小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的類比推理及教學(xué)策略

顧曉東

類比是合情推理的一種思維形式，是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，從而推出它們?cè)诹硪粚傩陨弦灿邢嗤蛳嗨频囊环N推理方法。其邏輯形式如下：因?yàn)锳對(duì)象具有屬性a、b、c、d，B對(duì)象具有屬性a、b、c，所以B對(duì)象也可能具有屬性d。它是由特殊到特殊的推理方法，是一種較為簡(jiǎn)單的、注重形式的推理形式。

類比是數(shù)學(xué)家G·波利亞十分推崇的一種重要數(shù)學(xué)思想方法。他認(rèn)為：在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無不充滿了類比?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，類比推理有著廣泛運(yùn)用。如何進(jìn)行類比推理的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展呢？本文依托小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)實(shí)例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談一些看法。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的類比推理分類舉隅

小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)注了類比思想方法的滲透與應(yīng)用，其中有許多內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的好材料。下面針對(duì)教材中類比推理的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分類說明。

1.外部形式上的類比：由外而內(nèi)的發(fā)現(xiàn)

當(dāng)兩類思考對(duì)象在形式上存在相似之處時(shí)，學(xué)生往往會(huì)將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去，完成從形式到形式的類比推理，從而發(fā)現(xiàn)和探索出新數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)。蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“等式的性質(zhì)”分兩部分進(jìn)行教學(xué)，首先是在認(rèn)識(shí)了方程的意義后，通過在平衡的天平兩端各加上或減去相同克數(shù)砝碼的操作，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)天平仍然保持平衡，從中歸納出“等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式”這一性質(zhì)。有了這樣的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)“同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)”與“同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)”就有一個(gè)外在形式上的類比，進(jìn)而主動(dòng)地形成“等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果也仍然是等式”這一猜想，然后教師可以啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)通過天平實(shí)驗(yàn)來證實(shí)猜想，最終得出等式的另一半性質(zhì)。再如蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)教材練習(xí)五中出現(xiàn)了“連減、連除的性質(zhì)”的相關(guān)習(xí)題，教材首先讓學(xué)生在計(jì)算中對(duì)比感悟、發(fā)現(xiàn)連減的規(guī)律，在學(xué)生掌握并運(yùn)用連減性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)上，又引入了連除的計(jì)算，學(xué)生此時(shí)面對(duì)這樣外在形式極其相似的計(jì)算，會(huì)容易與連減計(jì)算進(jìn)行類比推理，大膽猜測(cè)連除也具有類似的性質(zhì)，教師可以通過提問引發(fā)學(xué)生的類比推理猜想，然后讓學(xué)生通過舉例計(jì)算驗(yàn)證猜想得出一般性結(jié)論。這樣的類比推理過程是建立在兩類數(shù)學(xué)對(duì)象在外形上有著較高相似度的基礎(chǔ)上的，可以通過觀察來引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在一致性的推測(cè)猜想，最終得出性質(zhì)規(guī)律。這樣的類比推理不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使知識(shí)的識(shí)記變得順?biāo)浦郯阕匀缓秃?jiǎn)潔，還可以激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造力。

2.本質(zhì)屬性上的類比：由內(nèi)而外的遷移

小學(xué)數(shù)學(xué)中有一些數(shù)學(xué)對(duì)象在其本質(zhì)上是具有較高的相似度的，教材往往引導(dǎo)學(xué)生把某一或幾個(gè)方面彼此一致的新舊事物放在一起相比較，讓學(xué)生由舊事物的已知屬性去猜測(cè)新事物也具有相同或相似的屬性。這樣的類比推理偏重于所涉及的對(duì)象在本質(zhì)屬性方面的相似之處，由此類比出其他方面的相似，拓寬思路，進(jìn)而認(rèn)識(shí)新數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。例如在學(xué)習(xí)“比的基本性質(zhì)”之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并且在學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)與商不變的規(guī)律進(jìn)行了充分的溝通聯(lián)系，能夠從本質(zhì)上把握這兩類規(guī)律的內(nèi)在一致性；另外，學(xué)生也認(rèn)識(shí)了比的意義，理解了比的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)數(shù)相除，而且比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。這些已有知識(shí)構(gòu)成了學(xué)生新知識(shí)學(xué)習(xí)的先行組織，為新知識(shí)的自然類比生成提供了基礎(chǔ)。在教學(xué)中教師要充分發(fā)揮舊知識(shí)的作用，通過必要的引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生關(guān)注到新舊學(xué)習(xí)對(duì)象在本質(zhì)屬性上的一致性，仔細(xì)分析比與分?jǐn)?shù)之間的特殊關(guān)系，來大膽地進(jìn)行由內(nèi)而外的知識(shí)遷移，形成理性猜測(cè)。值得注意的是，這種猜測(cè)是在學(xué)生關(guān)注了不同數(shù)學(xué)對(duì)象在本質(zhì)屬性而展開的，因而具有一定的理性思維含量，其猜測(cè)更具有方向性、嚴(yán)謹(jǐn)性和可靠性。

