關(guān)于修正的一維分子晶體模型的孤子激發(fā)

李琴蘭，陳 浩

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州510006)

1 引 言

在極性晶體中運(yùn)動的電子，其庫侖勢使周圍正負(fù)離子移位而產(chǎn)生極化，形成一個(gè)圍繞電子的極化場. 極化場又反過來作用于電子，使其能量和狀態(tài)等發(fā)生改變，并伴隨著電子在晶格中運(yùn)動這樣一個(gè)相互作用的整體就是極化子. 極化子效應(yīng)降低電子的能量，并使電子有效質(zhì)量增加. 幾十年來極化子問題一直在固體物理中扮演著相當(dāng)重要的角色［1-4］. 近年來，由于低維系統(tǒng)非線性元激發(fā)的研究進(jìn)展，重新引起人們對于一維極化子理論的興趣. 而一維分子晶體模型中孤子激發(fā)態(tài)的存在也一直引起人們的重視，并已做過廣泛的研究. 江濤［5］研究了一維分子晶體的極化子-孤立子運(yùn)動，得到了帶有孤立波形式的兩類新的極化子- 孤立子解. 任學(xué)藻［6］等采用相干態(tài)展開法研究了一維分子晶體模型處于基態(tài)的極化子滿足的帶有積分形式的非線性薛定諤方程及其定態(tài)孤子解. 陳浩［7］等研究了Aharonov -Bohm 對環(huán)上帶有色散項(xiàng)的分子晶體模型的光學(xué)極化子的影響.李圳［8］等研究了一維分子晶體模型中立方型相互作用引起的孤子激發(fā). 本文研究關(guān)于修正的一維分子晶體模型的孤子激發(fā)解. 該修正解是在文獻(xiàn)［8］的模型基礎(chǔ)上加入了本征值平方項(xiàng)后得到的，通過分析本征值平方項(xiàng)和立方型相互作用對孤子激發(fā)的峰寬、峰值和電子自陷勢阱的影響，我們可以看到本征值平方項(xiàng)有利于立方型相互作用的一維分子晶體模型中孤子的激發(fā)，改進(jìn)了立方型相互作用對一維分子晶體模型孤子的彌散效應(yīng). 在忽略立方型相互作用和本征值平方項(xiàng)的影響后，該解與通常極化子解［1］一致.

2 運(yùn)動方程和解

考慮立方型相互作用后的一維分子晶體模型的Hamiltonian 量為:

這一Hamiltonian 描述了一維系統(tǒng)中電子通過畸變與晶格光學(xué)振動發(fā)生相互作用，其中y 和m 分別是電子的坐標(biāo)和質(zhì)量，a 表示晶格間距，Rn= na 表示第n 個(gè)分子的位置，un表示第n 個(gè)分子

根據(jù)Holstein，我們可假定波函數(shù):

滿足Schrodinger. 這里an依賴于時(shí)間t 和晶格振動位移un，表示電子在第n 格點(diǎn)上的概率幅;φn(y，un)為第n 格點(diǎn)上的局域化的分子軌道，滿足方程:

式中本征值E(un)只與分子振動的位移量un有關(guān). 與往常的取線性近似不同，為了得到更準(zhǔn)確的結(jié)果，我們將本征值取到平方項(xiàng)，即:

由式Schrodinger 方程，得到an的運(yùn)動方程:

式中

是雙中心交疊積分. - Aun-項(xiàng)代表電子與晶格間的相互作用勢. 忽略Jn，n=1對un的依賴. 設(shè)Jn，n+1= - J，則:

取絕熱近似，即略去式(6)中的晶格振動動能項(xiàng)，則得:

在ω2＜＜σ2時(shí)，上式的解為:

當(dāng)a(0)n是n 的緩變函數(shù)時(shí)，可做下列連續(xù)化近似:

將式(10)、(11)代入式(7)可化解為:

3 討 論

3.1 當(dāng)ω2= 0 ，B = 0 時(shí)，即不考慮了立方型相互作用和本征值平方項(xiàng)時(shí)，孤子激發(fā)解回復(fù)于通常的極化子解［1］:

此時(shí)孤子的峰寬、峰值為(15)、 (17)式.由圖3 可知，此時(shí)孤子激發(fā)的峰寬最窄，峰值最大，孤子特征最明顯.

3.2 當(dāng)ω2≠0 ，B = 0 時(shí)，由文獻(xiàn)［8］可知，正比于ω2的項(xiàng)(即立方型相互作用項(xiàng))是孤子的彌散項(xiàng).

3.3 當(dāng)ω2≠0 ，B ≠0 時(shí)，令α =，β =則式(12)化為:

該方程的解為:

即在考慮立方型相互作用和本征值平方項(xiàng)后一維分子晶體模型的孤子激發(fā)的修正解可表述為式(13)，該孤子激發(fā)的峰寬和峰值變?yōu)?

圖1 孤子的寬度隨β 的變化Fig.1 The change of the width of the soliton with the β

圖2 孤子的峰值隨β 的變化Fig.2 The change of the peak of the soliton with the β

以上是從數(shù)學(xué)角度分析了立方型相互作用和本征值平方項(xiàng)對一維分子晶體模型的孤子激發(fā)的影響，得到了有利于孤子激發(fā)的條件和不利于孤子激發(fā)的條件. 下面從物理意義上分析，理解他們對孤子激發(fā)的影響.

當(dāng)ω2≠0 ，B ≠0 時(shí)，自陷態(tài)晶格振動位移為:

相應(yīng)的電子自陷勢阱則為:

圖3 β 取不同值時(shí)孤子解的比較Fig.3 The compare of solutions when β takes different values

在這里取A = 2，ω2=，分別畫出的電子自陷勢阱圖，如圖4.

圖4 β 取不同值時(shí)電子自陷勢阱圖的比較Fig.4 The compare of the electron’s selftrapped potential well when β takes different values

4 結(jié) 論

在考慮立方型相互作用和本征值平方項(xiàng)后一維分子晶體模型的孤子激發(fā)的修正解跟通常孤子解相比較有很大的不同，他的孤子特征變的很不明顯.

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