解繁瑣一元二次方程的一個小技巧

盧麗麗

【內容摘要】本文通過蘇教版數學九年級上冊的第一章第4節(jié)《用一元二次方程解決問題》正義難點，教學中，通過不斷研究我發(fā)現一個很好的解這類繁瑣一元二次方程的一個小技巧（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的兩個解易求。我們在這研究e≠0的情況。

【關鍵詞】繁瑣一元二次方程 ?技巧 ?蘇教版

眾所周知，蘇教版數學九年級上冊的第一章第4節(jié)《用一元二次方程解決問題》對于學生來說是個難題。在歷年中考中基本上都有一個大題出現，對于很多學生來說，能列出方程已實屬不易，可是這其中又有很多方程系數很大，不論是教師還是成績好的學生遇到這樣的方程都非常頭疼。

教學中，通過不斷研究，我發(fā)現一個很好的解這類繁瑣一元二次方程的一個小技巧，當然并不是所有的題目都能用，但是我敢負責任的說百分之九十以上的題目都可以這樣解。

這種方法一般來說適應于形如：（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的兩個解易求。我們在這研究e≠0的情況。

下面我來介紹這種方法，它分為三種情況：

【情況1】（九上26頁）問題4：龍灣風景區(qū)旅游信息：人數不超過30人，人均收費800元，超過30人，每增加1人，人均收費降低10元，但人均收費不低于500元，某公司組織一批員工到該風景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元，你能確定此次參加旅行的人數嗎？

解：經過分析可知這次旅行的人數在30至60之間。我們可以設增加x人。

列方程為（30+x）（800-10x）=28000

整理為（30+x）（80-x）=2800

我們很容易想到40×70=2800，交換位置70×40=2800

當（30+x）（80-x）=40×70=2800 時，令30+x=40，此時x=10。

恰好80-x=80-10=70。故x1=10，

當（30+x）（80-x）=70×40=2800 時，令30+x=70，此時x=40。

恰好80-x=80-40=40。故x2=40

所以此方程解為x1=10，x2=40

能用這種解法的題目在書中頻頻出現。

如：九年級上冊24頁問題1：列出方程為x（11-x）=30，我們很容易想到5×6=30。通過上述方法易求出x1=5，x2=6。

再如九上27頁練習題2：列出方程為x（50-x）=600，我們很容易想到20×30=600。通過上述方法易求出x1=20，x2=30。

還有其他題目在這我就不一一列舉了。

【情況2】（九上25頁）問題3：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施。假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多銷售2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？

解：設襯衫單價降了x元。

列方程為（20+2x）（40-x）=1250

先同時除以2得（10+x）（40-x）=625

對于625，我們最先想到的是25×25=625

如果10+x=25，x=15，此時40-x=40-15=25，所以x1=25，對于這種兩個數相同的情況，方程的兩個解一定是相等的，所以x1=x2=25

【情況3】一塊矩形菜地的面積是120平方米，如果它的長減少2米，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是多少？

解：我們可以設原來菜地的長為x米，則寬為（x-2）米。

列方程為x（x-2）=120

我們很容易想到12×10和10×12，顯然對于12×10，令x=12，x-2=10，滿足方程，故x1=12。

對于10×12，令x=10，此時x（x-2）=10×8=80≠120，這時我們就試-10×（-12），容易驗證這時可以，所以此方程的解為x1=12，x2=-10。

書中的題目如：九上25頁練習1：列出方程為x（x-5）=150，這題我們嘗試的是15×10=150和（-10）×（-15）= 150。通過上述方法易求出x1=15，x2= -10。

對于形如（ax+b）（cx+d）=e（a ≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程的解法技巧，我概括如下：如果很容易看出e=m×n，我們先令ax+b=m，解出x，代入cx+d，如果cx+d=n，此時x就是方程的一個解。（如果cx+d≠n，此時x就不是方程的一個解，仿照這種方法再嘗試e的其它兩個因數，如果連續(xù)嘗試幾次都不成功，那就老老實實的用公式法或是配方法吧）。

嘗試時：若m=n，這個方程就有兩個相等的根。若m≠n，再令ax+b=n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=m，此時x 就是方程的另一個解。如果cx+d≠n，這時我們嘗試用e=-n×（-m），令ax+b= -n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=-m，此時x就是方程的另一個解。

筆者在上面已強調，并不是所有形如：（ax+b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程都可以用這種方法解題。但是可以大膽地說百分之九十以上的方程可以用此方法解。由于在用一元二次方程解決問題的題目時，列出方程后，只需要直接寫出結果，不要求寫出解方程的過程，所以我們可以用這種方法試一試，很容易就能夠得出結果，而用公式法或是配方法沒有三分鐘或是更長時間是解決不了的，并且計算量很大，容易出錯。在數學學習中，還有很多規(guī)律和技巧，只要我們不斷探究其中規(guī)律，總結經驗，我們的思路會打開，思維能力會增強，我們可以把復雜問題簡單化。中考難題也就會變的簡單的多。數學也就沒有傳說中的那么恐怖了。

（作者單位：江蘇省徐州市開發(fā)區(qū)實驗學校）endprint