關(guān)于《2014年安徽高考理科數(shù)學第21題》的探究

范光龍

研究數(shù)列的性質(zhì)是近幾年高考的熱點，近幾年來，對于數(shù)學分析中的數(shù)列的極限和收斂等問題頻繁出現(xiàn)在高考中，而沒有超出范圍，是因為我們可以利用函數(shù)的不動點和性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學歸納法來處理數(shù)列的單調(diào)性和有界性，近幾年多個省份都進行考查，2014年安徽高考也是如此。下面我們給出這方面的幾個探究。

我們知道不是所有的數(shù)列都有極限，如果要研究數(shù)列的極限，我們要加強對y=f（x）的要求。

探究一：設(shè)函數(shù)y=f（x），正項數(shù)列{an}滿足首相為a1，an+1=f（an），若它們滿足以下幾個條件：

（1）x0為方程f（x）=x的一個正根；

（2）a1

（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I= （a1，x0）上單調(diào)遞增；

（4）不等式f（x）>x在區(qū)間I上恒成立。

則：a1≤an

下面先用數(shù)學歸納法證明：

（1）當n=1時，根據(jù)不等式f（x）>x在區(qū)間I上恒成立得a1

（2）假設(shè)當n=k時命題成立，即a1≤ak

根據(jù)（1）（2）得對任意正整數(shù)n，原不等式成立。

探究二：設(shè)函數(shù)y=f（x）滿足x0為f（x）=x的一個根，正項數(shù)列{an}滿足首相為a1=x0，an+1=f（an），則an=x0（證明略）。

探究三：設(shè)函數(shù)y=f（x），正項數(shù)列{an}滿足首相為a1，an+1=f（an），若它們滿足以下幾個條件：

（1）x0為方程f（x）=x的一個正根；

（2）x0

（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I=（x0，a1）上單調(diào)遞增；

（4）不等式f（x）

則：x0

而2014年安徽高考理科數(shù)學第21題第（2）小題：設(shè)實數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N+，數(shù)列{an}滿足a1> ，an+1= ，證明：an>an+1> 。正是這個結(jié)論。

當我們掌握好以上內(nèi)容后，根據(jù)探究1解決2005年江西理科數(shù)學第21題、2008年全國高考理科數(shù)學第22題。根據(jù)探究三還可以直接解決2006年湖南理科數(shù)學第19題、2006年陜西理科數(shù)學第22題。

通過上述描述，函數(shù)，數(shù)列，不等式是高考的熱點話題，他們之間的關(guān)系有很多內(nèi)容有待進一步研究。

（作者單位：安徽省巢湖市第一中學）