數(shù)學期望在經濟學中的應用

俞晨笛

摘 要 數(shù)學期望是隨機變量最基本的數(shù)學特征之一，它是簡單算術平均的一種推廣。數(shù)學期望的應用范圍比較廣，在經濟決策中特別在物流管理、投資決策和風險分析方面起著重要的作用，往往是決策者決策時的主要依據(jù)，還有許多經濟、生活方面的問題都可以直接或間接地利用數(shù)學期望來解決。本文例舉了數(shù)學期望在各類決策中應用的實例，體現(xiàn)了數(shù)學期望在實際生活中的有效性和實用性。

關鍵詞 數(shù)學期望 經濟決策

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）05-0087-02

數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值，是隨機變量最基本的數(shù)學特征之一，它是簡單算術平均的一種推廣。其本質運用就是對于一個隨機事件，采用計算數(shù)學期望的方法將問題簡化并得出最優(yōu)方案，結合實例分析總結出這些方法的實用性和有效性，最終得到較科學的決策方法。因其符合客觀條件，合理科學，得到了人們的關注。于是通過實踐，人們打破了數(shù)學的界限，將它推廣到了經濟活動和實際生活，特別在物流管理、投資決策和風險分析方面，有許多問題都可以直接或間接地利用數(shù)學期望來解決。

一、相關隨機變量的數(shù)學期望

1.數(shù)學期望的性質

（1）設C是常數(shù)，則有E（C）一C

（2）設X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E（CX）=CEX

（3）設X，Y是兩個隨機變量，則有E（X+Y） =EX+EY

這一性質可以推廣到有限個隨機變量的情況。

（4）設X，Y是相互獨立的隨機變量，則有E（XY）一EXEY

這一性質可以推廣到有限個相互獨立隨機變量之積的情況。

2.幾種常見概率分布及數(shù)學期望

二、數(shù)學在經濟中的作用

1.培欣決策

培欣決策是基于概率基礎上的著名決策法則，實質是一種風險性決策的分析方法，得出事件發(fā)生原因的概率，再按概率預測其經濟效益，依此進行最后決策。如某企業(yè)要生產一種新產品決策前對市場銷售量有好、中、差三種預測。其發(fā)生概率與經濟效益成反比。在這種情況下，需要決策的是：（1）要不要先聘專家進行一次市場調查；（2）要不要生產該種新產品。如果市場情況好，增加的利潤大于支付的調查費；若不好，不能增加利潤，則支付調查費對企業(yè)不利。培欣決策是數(shù)學與經濟學結合的一個典型事例。

2.生產決策問題

一生產廠對其產品的市場需求增長滿懷希望。在確定計劃之前，生產廠要進行微觀經濟決策，微觀決策包括企業(yè)根據(jù)市場確定產量，進行人、財、物的合理分配目前，這樣可以降低生產風險，確保生產的順利進行。例如，某產員工以每周40h滿負荷地工作著，為滿足預期的市場新需求，業(yè)務主管領導在考慮是否要采用員工超時工作的應急措施或添置、更新設備的辦法來增加產量（或提高產品質量），市場部的專家們預測對產品需求增加15%的可能性是60%，但同時指出，經濟也可能惡化，有實際需求下降5%的可能性，其概率是40%。領導們要在此不確定的情況下做出決策，從三種可以采取的行動中選定一個行動方案，已知的有關的數(shù)據(jù)列于下表。

解：這是一個在對自然狀態(tài)的信息不確知（對產品需求可能會減少5%，也可能會增加15%），但又知其概率分布（概率分別為0.4和0.6）的情況下要作出決策的問題，常稱這類問題為風險型決策。

對于風險型決策問題，不論采用怎樣的決策都帶一定的風險，如對本例而言，若采用第一種決策，即既不增加工時也不增添設備，一旦出現(xiàn)市場需求增加的情況時就失去了更多獲利的可能。期望值判據(jù)是一種常用的處理風險型決策的判據(jù)，即比較各種行動所產生之效益期望值的大小以作出決策。對于本例給出的數(shù)據(jù)，期望收益為：

40x0.4+35x0.6 37.0（萬元）

28x0.4+40x0.6 35.2（萬元）

3ix0.4+43x0.6 38.2（萬元）

故若用期望值判據(jù)，則公司領導將決定采取增加設備的應急措施，對自然狀態(tài)的各種概率估計很重要。在表1的數(shù)據(jù)中，若對前景持更樂觀的態(tài)度，認為出現(xiàn)需求增長的概率是0 8，那么依同樣的判據(jù)就會作出不同的決定。事實上，這時期望收益為：

40x0.2+35x0.8 36.0（萬元）

28X0.2+40X0.8 37.6（萬元）

3ix0.2+43x0.8 40.6（萬元）

于是公司領導將會決定增添新設備，擴大規(guī)模。

3.資金投資問題

某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息。買股票的收益主要取決于經濟形勢，假設可分三種狀態(tài)：形勢好、形勢中等、形勢不好（即經濟衰退）。若形勢好可獲利40000元；若形勢中等可獲利10000元；若形勢不好要損失20000元。如果是存入銀行，假設年利率為8%，即可得利息8000元。又設年經濟形勢好、中等、不好的概率分別為30%、50%和20%。試問該投資者應選擇哪一種投資方案？

分析：購買股票的收益與經濟形勢有關，存入銀行的收益與經濟形勢無關。因此，要確定選擇哪一種方案，就必須通過計算這兩種投資方案對應的收益期望值E來進行判斷。

解：由題設，一年中兩種投資方式在不同的經濟形勢下對應的收益與概率如下表所示：

從上表可以初步看出，如果購買股票在經濟形勢好和經濟形勢中等的情況下是合算的，但如果經濟形勢不好，則采取存入銀行的方案比較好。

下面通過計算加以分析：

（1）如果購買股票，其收益的期望值：

E1=40000X 0.3+10000X 0.5+（-20000）X0.2 =13000（元）

（2）如果存入銀行，其收益的期望值：

E2=8000x 0.3+8000x 0.5+8000×0.2 =8000（元）

因此，購買股票的收益比存入銀行的收益大，按期望收益最大原則，應選擇購買股票。

說明：該題是按風險決策中的期望收益最大準則選擇方案，在這些方案的最大利潤中選出一個最大值，與該最大值相對應的那個可選方案便是決策選擇的方案。由于根據(jù)這種準則決策也能有最大虧損的結果，所以這種作法有風險存在。

在求解一些看似很復雜的實際問題時，將其抽象到數(shù)學的角度，分析出其中的變量并進行深入的分析考慮且對變量做一些合理的假設后，最終采用計算數(shù)學期望的方法將問題簡化并得出最優(yōu)方案。完成了利用數(shù)學理論知識解決實際問題，將理論與實際相結合，體現(xiàn)了數(shù)學理論在實際生活中的重要性和有效性。