dx=Cx-b(lnx)α(a-βlnx).

(5)

它包括量子電動(dòng)力學(xué)(QED)中高能時(shí)的結(jié)果[10]：

a)對(duì)光子自由散射，

b)對(duì)e+e-→2γ，

dσ/dx=2π(α/m)2x-2(2-lnx).

c)光被庫侖場(chǎng)散射，

dσ/dx=(3σ2/π2x-3(1-2lnx).

d)核場(chǎng)中單光子的對(duì)產(chǎn)生，

e)核場(chǎng)中單光子的相干散射，

f)對(duì)產(chǎn)生，dσ/dx=2Cx-3lnx(1-lnx).

但不包括雙光子的標(biāo)量介子對(duì)產(chǎn)生，

3)令lnx=y，則

dσ/dy=Ce-(b+1)yyα(a-βy).

(6)

進(jìn)一步，一階方程可以化為二階方程，如式(6)化為

a(b+1)-β(α+1)).

(7)

如果C′e-(b+1)yyα=σ，則

(8)

C″e(cuò)-(b+1)yyα-1=σ,

(9)

則

σ″=(βy2-my+γ)σ,

(10)

是諧振子勢(shì)的Schrodinger方程

▽2ψ+2m(E-U0-(kx2/2)+akx-

(ka2/2))ψ=0.

(11)

解是

ψ=Cexp(-α2x2/2)H0(αx).

(12)

其能級(jí)是諧振子.

如果C?e-(b+1)yyα+1=σ，則

σ″+(-β+(m/y)-(γ/y2))σ=0,

(13)

是庫侖場(chǎng)中的Schrodinger方程

u″+(2m(E+Ze2/r)-l(l+1)/r2)u=0.

(14)

解是

(15)

令r=lnx，則由此可解得QED散射中的某些高能截面：n=2,l=0是b)；n=2,l=1是c)；n=3,l=2或u21=rR21是e)和f).其中QED對(duì)應(yīng)庫侖場(chǎng).

散射截面隨能量改變，總截面有Lipkin繪標(biāo)[13]：

(16)

非相對(duì)論ψ-φ方程的解是Laguerre函數(shù)[14]；而非相對(duì)論ψ-Aμ方程的解是Hermite函數(shù)[14].二函數(shù)在n=0,1時(shí)都是線性關(guān)系；n增大時(shí)就是多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)波形圖，能量越大，n越大.

對(duì)Laguerre方程

xy″+(1-x)y′+λy=0

(17)

的解是Laguerre函數(shù)L.λ=0，L=1對(duì)應(yīng)PV/NkT=1；λ=1，L(C/V)=1-(C/V)是直線或反比式；λ=2,3,4等，L(C/V)更復(fù)雜.

對(duì)Pearson方程

(18)

2 非線性方程的孤子解和碰撞解

筆者討論過粒子物理中的各種非線性理論，如非線性波、非線性方程、復(fù)時(shí)空及其與幾何、數(shù)學(xué)等的關(guān)系和可能的檢驗(yàn)[15-16].具體描述粒子散射可以應(yīng)用非線性方程的孤子解、碰撞解結(jié)合量子力學(xué)的散射截面得σ=A|ψ|2.彈性碰撞應(yīng)該是孤子波碰撞解，而非彈性碰撞是耗散波或色散波的碰撞解.這必須首先發(fā)展數(shù)學(xué)方法.

對(duì)非線性Schrodinger方程的碰撞可以是：1)把相互作用作為勢(shì).2)發(fā)展為碰撞解.3)發(fā)展為非線性Dirac方程、Klein-Gordon(KG)方程等及其碰撞解.

研究具有非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)，而不考慮耗散效應(yīng)的淺水波等很大一類問題得到KdV方程[17].KdV方程計(jì)算結(jié)果或其平方類似某些散射截面.KdV方程的一般形式是：

(19)

其最簡(jiǎn)單的一種推廣是：

φt+αφ2φx+φxxx=0.

(20)

目前主要都是研究一個(gè)方程的孤子碰撞解，這至多對(duì)應(yīng)于相同粒子的碰撞.其中雙子解應(yīng)該等于碰撞解，對(duì)應(yīng)于散射.發(fā)展為兩個(gè)粒子的碰撞解，必須解孤子方程組.一般的方法是解一個(gè)方程再代入另一個(gè).如果方程組化為非相對(duì)論的勢(shì)方程，則是單個(gè)方程；其又可以化為非線性孤子方程.并且還必須考慮耗散效應(yīng)及相應(yīng)的結(jié)果.

