一類富營養(yǎng)湖泊中藻類的狀態(tài)反饋控制模型

傅金波，郭紅建

(1. 福建師范大學(xué) 閩南科技學(xué)院, 福建 泉州 362332；2.信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000)

0 引言

湖泊富營養(yǎng)化已成為淡水水環(huán)境面臨的主要水污染問題之一.造成湖泊富營養(yǎng)的因素有很多，如工業(yè)污水和城鎮(zhèn)生活污水大量排放、水產(chǎn)養(yǎng)殖過量投放飼料等.這些污水和未被利用的含有大量氮磷的營養(yǎng)物，隨地表徑流和雨水沖刷進(jìn)入到湖泊水體.水體中氮磷等的長期堆積是水體富營養(yǎng)的主要原因.

水體富營養(yǎng)為藻類的生長和繁殖提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，在適宜的條件(如氣溫等)下，藻類快速和大量繁殖，甚至形成“水華”.由于藻類的過度繁殖，大量消耗水中的氧氣，使得其他生物的生存環(huán)境下降.另外，還有一些藻類會(huì)釋放一些毒素.總之，水體富營養(yǎng)造成的藻類大量繁殖甚至水華，使湖泊水質(zhì)變得污濁,透明度降低,水生生物大量死亡，嚴(yán)重破壞湖泊生態(tài)系統(tǒng)平衡.關(guān)于水體富營養(yǎng)化及其危害的研究已有很多文獻(xiàn)報(bào)道[1-3].

為了防止湖泊中的藻類暴發(fā)成水華，人們采取了很多措施，如投放魚類、物理或化學(xué)除藻等措施，本文利用狀態(tài)脈沖微分方程描述一類對(duì)藻類的狀態(tài)反饋控制問題.當(dāng)藻類的數(shù)量沒有達(dá)到一定閾值時(shí)，對(duì)其不進(jìn)行控制，一旦其數(shù)量達(dá)到某個(gè)閾值，則采取一定的控制措施，使得其數(shù)量減少(這里主要考慮的是成比例減少).基于此思想，具有狀態(tài)反饋脈沖控制的藻類-營養(yǎng)生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫為：

(1)

其中：s(t)表示t時(shí)刻水體中營養(yǎng)成分的濃度,x(t)表示t時(shí)刻藻類的密度,S0表示水體中營養(yǎng)成分的輸入量,u為流失率,r為藻類的內(nèi)稟生長率,bs+K為容納量，h為藻類數(shù)量的臨界控制值,p為去除率.

關(guān)于具有狀態(tài)反饋控制的生態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型已有許多結(jié)果，參見文獻(xiàn)[4-11]等.文獻(xiàn)[8]給出了階k周期解的定義及基本的研究方法，下面利用文獻(xiàn)[6]和[8]的思想討論系統(tǒng)(1)階1周期解的存在性和穩(wěn)定性.首先給出無脈沖作用的情況下，系統(tǒng)(1)的定性和穩(wěn)定性結(jié)果.

1 無脈沖作用系統(tǒng)的穩(wěn)定性

無脈沖作用下的系統(tǒng)(1)可寫為

(2)

系統(tǒng)(2)有2個(gè)平衡點(diǎn),E0=(S0/u,0),E=(s1,x1),其中,

系統(tǒng)(2)的雅可比矩陣為

易知點(diǎn)E0=(S0/u,0)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

對(duì)于點(diǎn)E=(s1,x1),可得

從而可知特征方程為：λ2+pλ+q=0,其中

易知特征方程的兩個(gè)根均小于0,進(jìn)而可知E=(s1,x1)是穩(wěn)定的.再由

可知，當(dāng)r1

從而有定理1.

定理1 當(dāng)r1

定理2 系統(tǒng)(2)的解是最終有界的.

綜上所述,存在由x=0,y=0,Γ1,Γ2所圍成的區(qū)域Ω,即對(duì)任意初始值(s(t0),x(t0)),存在T>0,當(dāng)t>T,有(x(t),y(t))∈Ω，即系統(tǒng)(2)的解是最終有界的.證畢.

定理3 當(dāng)r1

由Bendixson-Dulac定理,在E=(s1,x1)的周圍不存在閉軌.證畢.

定理4 當(dāng)r1

2 階1周期解的存在性和穩(wěn)定性

定義2 設(shè)P1(s,(1-p)h)∈N,存在T1,使f(P1,T1)=Q1∈M,脈沖映射I(Q1)=I(f(P1,T1))=P1∈N,稱f(P1,T1)為系統(tǒng)(1)的階1周期解.

由微分方程定性理論可得,存在唯一的系統(tǒng)軌線L1與x=(1-p)h相切于A點(diǎn).

下面分別討論脈沖集x=h,像集x=(1-p)h與正平衡點(diǎn)E=(s1,x1)的不同位置關(guān)系時(shí),系統(tǒng)(1)階1周期解的存在性.

2.1 情況I：h≤x1

記系統(tǒng)軌線L1與x=h交于點(diǎn)D1(sD1,h),易知sA

定理5 如果r1

圖1 當(dāng)h≤x1時(shí)階1周期解存在性示意圖

2.2 情況II：(1-p)h

a) 若系統(tǒng)軌線L1,與脈沖集x=h交于點(diǎn)D1(sD1,h),如圖2所示，類似定理1的討論可知，系統(tǒng)(1)存在階1周期解.

圖2 當(dāng)h≤x1,yA

圖3 當(dāng)時(shí)階1周期解存在性示意圖

圖4 當(dāng)時(shí)階1周期解不存在性示意圖

定理6 如果r1

對(duì)于(1-p)h>x1的情況,實(shí)際生物意義和現(xiàn)實(shí)意義不大,這里不再考慮.

下面利用類Poincaré準(zhǔn)則[6]證明系統(tǒng)階1周期解的軌道漸近穩(wěn)定性.

定理8 設(shè)Γ0是系統(tǒng)(1)過點(diǎn)(ξ0,h)的階1周期解，如果μ2<1，則Γ0是軌道穩(wěn)定的且具有漸近相圖的性質(zhì)，其中

證明設(shè)(ξ(t),η(t))是系統(tǒng)(1)過點(diǎn)(ξ0,h)的階1周期解Γ0，令

α(s,x)=0,β(s,x)=-px,

φ(s,x)=x-h,(ξ(T),η(T))=(ξ0,h),

(ξ(T+),η(T+))=(ξ0,(1-p)h),

則由文獻(xiàn)[6]可計(jì)算得到

從而

進(jìn)而

由文獻(xiàn)[6]可知，當(dāng)μ2<1時(shí),階1周期軌道(ξ(t),η(t))是軌道穩(wěn)定的，且具有漸近相圖的性質(zhì).證畢.

3 結(jié)論

研究了一類具有狀態(tài)脈沖控制的藻類-營養(yǎng)生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，討論并得到了階1周期解的存在性和穩(wěn)定性.如果人們對(duì)藻類的控制閾值hx1,但控制力度足夠使(1-p)h

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