“巧練”

孫家和

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心是要充分展現(xiàn)和暴露思維過程，讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)掌握思維方法，發(fā)展思維品質(zhì)。例題、習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是數(shù)學(xué)思想方法的生長點(diǎn)。因此，教師應(yīng)根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知情況，選擇具有典型性和針對性強(qiáng)的例題和練習(xí)題加以“巧練”。

那么，如何進(jìn)行“巧練”呢？筆者認(rèn)為“巧練”的原則有針對性原則、循序漸進(jìn)原則和發(fā)展性原則。教師在講解問題時(shí)應(yīng)注重解法研究，挖掘隱藏于例題習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)通性通法，本文就此談?wù)勎业囊恍┳龇ā?/p>

一、突出“針對性”原則，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率

俗話說的好：“兵不在多而在精”。作為教師，實(shí)施“巧練”應(yīng)本著切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的理念，摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，在選題和編題上下功夫，確保作業(yè)富有典型性、啟發(fā)性，從而達(dá)到舉一反三、事半功倍的作業(yè)效果。如在必修5《一元二次不等式的解法》教學(xué)后，我布置了如下作業(yè)：

解下列不等式：

（1）4x2-4x>15

（2）-x2-2x+8≥0

（3）x（x+2）

（4）已知不等式kx2-2x+6k<0 （k≠0）

①若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值；

②若不等式的解集是R，求k的值。

又如在學(xué)完《均值不等式》這一重要內(nèi)容后，我選編了下面兩題：

（1）已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a2+b2=1，x2+y2=1，求ax+by的最大值。

（2）已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a2+b2=16，x2+y2=36，求ax+by的最大值。

這兩道姊妹題看似一樣，但卻是回味無窮的問題。第一題引導(dǎo)同學(xué)們至少得到三種解法，而第二題看似與第一題相同，但有一大半學(xué)生錯(cuò)誤地求出答案是26。過程是：

因?yàn)閍x≤ ，by≤

所以ax+by≤ =26。

這是錯(cuò)誤的，讓學(xué)生感到十分驚訝！因此，教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些有代表性的練習(xí)題，提高習(xí)題的針對性，在問題的解決中突破本節(jié)課的重難點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率。

二、呈現(xiàn)“循序漸進(jìn)”原則，面向全體學(xué)生

心理學(xué)研究表明學(xué)生之間是存在差異的，因而教師必須依據(jù)所教班級學(xué)生的實(shí)際情況，因材施教，在教學(xué)中采用低起點(diǎn)、多層次，漸提高的做法，使知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機(jī)的結(jié)合起來，讓各層次的學(xué)生在課堂內(nèi)都能積極參與，學(xué)有所得，智力和能力得到發(fā)展。例如，在求參數(shù)取值范圍的復(fù)習(xí)中，我選用了下面的例題。

例1：已知方程2sin2x-（6m+1）sinx+3（3m-1）=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？

本題給出后，基礎(chǔ)較弱的學(xué)生由△≥0求得m的取值范圍，這是草率之舉，我并沒有責(zé)怪他們，而是提出了類似的一個(gè)問題：

已知方程2x2-（6m+1）x+3（3m-1）=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？

請學(xué)生觀察兩題的差異，共同分析其錯(cuò)因：由于-1≤sinx≤1，故△≥0不能保證方程的解在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，即△≥0只是方程有實(shí)根的必要非充分條件！

要將參數(shù)m的取值范圍求出并不容易，如何讓各層次的學(xué)生都能積極參與，特別是讓基礎(chǔ)較弱的學(xué)生繼續(xù)保持學(xué)習(xí)的熱情、在探索該題上提高自己的思維能力呢？

解法1：令t=sinx，則-1≤t≤1，方程化為2t2-（6m+1）t+3（3m-1）=0，利用一元二次方程區(qū)間根的分布規(guī)律，分方程在[-1，1]上有兩解或有且僅有一解這兩種情況去求解。

上述問題有沒有其它解法呢？學(xué)生們各抒己見，課堂上涌動(dòng)著一股強(qiáng)勁的探索熱流，基礎(chǔ)較弱的學(xué)生也在積極思考，大家共同總結(jié)了：

解法2：方程化為（9-6sinx）m= 3+sinx-2sin2x，∵9-6sinx≠0，利用分離參數(shù)法得m= ，觀察到分子分母可分解因式，約簡得m=

，利用三角函數(shù)有界性求解。

這表明由于學(xué)生在互相討論中不斷獲益，思維向多層次邁進(jìn)了。還有沒有其它解法呢？如果分離參數(shù)后不能分解化簡，怎么辦呢？

由于學(xué)生的主體作用得到了充分發(fā)揮，極大地調(diào)動(dòng)了思維的積極性，師生共同分析得出，求函數(shù)式m=

的值域，可利用導(dǎo)數(shù)法，我請了一位同學(xué)上臺(tái)板演解法：

解法3：令t=sinx（-1≤t≤1），則m= ，對m求導(dǎo)得：0≤m ≤ 。

解法3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域，這是一種通性通法！學(xué)生們通過比較，認(rèn)為解法1太麻煩，需要分類討論；解法2最快捷（這是由本題特殊性決定的），解法2則具有一般性。

這些方法的講解，尊重了學(xué)生之間的差異，使得后進(jìn)生越學(xué)越有勁頭，優(yōu)等生在積極的思考和討論中也能不斷的優(yōu)化自己的思維，提高自己分析和解決問題的能力，真正地讓不同程度的學(xué)生在課堂上都能學(xué)有所獲。

三、體現(xiàn)“發(fā)展性”原則，培養(yǎng)學(xué)生探究能力

傳統(tǒng)的例題及習(xí)題的教學(xué)是側(cè)重于對所學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解掌握和解題規(guī)范性的示范，這當(dāng)然是必需的。但絕不是就題論題，照本宣科。這要求我們通過對例題習(xí)題的再加工（變式）和再拓展（歸類），讓學(xué)生深入的探究，深刻的反思。例如在學(xué)完《直線與方程》內(nèi)容后，很多老師都會(huì)選用下面這道題：

已知定點(diǎn)P（6，4），經(jīng)過P的直線m，與定直線l：y=4x相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)M，使△OQM面積最小，求直線m的方程。

分析：首先注意本題需分類討論，即直線m斜率是否存在的情況。設(shè)M（a，0），通過對本題條件的分析，引導(dǎo)學(xué)生得出△OQM的面積函數(shù)式，再求面積最小值。

當(dāng)師生共同求出函數(shù)式S=

（a>5）后，引導(dǎo)學(xué)生回憶值域的求法，分析得到本題可以化為二次函數(shù)求最小值，或通過配湊使用均值不等式，也可使用判別式法求最小值。最后求得直線m：x+y-10=0，M（10，0），Q（2，8）。

帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步研究，不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)，本題中點(diǎn)P恰好是線段MQ的中點(diǎn)，那么這個(gè)發(fā)現(xiàn)是不是巧合？能否推廣呢？促使學(xué)生進(jìn)行思考，最后引導(dǎo)學(xué)生一起證明面積最小值定理。

總之，教師要從練習(xí)的“少而精”入手，選擇具有針對性、循序漸進(jìn)性和發(fā)展性原則的問題進(jìn)行巧練和講解，在巧練中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，在講解中不斷提高課堂教學(xué)效果，真正實(shí)現(xiàn)“返本歸真”、“減負(fù)增效”，全面提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：安徽省合肥市肥東縣第一中學(xué)）