進(jìn)一步，應(yīng)該發(fā)展一般的非線性Schrodinger方程(特例是立方Schrodinger方程)和非線性相對(duì)論Dirac方程、KG方程、Proca及Maxwell方程，其聯(lián)系于非線性光學(xué)、激光等.并且研究它們的孤子解、碰撞解等.

初態(tài)或末態(tài)為n體的孤子碰撞在某一時(shí)刻或某一位置起碼應(yīng)該有n個(gè)峰，特別對(duì)兩體相互作用.孤子用于兩體彈性散射只能有兩個(gè)峰，如π+p,K-p,pp的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[1-2].

總截面對(duì)應(yīng)于孤子解積分一次的Γ形孤子.這起碼是一級(jí)近似，有起伏是高級(jí)近似.解碰撞粒子的方程組，這是嚴(yán)格解.在一定條件下化為一個(gè)方程，其必然是非線性方程.此時(shí)非線性項(xiàng)對(duì)應(yīng)于勢(shì)，非相對(duì)論時(shí)是非線性Schrodinger方程.

Γ形截面可以化為略有起伏的Γ形孤子解，再結(jié)合Λ(鐘)形孤子解,即二者疊加.Γ形對(duì)x求導(dǎo)就是Λ形，反之是求積分.由此聯(lián)系于Higgs方程，其解為Γ形、結(jié)合旋量場(chǎng)方程就可以進(jìn)一步修改Γ形.沖擊波和Burgers方程的解都是Γ形孤子.Γ形又類似Einstein-Debye固體理論的圖形.其形式(起碼一級(jí)近似時(shí))是

(21)

(22)

這是基于統(tǒng)計(jì)模型的碰撞理論.碰撞的相互作用勢(shì)是諧振子勢(shì)，熱容量對(duì)應(yīng)于截面.Γ形更類似原子核結(jié)合能曲線.這已有半唯象的公式和理論.

Γ形截面僅對(duì)總截面成立.強(qiáng)子碰撞，正正荷電者pp、pd、K+p、K+d、π+p總截面應(yīng)該類似，高能時(shí)上升；K+p是Γ形孤子，上下截面各是12.7和 2.3[2].二階方程是非線性Higgs方程，解為Ath(a+bx)，一階方程是

(23)

這對(duì)應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型及其Γ形孤子.

立方Schrodinger方程的解及其平方(即幾率密度及截面)就導(dǎo)致Λ型孤子.方程對(duì)應(yīng)于低速、低能，此時(shí)正好才有Λ型孤子.高能時(shí)都是平滑曲線，對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)性，應(yīng)由高能時(shí)的方程導(dǎo)致，此時(shí)化為相對(duì)論量子力學(xué)方程，有非線性相互作用時(shí)就導(dǎo)致Λ型孤子或反比.一般是高低能疊加.這是解疊加.進(jìn)一步應(yīng)該是方程及相應(yīng)的解統(tǒng)一.

基于量子力學(xué)非線性方程得到幾率密度方程[14,18]：

dρ/dE=aρ(1-2ρ).

(24)

具體方法是：(A)解旋量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng)方程，然后平方得截面.(B)直接解密度及截面方程.費(fèi)米子和玻色子方程形式上統(tǒng)一[14,19]，則

ψ″+cψ′+mψ+aψ″=0,

(25)

對(duì)應(yīng)非線性振動(dòng)方程，有極限環(huán)；又類似(統(tǒng)一的)立方Schrodinger方程，有Λ型孤子解.化為

pdp/dψ+cp+mψ+aψn=0,

(26)

原方程是變形的埃姆登方程

v″+(2u-1)v′+μ(μ-1)v+vn=0,

(27)

僅在特殊情況時(shí)解有限.

最好的方法是非線性Schrodinger方程、Dirac方程、KG方程或其他方程的解的疊加或Backlund變換等.碰撞作為方程解的疊加應(yīng)該:1)同位旋空間的方程及相同的Feynman規(guī)則的粒子，如pp,pn及其反粒子等相同或相似;2)電磁相互作用，如pp是排斥力等，對(duì)應(yīng)于電荷不同的庫侖場(chǎng).基礎(chǔ)是幾種力同時(shí)相互作用，即把截面σ分解為幾種圖形和相應(yīng)的相互作用、解、方程的疊加.

