無電離層組合、Uofc和非組合精密單點(diǎn)定位觀測(cè)模型比較

李博峰，葛海波，沈云中

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

1 引 言

GNSS精密單點(diǎn)定位（PPP）在近十年來得到了迅速發(fā)展。不同于傳統(tǒng)的差分定位，精密單點(diǎn)定位只需要單臺(tái)接收機(jī)，利用精密星歷與精密鐘差，就能實(shí)現(xiàn)厘米級(jí)精度的位置服務(wù)。對(duì)于海上、沙漠等不具備設(shè)置基站的地方的定位服務(wù)，具有重要的應(yīng)用價(jià)值［1］。影響PPP定位精度的因素有多種，其中定位模型是重要因素之一，因此，有必要對(duì)PPP的定位模型進(jìn)行深入分析。

常用的PPP模型有無電離層組合、Uofc和非組合3種模型。其中，無電離層組合模型是最常用的模型［2－4］，該模型通過雙頻相位和偽距之間分別組成消除電離層影響的組合，即得到兩個(gè)無電離層組合觀測(cè)量。由Calgary大學(xué)高揚(yáng)教授提出的Uofc模型［5］同樣是一種消除電離層影響的模型，與無電離層組合模型不同的是，除了采用兩個(gè)頻率相位觀測(cè)值構(gòu)成的無電離層組合外，還采用了各頻率上的相位和偽距觀測(cè)值組成的無電離層組合。相對(duì)于無電離層組合模型，Uofc模型得到3個(gè)無電離層組合觀測(cè)量，保留了更多的信息，噪聲也較偽距無電離層組合有大幅度減小。對(duì)于無電離層組合模型與Uofc模型，都通過對(duì)觀測(cè)方程的組合消除電離層的影響，而實(shí)際應(yīng)用中往往可以根據(jù)電離層模型及其物理特性來構(gòu)造合理的電離層約束條件，從而增加觀測(cè)模型強(qiáng)度，提高模糊度固定以及定位效果。顯然在無電離層組合與Uofc模型中，由于電離層參數(shù)的消去使得無法對(duì)其施加約束條件。為了有效地利用電離層約束條件，近年來越來越多的學(xué)者建議采用基于原始觀測(cè)值的非組合 PPP模型［6－9］，文獻(xiàn)［7］比較了多種電離層模型對(duì)單頻PPP解算的影響；文獻(xiàn)［8］提出了利用電離層模型的先驗(yàn)信息及其時(shí)空變化特性合理地估計(jì)電離層延遲量的方法，提高單頻PPP的解算效果；文獻(xiàn)［9］參數(shù)化L1頻率上的站星方向的電離層延遲，有效地避免了無電離層組合引起觀測(cè)噪聲放大的不利影響。目前，有研究人員基于L1和L2原始觀測(cè)值，將斜向電離層延遲作為參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，顧及電離層時(shí)空約束并將實(shí)時(shí)電離層模型生成的電離層延遲量作為觀測(cè)信息改善解算性能，能夠大大提高模糊度首次收斂時(shí)間［10］。

在等價(jià)性研究方面，文獻(xiàn)［11］利用空間和投影算子的概念證明了等價(jià)觀測(cè)中的部分等價(jià)性定理。也有學(xué)者對(duì)GPS觀測(cè)方程的不同差分方法和組合方法進(jìn)行等價(jià)性研究［12－13］，并對(duì)其算法進(jìn)行改進(jìn)。雖然近年來大量文獻(xiàn)分析了在這3種模型下PPP的模糊度固定及定位效果，但未有文獻(xiàn)對(duì)這3種模型從理論的角度做深入細(xì)致的比較分析。本文從模糊度固定的角度入手，采用模糊度精度因子詳細(xì)論述了這3種模型的相互關(guān)系，證明了非組合模型與Uofc模型的等價(jià)性；并分析了它們較無電離層組合模型的優(yōu)越性；此外，基于非組合模型，通過附加電離層約束條件引出了附電離層約束的非組合模型。最后，通過實(shí)例分析驗(yàn)證了本文理論推證的正確性。

