“學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論本質(zhì)的理解”淺談

李琪+賈清建

摘 要：教師在教學(xué)中有意識(shí)地滲透、強(qiáng)化教學(xué)思想和教學(xué)方法，通過(guò)例子說(shuō)明理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，才能使學(xué)生深入思考問(wèn)題，最終提升學(xué)生的認(rèn)知能力。

關(guān)鍵詞：本質(zhì) 數(shù)學(xué) 探究 函數(shù) 應(yīng)用 意義

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用?！边@對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了更高的教學(xué)要求，我們根據(jù)實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺談以下三點(diǎn)教學(xué)體會(huì)。

一、中考、高考命題是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體體現(xiàn)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的追求，是需要教師逐步培養(yǎng)的。隨著課改的深入，中考、高考的數(shù)學(xué)題目在難度上有所降低，但題目更為靈活，要求學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不是簡(jiǎn)單地做題。今年北京中考數(shù)學(xué)第16題就很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：

（1）尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線，已知：線段AB（見(jiàn)圖1）。

小蕓的作法如下：

（1）如圖2，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B

為圓心，以大于■AB的長(zhǎng)為半徑作弧，

兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；

（2）作直線CD，則直線CD就

是所求作的垂直平分線。

老師說(shuō)：“小蕓的作法正確?！?/p>

請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是 。

我與一些教師進(jìn)行了交流，有的教師問(wèn)：“依據(jù)為什么不是三角形全等的判定？實(shí)際上可以從后面倒著進(jìn)行分析：先有C、D兩點(diǎn)，再有直線CD（兩點(diǎn)確定一條直線）。C、D兩點(diǎn)很特殊，它們是等圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓的特征得到C、D兩點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離分別相等（線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等）。這些都提醒教師在平時(shí)的教學(xué)中要注意數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)。

二、上有教育價(jià)值的數(shù)學(xué)課，教給學(xué)生真正的數(shù)學(xué)

課堂是教學(xué)的主陣地，教師要把定義、公式、定理的內(nèi)涵挖掘出來(lái)，講清楚解題方法所應(yīng)用的原理、思考方法等，讓學(xué)生真正地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。在一堂高中數(shù)學(xué)課上，教師精心設(shè)計(jì)了如下題目，并引導(dǎo)學(xué)生去探究，取得了很好的教學(xué)效果。

例：如圖3，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D。設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）。則f（x）的最大值為 。

教師先讓學(xué)生觀察、思考例題中△CPD中邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系：CD+CP+DP=8且CD是定長(zhǎng)。在此條件下，什么時(shí)候△CPD的面積最大呢？學(xué)生主動(dòng)探究：等周長(zhǎng)并且有一邊長(zhǎng)為定值的三角形中，什么樣的三角形的面積最大？

學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的細(xì)繩和直尺動(dòng)手操作：假設(shè)三角形的一邊已經(jīng)固定，另外兩邊長(zhǎng)度和也確定，通過(guò)研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡得出，當(dāng)三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，△ABC的面積最大。

學(xué)生探究得出結(jié)論后，問(wèn)題自然就解決了。通過(guò)探究學(xué)習(xí)，學(xué)生能很好地理解題目的本質(zhì)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解也更為深刻。

三、以重要概念為載體，逐步提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解要以螺旋上升的方式教學(xué)，這就要求教師清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、知識(shí)現(xiàn)狀，只有知道學(xué)生的提升點(diǎn)在哪兒，才能依據(jù)新課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力?！白匀贿@一巨著是用數(shù)學(xué)符號(hào)寫(xiě)成的?！保ㄙだ裕?shù)學(xué)知識(shí)的抽象性決定了其應(yīng)用的廣泛性。所以學(xué)生對(duì)于每次引入的符號(hào)都要清楚地理解。對(duì)于“函數(shù)”這一數(shù)學(xué)核心概念，從小學(xué)到初中的教材中已做了很多的鋪墊。首先，任何數(shù)字都是抽象的，它舍棄了觀察對(duì)象的其他一切屬性，而只關(guān)注其數(shù)量。數(shù)字“1”既可以代表一只筆，也可以代表一個(gè)蘋(píng)果或一本書(shū)。數(shù)字“1”就是忽略了筆、蘋(píng)果、書(shū)等事物的差異，而只從數(shù)量上加以抽象。其次，當(dāng)遇到用數(shù)字難以表示的三種數(shù)：未知的數(shù)、任意的數(shù)、變化的數(shù)，就用字母來(lái)表示，進(jìn)而出現(xiàn)了表示數(shù)的式子，這是進(jìn)一步的抽象。雖然字母表示數(shù)也使數(shù)學(xué)變得抽象、難懂，但這極大地豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)容，考查代數(shù)式之間的關(guān)系時(shí)就出現(xiàn)了方程、不等式；當(dāng)一字母表示另外一個(gè)代數(shù)式的值時(shí)，就出現(xiàn)了一個(gè)數(shù)的變化引起另外一個(gè)數(shù)的變化，也就有了函數(shù)的影子，甚至有人認(rèn)為代數(shù)式就是函數(shù)。至于函數(shù)y=f（x），則是更進(jìn)一步的抽象。