3.根源知識(shí)上的類比：由魂及法的發(fā)散

小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到許許多多的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)知識(shí)技能，看似零零散散的，可是不少知識(shí)之間確實(shí)有一根“紅線”維系著。這根“紅線”即相關(guān)的根源性知識(shí)。相應(yīng)的，在學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)技能時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)地激活相關(guān)的數(shù)學(xué)根源性知識(shí)技能，以這根“紅線”來引領(lǐng)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的內(nèi)涵進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)和歸納其在數(shù)學(xué)根源性知識(shí)上的相似性，從而開展適當(dāng)?shù)念惐群瓦w移。比如學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，其本源性的計(jì)算原理是“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加”。在學(xué)習(xí)整數(shù)加減法和小數(shù)加減法時(shí)，學(xué)生已經(jīng)形成了這樣一種根源性的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，這種知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于探索異分母分?jǐn)?shù)加減法法則具有重要意義，學(xué)生就是要針對(duì)不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間在根源性知識(shí)上的一致性，由魂及法地進(jìn)行嘗試，轉(zhuǎn)化方法，將異分母分?jǐn)?shù)通分成同分母分?jǐn)?shù)，然后再加減。再如“三位數(shù)乘兩位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)，都是建立在兩位數(shù)乘一位數(shù)這一根源性技能之上的，通過后者，學(xué)生能主動(dòng)地嘗試和探索前兩者的計(jì)算方法，其間的主要區(qū)別在于第二個(gè)乘數(shù)是兩位數(shù)時(shí)，兩位數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)時(shí)乘得的積個(gè)位對(duì)其十位。這是由位置原則決定的。諸如此類，當(dāng)新舊知識(shí)在根源性知識(shí)上具有相同點(diǎn)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散性地運(yùn)用根源性知識(shí)來猜測(cè)嘗試，從而解決新問題，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的同化學(xué)習(xí)。

4.過程方法上的類比：以舊引新的推廣

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)提倡讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、形成的過程，在豐富而有創(chuàng)造性的探究活動(dòng)中掌握和理解知識(shí)。比如在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形面積公式”時(shí)，就設(shè)置了用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形來拼擺的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生在拼擺的過程中逐步發(fā)現(xiàn)小正方形的總個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬有著特殊關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式。這樣的探究過程和方法貼近學(xué)生實(shí)際，適合小學(xué)生的認(rèn)知水平，是學(xué)生可以理解和掌握的，因而這個(gè)探究過程和方法會(huì)伴隨著探究結(jié)果共同存在于學(xué)生的頭腦之中，形成一個(gè)“帶鉤的原子”，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候能方便地提取出來運(yùn)用（包括過程和結(jié)果）。因而，在高年級(jí)探索“長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式”的時(shí)候，由于跟上述探索方法在本質(zhì)上存在著一致性，教材同樣安排了拼擺棱長(zhǎng)1厘米的小正方體的活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生從中遷移過程與方法，從而主動(dòng)地探索出長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式。這就是一種過程方法上的類比，學(xué)生進(jìn)行以舊引新式的推廣，展開合理的聯(lián)想，創(chuàng)造性地開展探索和猜想，在實(shí)踐過程中驗(yàn)證了猜想、發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。諸如此類的類比推理還存在于圓面積和圓柱體體積的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷由二維圖形到三維圖形知識(shí)技能探索中的類比發(fā)現(xiàn)。

