Ansys軟件在駐波振動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用＊

沈壯志

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119）

1 引言

質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)傳遞著能量和動(dòng)量.波動(dòng)則是另一種傳遞能量和動(dòng)量的過(guò)程，所有波動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的重要要形式之一［1］.波可分為機(jī)械波和電磁波（包括光波）.機(jī)械波是質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)在介質(zhì)中的傳播.如弦線上的波、水面波以及空氣或固體中的聲波等等.

一般情況下，我們所說(shuō)的波是指不斷前進(jìn)的波，但在特殊的情況下，還存在著一些“囚禁”在某一空間的波，波只能在這一空間做周期性的振動(dòng)，其能量也被束縛而不能傳遞出去，這就是駐波.

音叉振動(dòng)是最常見(jiàn)一維駐波，對(duì)于二維駐波，力學(xué)教材只提供兩幅膜或板上所形成的克拉尼駐波圖［1］，該圖是借助于提琴弓在金屬板邊沿摩擦引起振動(dòng)形成的.傳統(tǒng)的方法是將薄板中心用螺絲固定在一根立柱上，這樣各種駐波圖案的中心點(diǎn)始終是波節(jié)位置，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，二維駐波圖形完全可以通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，本文采用Ansys（有限元法）［2］對(duì)板振動(dòng)所形成的駐波進(jìn)行數(shù)值模擬，以滿足學(xué)生對(duì)二維駐波振動(dòng)特性的了解.

2 二維駐波的振動(dòng)特性

2.1 板振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

該模型只考慮薄板，也就是說(shuō)板的厚度相對(duì)于板表面線度較小，這樣可認(rèn)為板沿厚度方向的應(yīng)力為常數(shù)，即板的內(nèi)應(yīng)力僅是平面坐標(biāo)的函數(shù)；同時(shí)假設(shè)板的振動(dòng)較小，即板內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都進(jìn)行垂直方向的振動(dòng)，因此可用中心面的位移來(lái)代表板的位移，該位移只是平面坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù).由于板振動(dòng)方程的推導(dǎo)涉及許多彈性力學(xué)知識(shí)，而且推導(dǎo)極為繁瑣，這里只給出它的振動(dòng)方程［3］.

其中η（t，x，y）代表板中心面上任何一點(diǎn)在垂直方向的位移，E是板的楊氏模量，板的截面回轉(zhuǎn)半徑為為板的厚度是直角坐標(biāo)的一種算符.方程（1）可以采用分離變量法得出板上各點(diǎn)的振動(dòng)位移，這里不給出板上各點(diǎn)振動(dòng)的位移，只通過(guò)模擬的方法給出板上所形成的克拉尼駐波圖.

2.2 板振動(dòng)的駐波圖

板或膜由于它們的振動(dòng)發(fā)生于二維空間，波節(jié)已不在是點(diǎn)而是線.按照德國(guó)物理學(xué)家克拉尼曾經(jīng)所做的實(shí)驗(yàn)，散在板上一層薄薄的細(xì)砂，在板的振動(dòng)下位于波腹處的細(xì)砂由于振動(dòng)而脫離波腹，而位于波節(jié)處則保持不動(dòng)，最終在板上“畫(huà)”出一幅獨(dú)特的二維振動(dòng)駐波圖案.從克拉尼實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，圖形所顯示的波節(jié)位置也不是線，而是面.這里采用有限元法模擬出方形板的振動(dòng)波形圖.

2.2.1 模擬過(guò)程

模擬設(shè)置板尺寸為40mm×40mm×3mm，且板的邊界條件設(shè)為自由邊界，當(dāng)給板施加一個(gè)振動(dòng)頻率時(shí)，則板上會(huì)形成振動(dòng)強(qiáng)弱不同的圖案，具體的模擬過(guò)程如下.

（1）指定分析標(biāo)題并設(shè)置分析范疇

1）設(shè)置標(biāo)題等

Utility Menu＞File＞Change Title

Utility Menu＞File＞ Change Jobname

2）選取菜單途徑Main Menu＞Preference，單擊Structure，單擊OK.

（2）定義單元類型

Main Menu＞ Preprocessor＞ Element Type＞ Add／Edit／Delete，出現(xiàn) Element Types對(duì)話框，單擊 Add出現(xiàn) Library of Element Types對(duì)話框，選擇Solid，再右滾動(dòng)欄選擇Brick 20node 186，然后單擊OK，單擊Element Types對(duì)話框中的Close按鈕就完成這項(xiàng)設(shè)置了.

（3）指定材料性能

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Material Props＞ Material Models.出現(xiàn) Define Material Model Behavior對(duì)話框，在右側(cè)Structural＞Linear＞Elastic＞Isotropic，指定材料的彈性模量（2.1e11）和泊松系數(shù)（0.3），Structural＞Density指定材料的密度（7 800），完成后退出即可.

（4）建立模型

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Modeling＞Create＞Volumes＞Block＞By Dimensions，根據(jù)尺寸要求設(shè)置（板的尺寸是40mm×40mm×3mm）.

