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      Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異描述與無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃研究

      2015-07-21 14:28:28李保坤郭永存曹毅

      李保坤 郭永存 曹毅

      摘要:以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù),研究Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異并進(jìn)一步探討機(jī)構(gòu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法?;跈C(jī)構(gòu)的雅可比矩陣,構(gòu)建機(jī)構(gòu)給定位置的以單位四元數(shù)表征的姿態(tài)奇異軌跡的一般符號(hào)解析表達(dá)式。利用四元代數(shù)理論構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程;通過分析機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布并利用剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程,研究機(jī)構(gòu)無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的規(guī)劃方法。研究成果進(jìn)一步豐富了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異規(guī)避理論。

      關(guān)鍵詞:并聯(lián)機(jī)構(gòu);姿態(tài)奇異;無(wú)奇異;姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

      中圖分類號(hào):TP2422 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

      六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于剛度大、承載能力強(qiáng)以及運(yùn)動(dòng)精度高等特點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)模擬器、醫(yī)療器械、工業(yè)機(jī)器人、微納操作、力/力矩傳感器、空間探測(cè)、并聯(lián)機(jī)床等多個(gè)高精技術(shù)領(lǐng)域[1]。奇異位形嚴(yán)重影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)及力傳遞性能,對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)說,若機(jī)構(gòu)處于奇異狀態(tài),機(jī)構(gòu)將嚴(yán)重失穩(wěn)并導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控甚至被損壞。因此,并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)位于遠(yuǎn)離奇異位形的區(qū)域工作。得到機(jī)構(gòu)的奇異軌跡是奇異規(guī)避研究的基礎(chǔ)[2]。PENDAR等[3]利用平面幾何中的Ceva定理研究三角平臺(tái)型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形。文獻(xiàn)[4]研究了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)姿態(tài)固定時(shí)的位置奇異軌跡在三維空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)特性。吳洪濤等[5]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù),給出了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異軌跡的三維圖形描述。文獻(xiàn)[6]給出了Stewart機(jī)構(gòu)的奇異軌跡,并進(jìn)一步給出無(wú)奇異工作空間的確定方法。

      對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)說,規(guī)避機(jī)構(gòu)的奇異位形的一個(gè)重要方法便是通過增加冗余驅(qū)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)[7-9],但對(duì)于具有六自由度的Stewart機(jī)構(gòu),采用冗余驅(qū)動(dòng)無(wú)疑會(huì)帶來(lái)機(jī)構(gòu)控制的復(fù)雜性,并且會(huì)進(jìn)一步限制機(jī)構(gòu)的工作空間。王玉新等[10]通過研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分岔特性,提出了一種利用擾動(dòng)函數(shù)來(lái)規(guī)避并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向點(diǎn)奇異的方法。文獻(xiàn)[11-13]提出利用運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的方法避開機(jī)構(gòu)的奇異位形。

      由文獻(xiàn)[14-15]可知,六自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的任務(wù)空間對(duì)應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)變換群SE(3),相當(dāng)于三維姿態(tài)變換群和三維歐式空間的半直積,即:SE(3)=SO(3)R3。由于對(duì)機(jī)構(gòu)位于整個(gè)位形參數(shù)空間內(nèi)實(shí)施運(yùn)動(dòng)規(guī)劃具有很大的難度,而位于R3上的位置運(yùn)動(dòng)規(guī)劃研究已較為成熟,故本文主要對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行研究。

      基于機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣,得出機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)奇異軌跡,并給出其三維圖形描述。基于機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異的軌跡描述,研究機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

      1機(jī)構(gòu)的三維姿態(tài)奇異軌跡描述

      六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示,其動(dòng)定平臺(tái)為兩個(gè)非相似型的半對(duì)稱正六邊形B1B2…B6,C1C2…C6 (i=1,2,…,6),并通過六根相同的球副-移動(dòng)副-球副(或萬(wàn)向鉸)支鏈(BiCi)相連。Bi和Ci分別為動(dòng)定平臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn),Aj(j=1,3,5)為定平臺(tái)六邊形長(zhǎng)邊的交點(diǎn)。

