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    幾類含參問題初探

    2015-07-16 10:30:20吉林省白山市撫松縣撫松五中夏興鳳
    衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2015年21期
    關鍵詞:常量增函數(shù)做題

    吉林省白山市撫松縣撫松五中 夏興鳳

    含參問題是整個高中數(shù)學教學的重點,也是一個難點。高考中也少不了這類題型。面對某些含參問題,正面思考會覺得很困難。但通過轉(zhuǎn)變思想,變換自變量,重新設定自變量的方法,會使解題思路凸現(xiàn),而這個變化過程也大大優(yōu)化了求解過程。下面是我平時在教學工作中對這一問題的一點思考,愿與我們大家共同分享。敬請斧正!

    一、設定自變量求含參問題

    例如:已知

    其中a為常數(shù)。

    若h( x) = f( x) + g( x)是增函數(shù),且h′( x)存在正零點(h′( x)為h(x)導數(shù))

    (1)求a值。

    ( ⅰ ) 若0 < a < 1 ,ln a <0于 是x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≤ 0恒 成 立 。 又h′( x)存在正零點,所以 ?= 4 ln2a ? 4 ln a =0。得ln a =0或ln a =1,與ln a <0矛盾。

    ( ⅱ ) 若a>1, 由x2?ln a ? 2 x ? ln a +1 ≥ 0恒成立,又h′( x)存在正零點,故?=0,所以a =e。

    做到這里有的同學就不知該如何往下證明了,在上邊這個式子中,出現(xiàn)了兩個變量x1, x2,倘若把其中的一個設為自變量,另一個看做參變量,那么這個問題的思路便豁然開朗了。

    不妨令X1=X,則令r( x) = x ? ln x2?x ? ln x ? x2+x (0<x<x2)只需證r( x) < 0,x ∈ (0,x2)即可。

    r′( x) = l n x2? l n x >0

    ∵x ∈ (0,x2),∴ r′( x) > 0∴r( x)在(0,x2)上 遞 增 。 ∴ r ( x1) < r( x2)即x1?ln x2?x1?ln x1?x2+x1<0

    二、變換自變量解含參問題

    對于有些問題,如果把不等式看做關于 的不等式則解題過程非常復雜,但如果把不等式看做關于參數(shù)a的不等式則可簡化解題過程,實現(xiàn)常量與變量的轉(zhuǎn)化。

    再如,對于滿足的所有實數(shù)a,求使 不等式x2+ a x + 1 > 2 x + a 恒成立的x的取值范圍。

    不等式化為(x ? 1)a + (x ?1)2>0,令f( a ) = (x ? 1 )a + (x ?1)2,把它看作是關于a的一次函數(shù),由有 ?2 ≤ a ≤2,對于 ?2 ≤ a ≤2時,要使f( a) > 0恒 成 立 , 只 需f( ?2) = (x ? 1 )(x ?3) > 0和f( 2) = (x ? 1 )(x +1) > 0同時成立即可,得x<?1或x>3。如此變換,復雜的問題就簡單多了,學生做題時也省去了不必要的麻煩。

    三、變更自變量從而回避討論

    某些分類討論問題中含有多個變量,可根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點,選擇某個變量為自變量,來個“反客為主”,從而回避討論的繁瑣。

    例如:

    設,其中a ∈ R , n ∈ N 且n≥2當x∈ (? ∞,1]時f( x)有意義,求a的范圍。

    本題中有三個變量a, n, x 。這里條件復雜,解題方向不明確,如果選取其中的a 為自變量,把n, x 看作常量,問題就迎刃而解了。

    由于n≥2且有x∈ (? ∞,1],所以

    以上僅是我平時教學時的一些感觸。其實,在教學過程中,還有許多問題值得我們總結(jié)和思考。很多平時我們覺得很難的問題,只要換種角度去看待,即利用轉(zhuǎn)化的思想去分析研究,也許那些問題就不再深不可測了。當然這只是我個人的一點點想法,如有不當之處,敬請批評指正!

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