百變?nèi)彳浝K——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的一個(gè)應(yīng)用

郭 敏 王文濤 王慶勇

（1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024 2.東北師大附中，吉林 長(zhǎng)春 130024）

物理學(xué)致力于研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律.在中學(xué)物理教學(xué)中，我們接觸到的多是一個(gè)個(gè)諸如物塊、小球等可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，對(duì)于生活中常見的繩子一般是作為某個(gè)或某幾個(gè)研究對(duì)象的連接媒介出現(xiàn)，常常伴隨的特點(diǎn)是質(zhì)量可以忽略不計(jì)，一旦出現(xiàn)質(zhì)量不能忽略的繩子，不僅學(xué)生無(wú)法解決，很多教師也對(duì)其束手無(wú)策.但是不得不承認(rèn)這種有質(zhì)量的繩子才是更貼合實(shí)際的，是每一個(gè)高中物理教師以及致力于物理奧賽的學(xué)生都有必要了解和掌握的.筆者結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)有質(zhì)量的柔軟繩問題設(shè)想了幾種情況，現(xiàn)將其整理成習(xí)題，供大家一起探討.

例.如圖1所示，一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的柔軟繩兩端豎直地懸掛在天花板上，某一時(shí)刻松開右端使其自由下落.求：在右端下落x時(shí)，天花板對(duì)左端的拉力T.

圖1

圖2

方法1.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的動(dòng)量表達(dá)式.

其中

聯(lián)立（1）、（3）式，得

方法2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的加速度表達(dá)式.

對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)求一階導(dǎo)數(shù)，有

對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)求一階導(dǎo)數(shù)，有

所以

解得

可用左右兩側(cè)繩子的加速度來(lái)求解整根繩子的質(zhì)心加速度，即

然而Δm和a都是不容易求出的，所以一般不選擇此方法.

但是用質(zhì)心坐標(biāo)來(lái)計(jì)算質(zhì)心加速度時(shí)，為什么沒有考慮兩側(cè)接頭處的微小質(zhì)量呢？這是因?yàn)棣所在處的位置坐標(biāo)是有限值，一個(gè)無(wú)窮小乘以一個(gè)有限值，結(jié)果一定是無(wú)窮小.所以在利用質(zhì)心坐標(biāo)求質(zhì)心加速度時(shí)可以忽略接頭處的影響.如果繩子堆疊的形狀不規(guī)則，質(zhì)心坐標(biāo)無(wú)法確定，我們也不能選用方法2來(lái)求解.因此解決此類問題最好的方法就是運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的動(dòng)量表達(dá)式來(lái)求解，我們來(lái)看下面的例題.

圖3

1 水平拉繩問題

如圖3所示，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ的柔軟長(zhǎng)繩盤在光滑水平面內(nèi)，現(xiàn)用一水平力F作用于繩端，使繩端從靜止開始以恒定加速度a運(yùn)動(dòng)，求拉力F的大小.

解析：以水平向右為正方向，當(dāng)繩端向右運(yùn)動(dòng)x時(shí)，已運(yùn)動(dòng)部分繩子的動(dòng)量為p＝λxv.以整根繩子為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，有

其中

聯(lián)立（1）、（3）式，得

2 豎直落繩問題

一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺(tái)秤秤盤接觸，如圖4所示.某時(shí)刻放開柔軟繩上端，求臺(tái)秤的最大讀數(shù).

圖4

圖5

其中

聯(lián)立（1）、（3）式，得

所以盤秤的最大讀數(shù)為3mg，即出現(xiàn)在軟繩將要全部掉到盤秤上時(shí).

3 豎直拋繩問題

如圖6所示，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ的柔軟長(zhǎng)繩盤成一團(tuán)置于地面上，繩的一端系著一質(zhì)量為m球，若將球以初速度v0豎直上拋，球能上升多高？

解析：以豎直向上為正方向，當(dāng)球上升x時(shí)，空中的繩子與球速度相等，將其視為一個(gè)整體，則動(dòng)量為p＝（m＋λx）v.地上繩子的速度為0，動(dòng)量為0.以整根繩子為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，有

其中

聯(lián)立（1）、（2）式，得

（3）式兩邊同時(shí)乘以（m＋λx），得

（4）式兩邊同時(shí)積分，得

其中y＝（m＋λx）v.

解得

4 斜面滑繩問題

如圖7所示，一質(zhì)量為m的物體與單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ的柔軟繩相連.開始時(shí)，物體靜置于傾角為θ的光滑斜面的頂端，而柔軟繩則盤放在斜面頂端邊的平臺(tái)上.釋放物體，讓其沿斜面滑下.求當(dāng)它下滑距離為x時(shí)的速度v.

解析：以沿斜面向下為正方向，當(dāng)物體下滑距離為x時(shí)，隨物體下滑部分繩子與物塊速度相等，將其視為一個(gè)整體，則動(dòng)量為p＝（m＋λx）v.斜面頂端部分繩子的速度為0，動(dòng)量為0.以整根繩子為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，有

圖7

其中

聯(lián)立（1）、（2）式，得

（3）式兩邊同時(shí)乘以（m＋λx），得

（4）式兩邊同時(shí)積分，得

其中y＝（m＋λx）v.

解得