      P、O、βm、βb、Rm、Rb的含義分別如下:

      P為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn);O為機(jī)構(gòu)定平臺(tái)幾何中心點(diǎn);

      βm為動(dòng)平臺(tái)上邊B4B5對(duì)應(yīng)中心角,0°≤βm≤120°;

      βb為定平臺(tái)上邊 C1C2對(duì)應(yīng)中心角,0°≤βb≤120°;

      Rm為動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑;Rb為定平臺(tái)外接圓半徑。

      圖1Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

      為分析并得到機(jī)構(gòu)的奇異軌跡方程,在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上建立固連坐標(biāo)系P-xyz,在定平臺(tái)上建立固定參考系O-XYZ。將動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P作為動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的位置參考點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為P=[X, Y, Z]T;記動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz中的位置矢量為bi(i=1, 2, …, 6),記Bi在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量為Bi(i=1, 2, …, 6);定平臺(tái)各個(gè)鉸點(diǎn)Ci在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為Ci(i=1, 2, …, 6)。

      定義機(jī)構(gòu)的初始姿態(tài),其滿足如下條件:

      ① 給定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P 的位置;② 動(dòng)定坐標(biāo)系的相應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行。

      在此,以具有三個(gè)獨(dú)立參數(shù)的單位四元數(shù)Q=q0+q1i+q2 j+q3k(q20+q21+q22+q23=1)描述該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。其表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)以初始姿態(tài)繞通過P點(diǎn)且相對(duì)于固定坐標(biāo)系矢量方向q1i+q2 j+q3k的軸旋轉(zhuǎn)角度θ=2arccosq0所形成的姿態(tài)。此外,規(guī)定q0≥0,這樣該單位四元數(shù)與剛體的姿態(tài)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,且避免了以歐拉角等描述姿態(tài)時(shí)所引起的以旋轉(zhuǎn)矩陣求解歐拉角逆問題時(shí)無(wú)全局光滑解的問題[16]?;趩挝凰脑獢?shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣如下式所示:

      R=q20+q21-q22-q232(q1q2-q0q3)2(q1q3+q0q2)

      2(q1q2+q0q3)q20+q22-q21-q232(q2q3-q0q1)

      2(q1q3-q0q2)2(q2q3+q0q1)q20+q23-q21-q22 (1)

      由坐標(biāo)變換原理不難得到Bi與bi滿足

      Bi=Rbi+P (2)

      將式(1)帶入機(jī)構(gòu)奇異位形判別矩陣

      JT=B1-C1|B1-C1|B2-C2|B2-C2|B3-C3|B3-C3|B4-C4|B4-C4|B5-C5|B5-C5|B6-C6|B6-C6|C1×B1|B1-C1|C2×B2|B2-C2|C3×B3|B3-C3|C4×B4|B4-C4|C5×B5|B5-C5|C6×B6|B6-C6| (3)

      若令式(3)所示矩陣的行列式等于零,即可得到機(jī)構(gòu)奇異位形關(guān)于位姿參數(shù)的解析表達(dá)式endprint

      F(A, B)=0

      式中:A表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位置參數(shù),B表示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)參數(shù)。

      將式(1)、(2)帶入式(3),并注意到q0=1-q21-q22-q23 ,展開并化簡(jiǎn)矩陣[JT]的行列式,并令其等于0,得到該機(jī)構(gòu)位置參數(shù)P(X,Y,Z)給定時(shí)的姿態(tài)奇異軌跡一般符號(hào)解析表達(dá)式

      f1q61+f2q51 q2+f3q51 q3+f4q51 1-q21-q221-q23 +

      …+f69q22+f70q2q3+f711-q21-q221-q23 +f72q23+f73=0(4)

      式中:fi(i=1, 2, …, 73)均是機(jī)構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rm、Rb、βm、βb以及位置參數(shù)(X, Y, Z)的顯示表示。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn),式中多項(xiàng)含有1-q21-q22-q23 ,姿態(tài)參數(shù)q1、q2最高達(dá)6次,q3的最高次達(dá)4次。