2 3種PPP模型

2.1 非組合模型

采用GPS雙頻接收機(jī)跟蹤m顆衛(wèi)星的單歷元非組合觀測(cè)方程如式（1）所示

2.2 Uofc模型

2.3 無電離層組合模型

無電離層組合模型是最常用的PPP模型，它采用兩個(gè)頻率間的相位和偽距觀測(cè)值分別構(gòu)成無電離層組合，對(duì)應(yīng)形式為

3 非組合與Uofc模型的等價(jià)性證明

為了證明非組合模型與Uofc模型的等價(jià)性，首先引出等價(jià)性原理。設(shè)有觀測(cè)模型

式中，未知向量x1和x2分別包含n－t和t個(gè)參數(shù)。采用最小二乘準(zhǔn)則推導(dǎo)得到x1的估值為

若存在轉(zhuǎn)換矩陣TT，滿足TTA2＝0，且rank（T）＝n－t，則

由此得

4 非組合與無電離層組合模型比較

由于非組合模型與Uofc模型等價(jià)，筆者從模糊度固定效率的角度比較非組合模型與無電離層組合模型。在非組合PPP模型中，其非差模糊度包含了接收機(jī)端和衛(wèi)星端的偏差導(dǎo)致其不具有整數(shù)性。本文旨在比較3種PPP模型區(qū)別，重點(diǎn)通過分析模糊度的固定效果來分析3種模型的強(qiáng)度，因此，直接采用IGS發(fā)布的衛(wèi)星差分碼偏差產(chǎn)品和對(duì)應(yīng)的UPD產(chǎn)品，并采用星間單差消除接收機(jī)端的偏差，從而實(shí)現(xiàn)PPP模糊度的整數(shù)固定。單歷元非組合星間單差模型的設(shè)計(jì)矩陣及其對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

根據(jù)法方程可導(dǎo)出非組合單差模型求解的模糊度方差 －協(xié)方差矩陣，記為。

對(duì)于無電離層組合單差模型，也可類似導(dǎo)出相關(guān)法方程系數(shù)陣

以上推導(dǎo)說明無電離層組合模型無法同時(shí)求解兩個(gè)頻率的單差模糊度，即使求解無電離層組合模糊度，由于無電離層組合模糊度的波長(zhǎng)過短（約6mm）也無法恢復(fù)其整數(shù)特性。為了公平地定量比較兩種模型求解模糊度的效果，筆者按照傳統(tǒng)的做法，假設(shè)寬巷模糊度已經(jīng)固定，比較兩種模型固定窄巷模糊度的效果。令任一模型得到的模糊度方差 －協(xié)方差矩陣有分塊形式：＝類似于附約束條件平差，得到寬巷模糊度固定后的窄巷模糊度方差-協(xié)方差矩陣為［18］

5 附電離層約束的非組合模型

通常PPP采用無電離層組合模型或Uofc模型消除電離層影響，研究表明電離層延遲是制約模糊度快速固定的主要因素，為了提高模糊度的固定效率，往往可以根據(jù)電離層的外界信息或者物理機(jī)制引入適當(dāng)?shù)碾婋x層約束，從而提高模糊度的固定效率［19］。然而，在無電離層組合模糊度和Uofc模型中，電離層延遲項(xiàng)通過組合消除，從而無法施加外界電離層約束。而非組合模型將電離層延遲作為參數(shù)估計(jì)，盡管它與Uofc模型等價(jià)，但該模型可附加外界電離層約束從而得到“電離層加權(quán)模型”，其單歷元星間單差模型如式（14）所示

6 試驗(yàn)分析

上文理論部分已經(jīng)論證了3種PPP模型的優(yōu)劣，證明了非組合模型與Uofc模型等價(jià)，且這兩種模型都優(yōu)于無電離層組合模型；此外，提出了附電離層約束的非組合模型，在給定適當(dāng)?shù)碾婋x層先驗(yàn)信息時(shí)，該模型具有更好的模型強(qiáng)度。為驗(yàn)證理論的正確性，并定量分析各模型在固定模糊度方面的差別，使用24h采樣間隔為30s的GPS雙頻觀測(cè)數(shù)據(jù)，衛(wèi)星截止高度角為10°（在固定模糊度時(shí)，衛(wèi)星截止高度角取15°，即只有高度角大于15°的衛(wèi)星才固定其模糊度），取偽距和相位精度分別為10cm和1mm。