3 共振態(tài)、彈性散射和非彈性散射

低能時(shí)散射常常得到共振態(tài)，高能時(shí)就是連續(xù)的非彈性區(qū).π+p,π-p散射的總截面的波峰，在E—σ圖中是△，N的部分共振態(tài).而π-p的第一峰也是對(duì)應(yīng)于△(1236)，不是N.如此σ(E)函數(shù)的極大值就是某些共振態(tài)的質(zhì)量.總之，碰撞有時(shí)只產(chǎn)生共振態(tài)；有時(shí)還產(chǎn)生其他粒子.而對(duì)應(yīng)波峰的粒子基本都是Regge共振態(tài)，除N(1520).Regge極上的重子基本都是波形峰.

共振態(tài)都是小質(zhì)量、低自旋、窄寬度峰.共振態(tài)可以是:1)直接產(chǎn)生A+B→C+R，其中R→D+E+…;2)復(fù)合形成A+B→R→C+D+…，波形峰和Regge極都是如此.這類似復(fù)合核、中間態(tài).散射曲線、動(dòng)力學(xué)模型方程碰撞解的極大值就應(yīng)導(dǎo)致Regge極S=aJ+b.二者統(tǒng)一為A+B→R+C(C≠0，或C=0).

散射可以化為復(fù)合中間態(tài)，類似復(fù)核，然后衰變.對(duì)碰撞復(fù)合粒子的中間態(tài)應(yīng)用方程，費(fèi)米子-費(fèi)米子及玻色子-玻色子是KG方程，如γγ,NN；玻色子-費(fèi)米子是Dirac方程，如γp(γd),π+p(N,d),Kp(N,d).引入中間態(tài)的總粒子是自由粒子方程，但有內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互作用.特別幾率密度ρ∝ψ2方程就對(duì)應(yīng)截面σ∝ψ2方程.這可以類比原子核、分子的碰撞.

對(duì)此首先分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[1-2]，同時(shí)進(jìn)行分類.

1)彈性散射，有近似公式

(28)

彈性散射在一定能量區(qū)域時(shí)主要是衍射.理論基礎(chǔ)是熱力學(xué)，統(tǒng)計(jì)性及量子液滴模型，其中

(29)

近似時(shí)化為Aeβt，再取近似就是直線式.對(duì)應(yīng)于孤子碰撞解，孤波疊加.

2)非彈性散射，對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)性方程或特殊函數(shù)，及統(tǒng)計(jì)性的火球模型、激發(fā)態(tài)模型和部分子及其場(chǎng)論.這包括衍射.

進(jìn)而研究彈性與非彈性散射的關(guān)系.推廣研究總截面，結(jié)合Feld的漸近近似關(guān)系[20].彈性散射可以認(rèn)為是純粹的碰撞；非彈性散射則認(rèn)為還必須有一個(gè)中間過程，如火球、激發(fā)態(tài)等.二者對(duì)應(yīng)的粒子分別是穩(wěn)定態(tài)和不穩(wěn)定態(tài).在極限碎裂模型(HLF)中，上一層粒子是非彈性散射，下一層夸克等是彈性散射.這可以結(jié)合標(biāo)度假設(shè).如果各類散射所占比例不變，則應(yīng)由粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)決定.彈性散射占30%，這基本上也是膠子的比例.

(30)

c<0和cb-a>0是反比曲線；c>0和cb-a<0是Γ型曲線；c>0和cb-a>0是上坡曲線；c<0和cb-a<0是L型曲線.積分得

(31)

理論上，電磁、弱相互作用應(yīng)該全部由QED、弱電統(tǒng)一理論決定.在QED中，截面常常在低能時(shí)是多項(xiàng)式，高能時(shí)散射截面幾乎都有對(duì)數(shù)項(xiàng)，無論對(duì)軔致輻射或者對(duì)電離輻射[21].強(qiáng)相互作用電荷共軛C守恒，所以強(qiáng)子散射時(shí)Pomeranchuk定理[20]漸近成立，近似與電荷無關(guān)，符合很好.這說明高能時(shí)正負(fù)電荷的差別可以忽略.強(qiáng)相互作用中，p和n相同，pp與pn散射之間的差別是電磁相互作用.根據(jù)結(jié)構(gòu)模型，截面之間可建立一定關(guān)系[20]：pp/pn=37.1/38.3，K+p/K+n=19.1/19.35都是電荷相同的截面較小，有一個(gè)中性粒子的截面較大.π+p/K+p=22.1/19.2，質(zhì)量增大時(shí)截面變小.截面的總變化是：

K+p>K-n,π-p>π+p.