      當(dāng)給定機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°,機(jī)構(gòu)位于給定位置(0, 0, 4)時(shí)關(guān)于姿態(tài)參數(shù)(q1, q2, q3)的姿態(tài)奇異軌跡在笛卡爾坐標(biāo)系中的三維圖形化描述如圖2所示。

      圖2機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡圖

      2無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

      21姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡的四元數(shù)描述

      單位四元數(shù)描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換也可表示成如下形式

      Q=cosθ2+ξ sinθ2=exp(ξθ2)(5)

      式中:ξ=1q21+q22+q23 (q1,q2,q3)

      其共軛四元數(shù)可表示成

      =cosθ2-ξ sinθ2=exp(-ξθ2)(6)

      ΔQ(t)=exp(12ω(t+εΔt)Δt)(7)

      式中:ε∈[0,1],角速度在時(shí)間區(qū)間[t, t+.Δt]被假定為為常值ω(t+εΔt),當(dāng)Δt趨向于零時(shí),便可得到四元數(shù)增量的精確值

      dQ(t)=exp(12ω(t)dt)(8)

      將整個(gè)時(shí)間區(qū)間[0, T]分成N個(gè)間隔Δti

      Δti=ti+1-ti, max|Δti|≤kTN (i, i+1=1, 2, …, N)

      在ti+1時(shí)刻的單位四元數(shù),將通過如式(5)所示的無(wú)限小變換四元數(shù)以及在ti時(shí)刻的數(shù)值確定

      Q(ti+1)=ΔQ(ti)Q(ti)=

      exp(12ω(ti+εi+1Δti+1) Δti+1)Q(ti)

      εi∈[0, 1](9)

      若剛體在t=T0時(shí)刻從單位四元數(shù)Q0開始進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則近似有

      Q(ti+1)=ΔQ(ti)Q(ti)=

      exp(12ω(ti+εi+1Δti+1) Δti+1)…

      exp(12ω(t1+ε2Δt2) Δt2)exp(12ω(ε1Δt1) Δt1)Q0=

      exp(ξi+1Δθi+12)…

      exp(ξ2Δθ22)exp(ξ1Δθ12)Q0 (10)

      上式可用圖3說明。

      圖3剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的球面弧表示

      22時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)描述

      圖4剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的球面描述

      如圖4所示,若使剛體由姿態(tài)Λ變換到N,除經(jīng)M作用的旋轉(zhuǎn)外,亦可經(jīng)變換ΣP實(shí)現(xiàn)。但是,不難發(fā)現(xiàn),由于弧長(zhǎng)P與弧長(zhǎng)Σ之和一定大于弧長(zhǎng)M,也即剛體經(jīng)姿態(tài)變換ΣP所轉(zhuǎn)過的角度要大于姿態(tài)變換M所轉(zhuǎn)過的角度。因此,若使剛體從姿態(tài)Λ快速變換到N,M所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)變換應(yīng)是最短姿態(tài)變換路徑,由于

      N=MΛ(11)

      M可根據(jù)下式求解

      M=NΛ-1(12)

      若由式(12)計(jì)算得

      M=(μ0,μ)=cos2+μsin2 (13)

      不難得到剛體從姿態(tài)Λ變換到N時(shí),相對(duì)于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)軌跡為

      Q(t)=M(t)Λ(14)

      式中:Μ(t)=cos∫t0ω(t)2dt+μsin∫t0ω(t)2dt, =∫t0ω(t)2dt,ω(t)為剛體在t時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小。式(9)便是剛體從單位四元數(shù)Λ描述的姿態(tài)經(jīng)快速姿態(tài)變換到姿態(tài)N的以單位四元數(shù)描述的姿態(tài)軌跡計(jì)算公式。

      將上述得到的姿態(tài)軌跡表達(dá)式(14)離散化處理。將時(shí)間區(qū)間[0, T]分成N個(gè)間隔Δti,在每個(gè)等分內(nèi)的角速度可以看成是定值,則有