計(jì)算過程中，每隔60歷元計(jì)算一次，24h總共計(jì)算48次，圖1給出了這48次計(jì)算對(duì)應(yīng)的可用衛(wèi)星數(shù)及相應(yīng)的PDOP（position dilution of precision）值。每次計(jì)算采用不同的歷元數(shù)（如10、20、40和60個(gè)歷元）。由于試驗(yàn)旨在分析幾種PPP模型固定模糊度的效率，在固定寬巷模糊度的基礎(chǔ)上，分析幾種PPP定位模型窄巷模糊度的固定效率。

模糊度成功概率是模糊度固定效果的重要指標(biāo)，反映了浮點(diǎn)模糊度質(zhì)量及其對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型的強(qiáng)度。由于模糊度成功概率的計(jì)算極其復(fù)雜，通常采用不同的成功概率上下界逼近［20］，其中模糊度精度因子（ambiguity dilution of precision，ADOP）因其計(jì)算簡(jiǎn)單且不隨模糊度整數(shù)變換而改變的優(yōu)點(diǎn)被廣泛使用［21］。ADOP的定義為

圖1 24h48次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的可用衛(wèi)星數(shù)及相應(yīng)PDOP值Fig.1 The number of available satellites and PDOP for 48experiments over total 24h

首先比較無電離層組合模型和非組合模型固定模糊度的效果，圖2給出了這兩種模型采用不同歷元數(shù)計(jì)算浮點(diǎn)模糊度，從而計(jì)算得到ADOP，圖2（a）—（d）分別為每次計(jì)算采用10、20、40和60個(gè)歷元。分析圖2得出以下結(jié)論：首先，隨著歷元數(shù)由10增加至60，非組合模型和無電離層組合模型的ADOP值都明顯地減小，這是由于隨著觀測(cè)數(shù)量的增多，兩種模型的強(qiáng)度增強(qiáng)，求解的模糊度浮點(diǎn)解精度提高；其次，在采用相同歷元數(shù)據(jù)時(shí)，無電離層組合模型的ADOP比非組合模型的ADOP大，即無電離層組合模型較非組合模型求解模糊度的效果差，這也印證了第4節(jié)的理論分析。注意到圖2中的ADOP變化并不平穩(wěn)，某些ADOP值明顯大于其他ADOP值，結(jié)合圖1分析得出引起ADOP變化特征的主要因素是跟蹤衛(wèi)星數(shù)目和PDOP的變化。隨著衛(wèi)星數(shù)目增多，無電離層組合模型和非組合模型的ADOP值都變小，說明衛(wèi)星數(shù)目的增加導(dǎo)致模糊度固定效率的增加。通常情況下，衛(wèi)星數(shù)目的增多可能會(huì)導(dǎo)致模糊度的數(shù)量增加，一定程度上導(dǎo)致固定所有模糊度的成功概率減?。?2－23］。但另一方面，衛(wèi)星數(shù)目的增多能改善定位模型的幾何構(gòu)型，從而提高模糊度的固定效率；由于本文計(jì)算時(shí)采用geometry－based模型，從圖1中可以看出，隨著衛(wèi)星數(shù)目的增加，PDOP值相應(yīng)減小，說明衛(wèi)星幾何構(gòu)型的改善能提高模糊度的固定效率，使得ADOP值隨著衛(wèi)星數(shù)目的增加而減小。

圖2 無電離層組合模型與非組合模型采用不同歷元數(shù)計(jì)算得到的ADOP比較Fig.2 Comparison in ADOP between ionosphere－free model and uncombined model using different epochs