(32)

4 高能散射和統(tǒng)計(jì)模型

強(qiáng)子高能碰撞多重產(chǎn)生的許多模型，從預(yù)言次級(jí)粒子快度分布看，一是以多重邊緣碰撞模型為代表，分布基本上在一個(gè)比較大的范圍內(nèi)均勻分布.二是以火球模型為代表，分布基本上集中在一個(gè)或幾個(gè)小區(qū)域.

高能輕子(e,μ,v)與核子的散射說明大動(dòng)量轉(zhuǎn)移過程，即小距離處(<10-14cm)強(qiáng)相互作用變?nèi)?漸近自由).高能粒子碰撞中多重?cái)?shù)分布具有多分形結(jié)構(gòu)[22].

量子力學(xué)一個(gè)最基本的特性就是統(tǒng)計(jì)性[8].這包括量子力學(xué)方程，非線性統(tǒng)計(jì)性的各種方程及其在高能時(shí)的解.高能時(shí)質(zhì)量項(xiàng)可以略去，即無線性項(xiàng)，就是反比曲線.結(jié)合高能時(shí)統(tǒng)一方程[14]有

dψ/dη+mψ=J，其中m≈0.

(33)

無相互作用J=0時(shí)，σ=C是常數(shù).有相互作用J≠0時(shí)，σ=J2(Ap+BE)2+C隨能量、動(dòng)量上升.進(jìn)一步發(fā)展為非線性方程

dψ/dη+Aψn+1=0,ψ=(Anη+C)-1/n.

(34)

n=2時(shí)是Heisenberg統(tǒng)一方程[23].σ=|ψ|2=(1/2Aη)+C是反比關(guān)系.方程

ψ′+mψ+aψ″=0

(35)

相應(yīng)的密度方程有Γ型孤子解.方程本身的解為

ψ=(Ce(n-1)mη-(a/m))-1/(n-1).

(36)

n=3時(shí)密度對(duì)應(yīng)量子統(tǒng)計(jì)[14,24].對(duì)二階方程

φ″±m(xù)2φ?bφn=0,

(37)

可以有Λ型、Γ型孤子解；高能時(shí)對(duì)應(yīng)波動(dòng)方程應(yīng)該是反比關(guān)系；m≈0，C=0時(shí)解為

碰撞時(shí)的統(tǒng)計(jì)性只有兩種：Fermi-Dirac(FD)或Bose-Einstein(BE)統(tǒng)計(jì)，其量子數(shù)不同，但不涉及具體的中間過程.粗略而言，可以分為同類粒子散射，對(duì)應(yīng)氣體狀態(tài)方程；不同類粒子散射，對(duì)應(yīng)自洽場(chǎng)方程.也可能不同方程對(duì)應(yīng)不同能級(jí)，其實(shí)質(zhì)是多體問題.自洽場(chǎng)方程近似時(shí)是托馬斯-費(fèi)米氣體，其曲線類似Kendall分布.

統(tǒng)計(jì)性起碼對(duì)散射成立，例如多重產(chǎn)生、各種統(tǒng)計(jì)模型、pp散射的VdW公式(這表明此時(shí)是熱力學(xué)體系)等.散射可以是統(tǒng)計(jì)性結(jié)合特殊函數(shù).但具體計(jì)算顯示不可能是單獨(dú)的任何函數(shù).

5 結(jié)論

粒子的統(tǒng)計(jì)模型一般說明的是多體問題.統(tǒng)計(jì)的液滴模型、 分布對(duì)應(yīng)于高能，殼層模型對(duì)應(yīng)于中低能.二者結(jié)合則類似核的綜合模型.即原子、核的殼層、液滴的綜合模型，再結(jié)合粒子的相應(yīng)模型和統(tǒng)計(jì)模型.

描述碰撞最徹底的方法是由統(tǒng)計(jì)性理論統(tǒng)一導(dǎo)出散射的各種統(tǒng)計(jì)模型等.同時(shí)結(jié)合場(chǎng)論、拉氏量等.統(tǒng)計(jì)性對(duì)應(yīng)于場(chǎng)論，由場(chǎng)論又導(dǎo)致程函、HLF等方法、模型.

描述碰撞最可能是低能對(duì)稱性解和高能統(tǒng)計(jì)性解的疊加，二者各相應(yīng)于孤子和混沌.這不僅聯(lián)系于我們得到的非線性方程的孤子-混沌雙解[24-25]，而且相應(yīng)于筆者提出的粒子低能對(duì)稱性和高能統(tǒng)計(jì)性的新二重性[14].