除了講函數(shù)的章節(jié)，在其他章節(jié)的教學(xué)中，教師要抓住時(shí)機(jī)深化對(duì)函數(shù)思想的理解。在雙曲線的漸近線的教學(xué)中，怎樣更好地引入雙曲線的漸近線就是一個(gè)例證。在一次聽(tīng)課的討論中，發(fā)現(xiàn)有些教師對(duì)漸近線的引入存在疑惑與誤區(qū)。下面摘錄幾位教師的發(fā)言：

師1：令■-■=0可以解出漸近線方程，感覺(jué)很突兀，有沒(méi)有好的解釋?zhuān)?/p>

師2：令■-■=1，■，■…當(dāng)1→0時(shí)，雙曲線就退化為漸近線。

師3：為什么會(huì)出現(xiàn)漸近線？怎么合適地提出漸近線？

師4：有的教師用電腦先畫(huà)出直線y=±■x，再讓學(xué)生看雙曲線與直線無(wú)限接近。

師5： x2-y2=0 x-y

2 1

3 2

100 99

x2，y2越大，x-y就越小。

平面解析幾何通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題?，F(xiàn)在根據(jù)雙曲線方程研究曲線的性質(zhì)，若用電腦先畫(huà)出直線y=±■x，再讓學(xué)生看雙曲線與直線無(wú)限接近，這樣就背離了解析幾何的本質(zhì)特征。從上面的例子也可以看出，問(wèn)題集中在怎樣使?jié)u近線的引入更合理、更自然。若按課本上寫(xiě)的“雙曲線向外無(wú)限延伸時(shí)，總局限于直線y=■x和直線y=-■x相交而分平面所成的、含雙曲線焦點(diǎn)的兩個(gè)角域內(nèi)，并與兩直線無(wú)限接近……”這樣又像變魔術(shù)一樣變出一個(gè)漸近線，學(xué)生也不易理解。為了使?jié)u近線的引入更加合理、自然，我們可以做兩方面的鋪墊：

首先，給出學(xué)生比較熟悉的幾類(lèi)函數(shù)且其圖象有漸近線。如y=■，y=ax，y=logxa，這些函數(shù)的圖象都有漸近線，有了這些內(nèi)容作為基礎(chǔ)，可以考查函數(shù)y=x-■的圖象，但為了準(zhǔn)確地畫(huà)出它的圖象，我們需要把它的另外一條漸近線y=x畫(huà)出來(lái)（如圖5）。

其次，利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，把雙曲線的作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一范圍內(nèi)函數(shù)的作圖問(wèn)題?？梢韵犬?huà)雙曲線■-■=1的圖象，將雙曲線的方程變形為y=±■■=±■x■，利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可以只考查雙曲線在第一象限的部分，即函數(shù)y=■■=■x■（x≥4）（如圖6）。現(xiàn)階段雖然沒(méi)有極限的內(nèi)容，但是學(xué)生已經(jīng)有了極限的思想，所以當(dāng)值越來(lái)越大時(shí)，y的值趨近于■x是不難理解的，然后再推廣到一般情形?？傊瘮?shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，要結(jié)合具體問(wèn)題，讓學(xué)生不斷加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，這樣有利于學(xué)生對(duì)這一特定的、重要的變量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。教師只有挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)思維的特征，才有可能讓學(xué)生受益終身，才能使我們的教學(xué)更有意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]楊世明，王雪琴.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)[M].青島：青島海洋大學(xué)出版社，1998.

[3]張鶴.張鶴——分享數(shù)學(xué)智慧的人[M].北京：中國(guó)大百科全書(shū)出版社，2012.