最后，從圖2中可以看到，非組合模型與無電離層組合的ADOP曲線隨著歷元數(shù)增加有接近的趨勢(shì)，因此，為了更加細(xì)致地比較無電離層組合模型和非組合模型隨著歷元數(shù)增加引起的模糊度固定效果，每次計(jì)算分別取10、15、20、…、60個(gè)歷元，即每給定歷元數(shù)，可計(jì)算得到48個(gè)ADOP值，對(duì)給定歷元數(shù)得到的48個(gè)ADOP值取平均后將無電離層組合模型的平均ADOP與非組合模型的平均ADOP做差，結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看到，當(dāng)觀測(cè)歷元數(shù)較少時(shí)，非組合模型的模糊度固定效率相對(duì)于無電離層組合模型有較大差距，隨著觀測(cè)歷元數(shù)的增加，無電離層組合模型與非組合模型的模糊度固定效果的差距減小，這是由于隨著觀測(cè)量的累積，無電離層組合模型的浮點(diǎn)模糊度質(zhì)量已經(jīng)得到了很大的提高，使得非組合模型浮點(diǎn)模糊度較它差別較小。

圖3 無電離層組合與非組合模型在不同歷元數(shù)下的平均ADOP之差Fig.3 Differences in average ADOP between uncombined model and ionosphere－fee model under different epochs

為了比較非組合模型和附電離層約束的非組合模型的模糊度固定效果，以每次計(jì)算取60個(gè)歷元為例，對(duì)附電離層約束的非組合模型，通過給定不同的電離層先驗(yàn)信息精度（σι＝0.5、5、10cm 和∞）來體現(xiàn)不同的電離層約束，比較不同電離層約束情況下的非組合模型的浮點(diǎn)模糊度ADOP值，結(jié)果如圖4所示。隨著電離層約束的增強(qiáng)，附電離層約束的非組合模型的ADOP值逐漸減小，模糊度的固定效率逐漸提高。當(dāng)對(duì)電離層的約束很弱時(shí)，附約束條件的非組合模型等價(jià)于非組合模型。為了更清晰地比較不同電離層約束情況下非組合模型的模糊度的固定效果，對(duì)不同電離層約束下的ADOP值取平均值，結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以清楚看到，隨著電離層的約束減弱，模糊度的固定效率逐漸降低，隨著電離層的約束減弱到一定程度時(shí)，模糊度的固定效率變化緩慢，直至與非組合模型相同。所以，對(duì)于附電離層約束的非組合模型，考慮電離層信息對(duì)定位結(jié)果的影響，在具有合理的電離層先驗(yàn)信息的情況下，引入電離層約束，相比Uofc模型以及無電離層組合模型，能使精密單點(diǎn)定位的數(shù)學(xué)模型具有更好的模型強(qiáng)度。

圖4 不同電離層約束下的ADOPFig.4 ADOP under different ionospheric constraint

圖5 不同電離層約束下的平均ADOPFig.5 Mean ADOP under different ionospheric constraint

7 結(jié) 論

精密單點(diǎn)定位技術(shù)中，數(shù)學(xué)模型一般為無電離層組合模型、Uofc模型以及非組合模型。針對(duì)未有文獻(xiàn)對(duì)這3種模型從理論的角度做深入細(xì)致的比較分析，本文通過理論推導(dǎo)，詳細(xì)論述了這3種模型的相互關(guān)系，并從模糊度固定效率的角度分析驗(yàn)證，得出以下結(jié)論。

（1）Uofc模型是在非組合模型的基礎(chǔ)上在等式兩邊分別左乘一個(gè)行滿秩矩陣而消除電離層信息，通過理論推導(dǎo)證明非組合模型等價(jià)于Uofc模型。

（2）模糊度固定方面，若已知寬巷模糊度，非組合模型和Uofc模型的模糊度固定效率要高于無電離層組合模型，因此非組合模型和Uofc模型要優(yōu)于無電離層組合模型。

（3）非組合模型相比于Uofc模型和無電離層組合模型在處理電離層信息方面，能更方便地引入電離層約束，在有電離層先驗(yàn)信息的情況下，采用附電離層約束的非組合模型能改善模型強(qiáng)度，提高模糊度固定效率。

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