二、 類比推理教學(xué)實(shí)施的策略

類比推理是一種從已知到未知，探求和發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的富有成效、自由活潑的思維方法，符合兒童的心理和認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，因而是深受學(xué)生喜愛的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和探究活動(dòng)。教師應(yīng)在教學(xué)中努力挖掘教材中蘊(yùn)含的類比推理內(nèi)容，注重策略、及時(shí)滲透、合理訓(xùn)練。

1.先行組織，搭建類比橋梁

學(xué)生展開類比推理學(xué)習(xí)的前提是其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備了同化新知識(shí)的適當(dāng)?shù)纳衔桓拍罨蛳嗨聘拍?。?dāng)學(xué)生面對(duì)新問題時(shí)，如果與之相關(guān)的上位或相似概念缺少，不夠清晰，那么相應(yīng)的類比推理活動(dòng)就難以順利展開。要使所教知識(shí)讓學(xué)生深刻理解并能融入原有知識(shí)形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就必須重新組織教材，精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在學(xué)生“已經(jīng)知道的”與“需要知道的”知識(shí)之間架設(shè)起橋梁，為學(xué)生開展類比推理活動(dòng)打好基礎(chǔ)。這座橋梁就是先行組織者，所謂先行組織者，是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，它要比原學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)。例如學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)一組整數(shù)、小數(shù)和同分母分?jǐn)?shù)加減法，在練習(xí)后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、歸納這些計(jì)算過程背后隱含的共同核心要點(diǎn)“相同的計(jì)數(shù)單位才能直接相加減”。這是比單純的計(jì)算過程本身更為抽象、高級(jí)的認(rèn)知，而這種計(jì)算核心也正是異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算的關(guān)鍵。學(xué)生在這個(gè)“先行組織者”的引領(lǐng)下，就不難展開相應(yīng)的類比推理活動(dòng)，主動(dòng)猜測(cè)并嘗試異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算。在掌握新的計(jì)算法則后，再次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，歸納出此類計(jì)算的共同點(diǎn)。這樣的類比推理學(xué)習(xí)活動(dòng)將真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的深刻理解，并形成一種穩(wěn)定而又有活力的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.原型啟發(fā)，實(shí)現(xiàn)類比抽象

現(xiàn)實(shí)生活中的事物原型往往會(huì)啟發(fā)人們展開類比、聯(lián)想，獲得靈感，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識(shí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象。原型啟發(fā)是一個(gè)心理學(xué)的概念，意指根據(jù)事物的本質(zhì)特征而產(chǎn)生新的設(shè)想和創(chuàng)意。小學(xué)生長(zhǎng)于直觀思維的認(rèn)知心理特點(diǎn)決定了他們認(rèn)識(shí)新的數(shù)學(xué)概念和對(duì)象時(shí)，往往會(huì)比較依賴于日常生活中常見的實(shí)物原型，因而從原型啟發(fā)而展開的類比推理（尤其是在幾何圖形認(rèn)識(shí)中）在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也是常見的。例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)線段”時(shí)，教材提供了操作紅頭繩的活動(dòng)場(chǎng)景，由雙手捏住頭繩兩端繃緊而形成了線段的實(shí)物原型，進(jìn)而揭示線段概念的本質(zhì)屬性。又如幾何圖形中的高是一個(gè)比較抽象的概念，往往也是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一個(gè)難點(diǎn)。教材在編排“三角形的高”時(shí)，安排了“人”字形三角架實(shí)物圖，讓學(xué)生能夠從生活實(shí)物中直觀地感受到三角架的高是指怎樣的一條線段，進(jìn)而通過討論明確高是“三角架中最高處一點(diǎn)到相對(duì)底面邊上的最短距離”這個(gè)本質(zhì)屬性；然后再引導(dǎo)學(xué)生回到數(shù)學(xué)上的抽象三角形中，把生活中高的本質(zhì)屬性類推到幾何圖形中，形成三角形高的概念。同樣的，在認(rèn)識(shí)圓錐體高的時(shí)候，則又可以借助三角形高的概念，由二維圖形的圖形特征類比推理出三維圖形的類似特征。這種借助生活實(shí)物原型的類比推理方式是符合小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的，能夠促使學(xué)生在“原型”中獲得一些原理性的啟發(fā)，使生活原型與數(shù)學(xué)對(duì)象之間形成思維的對(duì)接通道，在類比推理過程中形成一定的經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，并加以數(shù)學(xué)抽象，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

