媒體宣傳影響下的脈沖控制雙菌株SIR傳染病模型

郭淑利,張 萍

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

傳染病是由各種病原體引起的能在人與人、人與動(dòng)物、動(dòng)物與動(dòng)物之間相互傳播的一類疾病，傳染病嚴(yán)重危害人類健康與社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展.傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)傳染病進(jìn)行定量研究的一種重要方法，是根據(jù)疾病的發(fā)生及其在種群內(nèi)或種群間傳播和發(fā)展的規(guī)律，建立能反映疾病發(fā)展變化過程和傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型動(dòng)力學(xué)形態(tài)的定性、定量分析，揭示其流行規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)，尋求防控疾病的最優(yōu)策略.不同的傳染病，人為干擾、防控的方式不同，如乙肝，常用的免疫策略是在固定時(shí)刻T進(jìn)行脈沖式預(yù)防接種，刻畫這種免疫策略的SIR傳染病模型可用下列方程組表示[1-3]：

(1)

模型(1)刻畫了疾病的病原體只有一種菌株的情形，然而，有許多傳染病，如肺結(jié)核(TB)、細(xì)菌性肺炎(Bacterial pneumonia)、丙型肝炎(HCV)、艾滋病(AIDS)、淋病(Gonorrhea)、登革熱(Dengue Fever)、流感(Influenza)等，引起這些疾病的病原體的表現(xiàn)形式有許多種，即病原體有多種菌株.近年來(lái)，多菌株傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究已引起國(guó)內(nèi)外許多專家、學(xué)者的興趣[4-7].

本文沿用文獻(xiàn)[10]中的發(fā)生率形式，建立并研究受媒體宣傳影響和脈沖控制的雙菌株SIR傳染病模型.

1 模型

假定總?cè)丝跒槌?shù)，在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，考慮媒體宣傳影響和脈沖控制的雙菌株SIR傳染病模型可用如下的脈沖微分方程組表示：

(2)

由于系統(tǒng)(2)中最后一個(gè)方程是獨(dú)立的，所以只需考慮如下3維系統(tǒng)即可.

(3)

2 疾病消除周期解的存在性和穩(wěn)定性

對(duì)于系統(tǒng)(3),與沒有控制措施的模型一樣，首先研究無(wú)病平衡解的存在性和穩(wěn)定性.為此假設(shè)Ij≡0(j=1,2).于是有

(4)

系統(tǒng)(4)是一個(gè)接種周期為T的周期系統(tǒng)，所以只需研究系統(tǒng)在任何一個(gè)脈沖區(qū)間(nT,(n+1)T)上解的行為即可.在該區(qū)間內(nèi)，

S(t)=1+(S(nT+)-1)exp(-b(t-nT)),

t∈(nT,(n+1)T).在時(shí)刻t=(n+1)T實(shí)施一次免疫接種，

S((n+1)T+)=

(1-p)(1+(S(nT+)-1)exp(-bT)).

(5)

記S(nT+)=Sn,則由式(5)可得如下差分方程：

(6)

差分方程(6)存在唯一的正平衡態(tài)

(7)

由于|f′(S*)|=(1-p)exp(-bT)<1,因此S*存在且局部穩(wěn)定，并且可以證明S*也是全局穩(wěn)定的.因此，在區(qū)間(nT,(n+1)T]內(nèi)，

S(t)=(1+(S*-1)exp(-b(t-nT)))=

(1+(S*-1)exp(-b(t+T-(n+1)T)))=

S(t+T),t∈(nT,(n+1)T).

(8)

(9)

當(dāng)t∈(0,T)時(shí)，設(shè)方程(9)的基解矩陣為

令Φ1(0)=E,計(jì)算可得

其中

當(dāng)t=T時(shí)，

故在區(qū)間[0,T]上，

其特征乘子分別為

(10)

根據(jù)Floquet定理，當(dāng)|λk|<1(k=1,2,3)時(shí)，疾病消除周期解穩(wěn)定.

證明當(dāng)R0<1時(shí)，對(duì)于充分小的ε>0,下面不等式總成立.

(11)

根據(jù)解的正性，由系統(tǒng)(3)可得

(12)

由比較定理可得

(γj+b))dρ)=

由于當(dāng)t→∞時(shí)，n→∞,結(jié)合不等式(11)得到

證畢.

3 疾病的持續(xù)生存性

由系統(tǒng)(3)中第一個(gè)方程可知，

其比較系統(tǒng)

(13)

收斂于

當(dāng)Ij≡0時(shí)，在區(qū)間(nT,(n+1)T]上，

記

這里，

βj1(M+1)ε).

于是，當(dāng)t∈(t*+nT,t*+(n+1)T]時(shí)，

(γj+b)+Lj(ε))dρ)=

(γj+b)+Lj(ε))dρ)≥

Lj(ε))dρ)exp(-(γj+b)T+Lj(ε)T).

利用R0>1以及ε的任意性得到

因此，

Ij(t)≥Ij(t*)exp((-(γj+b)+

Lj(ε))T)exp(nΨj(ε)),

(14)

下證疾病一致持續(xù)生存.事實(shí)上，疾病的弱持續(xù)生存保證了至少存在c>0及t1>t*,使得I1(t1)>c或I2(t1)>c至少一個(gè)式子成立.

1) 若當(dāng)t>t1時(shí),總有I1(t1)>c或I2(t1)>c成立，則取η=c>0,定理得證.

不失一般性，假定t1∈(n1T,(n1+1)T]，取n2∈Z+,使e(γ1+b)T

否則，?t∈((n1+1)T,(n1+1+n2)T],有I1(t)

I1((n1+1+n2)T)≥I1((n1+1)T)en2Ψ1.

(15)

另一方面，由系統(tǒng)(3)中第二個(gè)方程知，

所以，I1((n1+1)T)≥ce-(γ1+b)T,于是由式(15)可知，I1((n1+1+n2)T)≥ce-(γ1+b)Ten2Ψ1>c,矛盾.因此，必存在t3,使I1(t3)≥c.

4 結(jié)論