球殼在帶電與不帶電兩種情況下所呈現(xiàn)的兩個類似性質(zhì)

周一恒++王金聚

摘 要：本文采用“微元法”證明了球殼在帶電和不帶電兩種情況下兩個相似的結(jié)論，并且舉例說明了這兩個結(jié)論的廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：均質(zhì)球殼；均勻帶電球殼；殼內(nèi)引力的矢量和

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）5-0042-2

1 均質(zhì)球殼

均質(zhì)球殼，顧名思義，就是指質(zhì)量分布均勻的球殼，對這樣的質(zhì)量分布均勻且厚度處處相同的球殼而言，有如下一條重要的結(jié)論：

結(jié)論1：厚度均勻的均質(zhì)球殼對其空腔內(nèi)任一質(zhì)點的引力的矢量和為零。

下面我們采用“微元法”證明上述這一結(jié)論：

如圖1所示，將球殼看成是由許許多多半徑不等的同心“球皮”疊加而成，每一層球皮的厚度d都足夠小。以殼內(nèi)任一點P為頂點，任作一對頂角很小的對頂?shù)男A錐體，圓錐體在最外層球皮上截取的面積分別記為△S1、△S2。圓錐體的軸線為O1O2，與最外層球皮交于O1、O2兩點，小圓錐體又將諸層球皮分割成許許多多個小體積元。圖中的陰影ABDC部分就是最外層球皮上被截取的小體積元的截面圖。

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圖1 球殼內(nèi)取對頂小圓錐體

連接OO1、OO2，則△OO1O2為等腰三角形。設(shè)兩底角的角度為α，小圓錐體的頂角為θ，PO1=r1，過O1點作一與軸線O1O2垂直的平面，則面積元△S1在該平面上的投影為△S1cosα。該投影的形狀為一圓面，圓面的直徑近似為r1θ（θ單位：弧度）。所以，圓的面積也可以寫成■π（r1θ）2，即

△S1cosα=■π（r1θ）2。

把球皮ABDC的體積記為△V1，則△V1=△S1d=■，設(shè)球殼的密度為ρ，則該體積元的質(zhì)量為： Δm1=■。

設(shè)P處放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則它受到體積元△m1的引力大小為：

ΔF1=G■=■=■。

同理，與體積元△m1關(guān)于P點相對的另一體積元△m2對質(zhì)點P的引力大小為：

ΔF2=G■=■=■，

∴△F1=△F2。

由于二者方向相反，故二體積元△m1、△m2對質(zhì)點P的引力的矢量和為零。

推而廣之，由于任意一對關(guān)于P點對應(yīng)的體積元對P處質(zhì)點的引力之和都為零，所以整個厚度均勻的均質(zhì)球殼對其空腔內(nèi)任一質(zhì)點的引力為零，命題得證。

上述結(jié)論常常用于討論球類的引力問題，下面我們用它來討論一下地球內(nèi)、外的重力加速度隨高度變化的情況。

假定地球的密度是均勻的，在地球內(nèi)部距地心r處的重力加速度設(shè)為g，根據(jù)上述的結(jié)論——其外部球殼對r處質(zhì)點的引力之和為零。所以有■=mg，Mr是半徑為r的內(nèi)部中心球體的質(zhì)量。

將Mr=ρ·■πr3代入上式得g=■·r，這說明在地球內(nèi)部g與r成正比。

接下來我們再討論一下地表之上的重力加速度隨高度變化的情況：

同樣假定地球的密度ρ是均勻的，設(shè)地球的半徑為R，地表之上距地心r處的重力加速度為g，由萬有引力定律得■=mg，將M=ρ·■πR3代入上式得g=■·■∝■。

設(shè)地表處的重力加速度為g0，由■=mg0，

得g0=■。

式中萬有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，地球質(zhì)量M=5.98×1024 kg， 地球的平均半徑R=6.37×106 m，所以，可以求得地球表面的重力加速度為：g0=■ m/s2=9.82 m/s2。

綜上所述，地球內(nèi)外的重力加速度g隨距地心的距離r的變化如圖2所示：

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圖2 地球內(nèi)外重力加速度與距地心r的關(guān)系

2 均勻帶電球殼

若球殼的厚度均勻且所帶電荷的分布也均勻，則有如下的一條類似結(jié)論：

結(jié)論2：厚度均勻的均勻帶電球殼對殼內(nèi)任一點電荷的庫侖力的矢量和為零。

由于庫侖定律與萬有引力定律的表達式F=k■、F=G■的極度相似性，所以我們采用與結(jié)論1的證明完全類似的方法，可以順利得出上述結(jié)論2，此處不再贅述。結(jié)論2在討論帶電球或者球殼類的問題時同樣應(yīng)用廣泛。

例 有一個均勻的帶電球體，球心在O點，半徑為R，電荷體密度為ρ。球體內(nèi)有一個球形空腔，空腔球心在O′點，半徑為R′，OO'=a。如圖3所示，試求空腔中各點的場強。

解析：這里要用到正、負電荷疊加的思想。

將該空心球看成是完整的帶正電的實心大球與空腔處帶負電的實心小球的疊加體，且大球與小球所帶電荷的體密度相等，則在空腔處正負電荷疊加的結(jié)果仍然是電中性的，相當于空腔內(nèi)不帶電。

對于空腔中任意一點P，設(shè)OP=r1，O'P=r2，則帶正電的大球在P點激發(fā)的場強僅由半徑為r1的球內(nèi)電荷所決定。場強的大小為E■=k■=■kρπr■，方向由O指向P。

同理，虛擬的帶負電的“小球”在P點所激發(fā)的場強為：E2=k■=■kρπr■，方向由P指向O′。

E1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則，合矢量EP的方向如圖3所示。

所以，EP=■E■=■kρπa 。

Ep的方向沿O → O′。顯然，由于P點的任意性，空腔內(nèi)各點的場強大小都是■kρπa，方向均沿O → O′，即空腔里的電場是勻強電場，電場線如圖4所示。

參考文獻：

[1]王金聚.談?wù)剬η蝾悊栴}的求解[J].物理教學(xué)探討，2005，（5）：13.

[2]王朝銀，等. 2012步步高大一輪復(fù)習講義[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2011.（欄目編輯 羅琬華）