3.聯(lián)想類推，直覺類比猜測(cè)

聯(lián)想類推策略是指引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已建立的數(shù)學(xué)模型與新的數(shù)學(xué)模型表面相似的基礎(chǔ)上，通過關(guān)系相似猜想問題解決結(jié)果的教學(xué)策略。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中存在許多具有內(nèi)在聯(lián)系的可供類比推理的知識(shí)，如上文所述的等式性質(zhì)中等式兩邊“同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)”與“同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外）”，仍舊是等式；幾何圖形中二維與三維圖形知識(shí)；運(yùn)算律中加法的交換律、結(jié)合律與乘法的交換律、結(jié)合律等等，前后兩者之間存在著密切而直觀的聯(lián)系。聯(lián)想類比策略就是要著重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有數(shù)學(xué)模型與新數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系相似，憑借直覺加以類比推測(cè)。如在教學(xué)圓柱體體積時(shí)，教師就可以有意識(shí)地激活二維圖形中圓面積的推導(dǎo)過程，從把圓平均分割成眾多小扇形進(jìn)而拼鑲組合成近似長(zhǎng)方形的推導(dǎo)過程中形成直覺聯(lián)想，主動(dòng)地猜測(cè)可以將圓柱體像圓那樣進(jìn)行分割，然后拼鑲組合成長(zhǎng)方體，最終推導(dǎo)出圓柱體體積計(jì)算公式。這種聯(lián)想類推策略在幾何圖形知識(shí)教學(xué)中是常用的，教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生激活已有數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行大膽的類推，發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力，實(shí)現(xiàn)二維平面圖形與三維立體圖形之間的有效轉(zhuǎn)化與遷移，從而掌握其中的規(guī)律。

4.檢驗(yàn)修正，避免類比失誤

類比推理是合情推理中的一種形式，其本質(zhì)是引導(dǎo)人們通過新舊數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相似性，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。但類比推理從本質(zhì)上來說是一種或然推理，得出的結(jié)論可能會(huì)出現(xiàn)形式主義錯(cuò)誤。例如在學(xué)習(xí)乘法豎式計(jì)算時(shí)，不少學(xué)生往往把加法豎式計(jì)算中“相同數(shù)位對(duì)齊”的方法類比遷移到乘法中，從而造成類比推理的錯(cuò)誤。高年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)較多運(yùn)用類比推理，雖然能為加快理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)提供有利條件，促進(jìn)學(xué)生類比推理能力的發(fā)展，但是往往也會(huì)由此而產(chǎn)生錯(cuò)誤。比如在百分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，遇到“一件衣服原價(jià)100元，增加20%后又降價(jià)20%，現(xiàn)價(jià)是多少元”這樣的問題時(shí)，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地以整數(shù)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)來類推，得出“結(jié)果仍為100元”的錯(cuò)誤結(jié)論。出現(xiàn)諸如此類的錯(cuò)誤類比推理，究其原因是未從關(guān)系上深刻理解內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，且沒有經(jīng)過檢驗(yàn)。因此在教學(xué)中，教師既要重視類比推理的應(yīng)用，又要防止學(xué)生亂用類比造成錯(cuò)誤。對(duì)類比推理得到的結(jié)論，教師要提醒學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，學(xué)會(huì)用實(shí)例進(jìn)行檢查修正，以提高類比推理的能力。同時(shí)，教師在運(yùn)用類比推理教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察、仔細(xì)分析，正確把握類比的對(duì)象，判斷其中是否真正存在某些本質(zhì)特征上的相似之處，然后才能去類推其他方面的屬性。在提出類比猜想后，還應(yīng)該注重通過舉反例來揭示類比猜想中的不合理成分，有助于類比推理的結(jié)論驗(yàn)證和修正完善。

發(fā)展學(xué)生推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)推理活動(dòng)過程的結(jié)果。類比推理能力需要在“做”和“思考”的過程中積淀，應(yīng)貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】