      Q(ti+1)=M(ti+1)M(ti)…M(t1)Λ(15)

      其中,

      M(ti+1)=cos(12∑ik=0ω(ti+εiΔt)Δti)+

      μsin(12∑ik=0ω(ti+εiΔt)Δti)

      (i=0, 1, 2, …)(16)

      式中:t0=0,εi∈[0, 1]。若剛體從起始0時(shí)刻的姿態(tài)Λ快速旋轉(zhuǎn)到最終姿態(tài)N,由式(15)和式(16)可計(jì)算出剛體時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)在ti+1時(shí)刻的姿態(tài)Q(ti+1),如圖5所示。利用歐拉公式,式(15)亦可寫成形如式(10)所示的指數(shù)積形式

      Q(ti+1)=M(ti+1)Λ0=

      exp(12ω(ti+εi+1Δti+1) Δti+1)…

      exp(12ω(t1+ε2Δt2) Δt2)

      exp(12ω(ε1Δt1) Δt1)Λ0=

      exp(μΔθi+12)…exp(μΔθ22)

      exp(μΔθ12)Q0(17)

      若剛體起始姿態(tài)Λ=(λ0, λ1, λ2, λ3),目標(biāo)姿態(tài)N=(ν0, ν1, ν2, ν3),計(jì)算得到的姿態(tài)軌跡Q(t)=(q0,q1,q2,q3),若以四元數(shù)的矢量部分作為獨(dú)立參數(shù),可得到在三維笛卡爾坐標(biāo)系中的姿態(tài)軌跡曲線qi(i=1, 2, 3),稱該軌跡曲線即是剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)功的姿態(tài)軌跡曲線。該軌跡曲線的起始點(diǎn)為(λ1, λ2, λ3),終點(diǎn)為(μ1, μ2, μ3),由四元數(shù)運(yùn)算法則可知,姿態(tài)變換軌跡一般情況下應(yīng)是一條曲線,當(dāng)且僅當(dāng)λ與μ共線或其中一個(gè)為0時(shí),姿態(tài)軌跡為一條連接起始姿態(tài)點(diǎn)(λ1, λ2, λ3)到目標(biāo)姿態(tài)點(diǎn)(ν1, ν2, ν3)的直線。endprint

      23機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

      Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的三維姿態(tài)變換對(duì)應(yīng)于剛體位于SO(3)上的姿態(tài)變換,因此,可將剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。但是,如前所述,該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)存在復(fù)雜的奇異位形,而機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中應(yīng)規(guī)避奇異位形。若直接將內(nèi)容21~22的剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于機(jī)構(gòu)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃,則機(jī)構(gòu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)路徑可能存在奇異點(diǎn)。因此,有必要基于論文關(guān)于機(jī)構(gòu)的奇異位形研究?jī)?nèi)容特別是機(jī)構(gòu)位于SO(3)上的姿態(tài)奇異研究成果,結(jié)合上述剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡求解方法,對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)施時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。為便于闡述,現(xiàn)通過數(shù)值實(shí)例來(lái)說明具體操作方法。

      數(shù)值實(shí)例 給定機(jī)構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rb=2、Rm=1、βb=105°、βm=105°,不考慮機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)范圍限制,若機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位于給定位置點(diǎn)(0, 0, 4),若要求機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)從起始姿態(tài)Λ=(1, 0, 0, 0)經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=(10/10, 0,-9/10, 3/10),對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)施時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

      若不考慮機(jī)構(gòu)位于位置(0, 0, 4)的姿態(tài)奇異軌跡影響,由式(7)得到機(jī)構(gòu)快速姿態(tài)變換對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)為

      M=ΝΛ-1=(2/2, 0,-1/2, 1/2)

      機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度為

      θ=2arccos μ0=2arccos (2/2)=π/2

      將姿態(tài)軌跡曲線近似無(wú)限小等分成N等份,由式(11)得到動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)軌跡

      Q(ti)=[cos (i·Δθ2N)+μsin(i·Δθ2N)](1, 0, 0, 0)