（5）劃分網(wǎng)格

選取菜單途徑Main Menu＞Preprocessor＞Meshing＞MeshTool，出現(xiàn)MeshTool對(duì)話框，點(diǎn)擊SmartSize，保留其他選項(xiàng)，單擊 Mesh出現(xiàn) Mesh Volumes對(duì)話框，其他保持不變單擊Pick All，完成網(wǎng)格劃分.

（6）進(jìn)入求解器并指定分析類型和選項(xiàng)

選取菜單途徑 Main Menu＞Solution＞Analysis Type ＞ New Analysis， 將 出 現(xiàn) New Analysis對(duì)話框，選擇Modal單擊OK.

再選取 Main Menu＞Solution＞ Analysis Type＞Analysis Options，將出現(xiàn) Modal Analysis對(duì)話框，單擊OK，出現(xiàn)Subspace Model Analysis對(duì)話框，選擇激勵(lì)的頻率，其他保持不變，單擊OK.

（7）施加邊界條件

選取 Main Menu＞Solution＞Define loads＞Apply＞Structural＞Displace－ment，出現(xiàn)ApplyU，ROT on KPS對(duì)話框，選擇在點(diǎn)、線或面上施加位移約束，單擊OK會(huì)打開(kāi)邊界約束種類對(duì)話框，選擇邊界設(shè)置（本文選擇自由邊界），單擊apply或OK即可.

（8）進(jìn)行求解計(jì)算

選取菜單途徑Main Menu＞Solution＞Solve＞Current LS.瀏覽在／STAT命令對(duì)話框中出現(xiàn)的信息，然后使用File＞Close關(guān)閉該對(duì)話框，單擊OK. 在 出 現(xiàn) Should the SOLV command be executed？時(shí)單擊Yes，求解過(guò)程結(jié)束后單擊close.

（9）查看振動(dòng)結(jié)果

執(zhí)行 Main Menu＞General Postproc＞Read results＞first Set，然后執(zhí)行Main Menu＞General Postproc＞Plot Results＞Deformed Shape，在彈出對(duì)話框中選擇“Def＋undefe edge”單擊OK，模擬結(jié)果就會(huì)呈現(xiàn)出來(lái).

（10）當(dāng)需要其他頻率激勵(lì)時(shí)，重復(fù)上述步驟，只需對(duì)步驟（6）進(jìn)行設(shè)置改變激勵(lì)頻率則會(huì)得到不同振動(dòng)圖樣.

2.2.2 各種不同激勵(lì)頻率的振動(dòng)圖樣（圖1）

圖1

上述圖樣，顯示板在不同頻率激勵(lì)下所呈現(xiàn)出來(lái)的精美圖形，模擬顯示在板上某些區(qū)域由于振動(dòng)能量相差很微小，計(jì)算機(jī)則以同一顏色暗示這些區(qū)域的振動(dòng)的幅度是一致的.而振動(dòng)能量的強(qiáng)弱以顏色的深淺表示，紅色［如圖1（a）中正四邊形的邊長(zhǎng)中點(diǎn)附近處］代表的是板上振動(dòng)最強(qiáng)的地方，而藍(lán)色［如圖1（a）中深色對(duì)角線組成的十字叉］則是振動(dòng)最弱的地方，兩者之間則以其他顏色顯示.從上述8個(gè)圖案可知，激勵(lì)的頻率越高，波長(zhǎng)越短，在同樣大小的板上就會(huì)更多的駐波，當(dāng)然波腹或波節(jié)數(shù)目也相應(yīng)增加，圖案也就更加復(fù)雜精美，盡管復(fù)雜但不雜亂無(wú)章而是呈現(xiàn)一種規(guī)則分布的、和諧的對(duì)稱圖樣，這就是克拉尼二維駐波圖樣，它完全不輸于實(shí)驗(yàn)所帶來(lái)的震撼.它代替了在實(shí)驗(yàn)條件不足的情況下給學(xué)生所展現(xiàn)出的一幅幅生動(dòng)的圖樣，當(dāng)然也可以通過(guò)動(dòng)畫(huà)的形式呈現(xiàn)每時(shí)每刻的振動(dòng)圖樣.

3 結(jié)論

本文通過(guò)有限元軟件，模擬了二維方板在激勵(lì)頻率的作用下所呈現(xiàn)二維駐波圖樣，它代替了在實(shí)驗(yàn)條件不足的情況下，同樣給學(xué)生在視覺(jué)上展現(xiàn)出一幅幅生動(dòng)的精美圖樣，學(xué)生也了解激勵(lì)頻率對(duì)振動(dòng)圖樣的影響，避免了對(duì)復(fù)雜的理論公式的理解.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué).北京：高等教育出版社，2005.334，362

2 李黎明.Ansys有限元分析實(shí)用教程.北京：清華大學(xué)出版社，2005

3 杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ)，上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981.104