      (i=0, 1, …, N)

      式中:?jiǎn)挝环较蚴噶喀蘪由式(5)得到。

      姿態(tài)軌跡(q1, q2, q3)中始終有q2=0。得到機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡Q如圖5所示。

      圖5剛體姿態(tài)軌跡離散化的球面描述

      有文獻(xiàn)[1]可知,機(jī)構(gòu)力雅可比矩陣的條件數(shù)可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩(wěn)定性,也是反映機(jī)構(gòu)位于相應(yīng)位形時(shí)的運(yùn)動(dòng)及力傳遞性能的一個(gè)重要指標(biāo),可反映機(jī)構(gòu)遠(yuǎn)離奇異位形的程度。故此處用雅可比矩陣的條件數(shù)來(lái)描述機(jī)構(gòu)的操作性能隨姿態(tài)軌跡的變化情況。圖6描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)隨圖5所示姿態(tài)軌跡的變化趨勢(shì)。

      q2

      圖6不考慮奇異時(shí)的機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

      q2

      圖7不考慮奇異的機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)變化

      從圖6與圖7可以看出,若根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)起始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)直接求解時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡,機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中可能會(huì)通過奇異點(diǎn),而并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過程中應(yīng)避開奇異點(diǎn),因此,有必要使機(jī)構(gòu)在不發(fā)生奇異位形的情況下,對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)施無(wú)奇異的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。

      綜合機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況,可將機(jī)構(gòu)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)分為兩步:第一步,機(jī)構(gòu)從起始姿態(tài)Λ=(1, 0, 0, 0)快速旋轉(zhuǎn)到Qmid=(2/2, 0,-1/2, 1/2);第二步,機(jī)構(gòu)從姿態(tài)Qmid快速作用到目標(biāo)姿態(tài)N=(10/10, 0,-9/10, 3/10)。由式(7)得到這兩步姿態(tài)變換對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)分別為

      M1=QmidΛ-1=(2/2, 0,-1/2, 1/2)

      M2=NQ-1mid=(20/20,3/10,10/20-92/20,32/20-10/20)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度分別為

      θ1=2arccos (2/2)=π/2

      θ2=2arccos (20/20)

      對(duì)應(yīng)于動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)軌跡為

      Q1=[cos (i·Δθ12N1)+μ1sin (i·Δθ12N1)](1, 0, 0, 0)

      (i=0, 1, …, N1)

      Q2=[cos(i·Δθ22N2)+μ1sin (i·Δθ22N2)](2/2, 0,-1/2, 1/2)

      (i=0, 1, …, N2)

      重新規(guī)劃的無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示,圖9描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)大小隨重新規(guī)劃后的姿態(tài)軌跡的變化趨勢(shì)。

      q2

      圖8機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

      q2

      圖9無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)的雅可比矩陣條件數(shù)隨時(shí)間變化

      從圖8與圖9可以看出,重新規(guī)劃的機(jī)構(gòu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡不包含奇異點(diǎn),該姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡是機(jī)構(gòu)由起始姿態(tài)Λ=(1, 0, 0, 0)經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=(10/10, 0,.-9/10, 3/10)的無(wú)奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡。

      3結(jié)論

      1) 以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù),描述了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡,對(duì)機(jī)構(gòu)的位于給定位置時(shí)的奇異規(guī)避研究奠定了前期基礎(chǔ)。

      2) 基于四元代數(shù)運(yùn)算法則,構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,得到剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程。

      3) 綜合(1)和(2)研究?jī)?nèi)容得到Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)的無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法,其能夠確保機(jī)構(gòu)在不會(huì)出現(xiàn)奇異位形的條件下,以時(shí)間最優(yōu)為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)姿態(tài)。

      4) 上述無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃很大程度上依賴于對(duì)機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況的觀察,作者下一步將集中于研究三維姿態(tài)空間內(nèi)的自動(dòng)搜尋并得到時(shí)間最優(yōu)無(wú)奇異姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法。

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      (責(zé)任編輯:)endprint

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