集中式多輸入多輸出雷達多功能波形優(yōu)化設計

陳志坤 李風從 喬曉林趙宜楠

(哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院 哈爾濱 150001)

集中式多輸入多輸出雷達多功能波形優(yōu)化設計

陳志坤 李風從 喬曉林*趙宜楠

(哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院 哈爾濱 150001)

針對集中式多輸入多輸出(MIMO)雷達波形設計中多個設計目標同時優(yōu)化的問題，基于交替投影的思想，該文提出一種以任意維迭代譜逼近算法(ADISAA)為基礎的波形設計框架，通過可調的權重來協(xié)調發(fā)射方向圖匹配、良好的相關特性和頻譜凹口等多種功能的波形設計目標，最終實現(xiàn)恒模波形設計。仿真結果表明，相對于已有的算法，在發(fā)射方向圖匹配的基礎上，該算法改善了發(fā)射波形在指定區(qū)間的相關特性，同時通過頻譜凹口的設計避開了受到色噪聲和有源干擾污染的頻段，算法的計算復雜度更低。

多輸入多輸出雷達；波形設計；發(fā)射方向圖匹配；相關特性

1 引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達的波形設計是MIMO雷達研究領域一個熱門方向[1]。與相控陣雷達相比，集中式MIMO雷達可通過改變陣元發(fā)射信號之間的相關性來合成空間方向圖[2,3]。在搜索目標時，為了盡量獲取由虛擬孔徑所帶來角度分辨率的改善，通過發(fā)射正交波形合成全向方向圖；當檢測到目標時，為了提高參數(shù)估計的精度，通過設計發(fā)射信號的相關矩陣來將電磁能量盡量輻射到感興趣的空間范圍上，由此達到合理利用有限發(fā)射功率滿足不同任務需求的目的，提高了積累增益[4,5]。此外，設計具有指定區(qū)間良好相關特性的波形可以有效地提高雷達距離分辨率的性能[6]。

2004年，文獻[7]推導了MIMO雷達發(fā)射方向圖的計算公式，采用梯度搜索方法求解了發(fā)射信號的相關矩陣，初步提出了通過設計相關矩陣合成MIMO雷達空間方向圖的思想。2007年文獻[8]修改了方向圖的目標函數(shù)，用半正定規(guī)劃方法進行求解，取得了很好的匹配效果。為了最大化利用發(fā)射機功率和避免放大器非線性特性導致的波形畸變，MIMO雷達的波形設計需要滿足恒模約束。文獻[6]在恒模約束條件下對指定區(qū)間波形的相關特性進行設計，取得了良好的結果。2012年，文獻[9]在之前的基礎上，將發(fā)射方向圖匹配與指定區(qū)間良好的相關特性進行結合設計，得到了具有期望方向圖和指定區(qū)間良好相關特性的恒模波形。然而這兩種約束條件聯(lián)合設計的結果導致了過程變量的矩陣維數(shù)過大從而影響波形設計的計算復雜度，而且不具有靈活的調整能力，當設計目標改變時需對整個優(yōu)化算法進行重新設計，因此該方法不能適應于具有多個功能設計目標的波形設計。

本文提出了一種以任意維迭代譜逼近算法為基礎的波形設計框架，能夠靈活調整波形設計所需的設計目標，以此實現(xiàn)MIMO雷達波形設計中多種設計目標的同時優(yōu)化。本文選擇了方向圖匹配，指定區(qū)間良好的相關特性，頻譜凹口3種設計目標進行設計，在方向圖匹配的基礎上，有效地提高了指定區(qū)間內的相關特性，頻譜凹口的設計可以避開了由有源干擾造成“污染”的頻段，最終實現(xiàn)了恒模波形設計，從而提高了MIMO雷達的性能，并有效地降低波形設計的計算復雜度。

2 問題建模

為了最大化利用發(fā)射機功率，本文采用的波形模板為恒定幅度的相位調制信號[6]?？紤]M個發(fā)射陣元， x(n)代表時刻n時雷達所發(fā)射的M個信號，定義為

考慮互耦的影響及柵瓣的產(chǎn)生，一般取陣元間距為半個波長，設a(θ)為陣列的導向矢量，則a(θ)為

本文綜合考慮發(fā)射方向圖匹配、指定區(qū)間良好的自相關特性、頻譜凹口等3種功能的設計目標進行結合設計。

2.1 發(fā)射方向圖匹配

按照環(huán)境參數(shù)變化靈活設計發(fā)射方向圖可提高MIMO雷達的整體性能[10]。與相控陣雷達通過權系數(shù)來實現(xiàn)天線波束的改變相比，集中式MIMO雷達可通過發(fā)射信號協(xié)方差矩陣的設計得到期望方向圖，因此方向圖設計更加靈活。集中式MIMO雷達的方向圖可表示為

R為x(n)的協(xié)方差矩陣，R=E{x(n)xH(n)}。兩個不同方向θ1與θ2的互相關則表示為

發(fā)射方向圖匹配擬合的一般流程：設期望方向圖為φ(θ)，在最小二乘準則下設計R使得P(θ)逼近φ(θ)，同時使感興趣的目標方向之間的空域互相關(θ)最小。文獻[7]根據(jù)方向圖與協(xié)方差矩陣之間的函數(shù)關系建立目標函數(shù)，將其轉化為一個半正定二次規(guī)劃(Semidefinite Quadratic Programming, SQP)的問題，通過凸優(yōu)化理論對其進行優(yōu)化求解，得到與期望方向圖所對應的協(xié)方差矩陣R。本文使用建模語言Cvxpy求解這一SQP問題，得到協(xié)方差矩陣R，并對應波形矩陣的目標函數(shù)進行求解[9]，可得

式中，R1/2為R的Hermitian平方根，且R≥0為半正定矩陣，為矩陣的Frobenius范數(shù)。

2.2 指定區(qū)間良好的相關特性

文獻[11]已經(jīng)證明，在指定區(qū)間具有極低距離旁瓣的波形可以有效減弱距離旁瓣遮蔽。由文獻[6]可知，關于指定區(qū)間相關特性的設計主要有兩種算法：多序列循環(huán)新算法(Multi-sequence Cyclic Algorithm-new, Multi-CA)和多序列加權循環(huán)新算法(Multi-Sequence Weighted Cyclic Algorithm-New, Multi-WeCAN)。相對于Multi-CA算法，Multi-WeCAN算法雖然實現(xiàn)較為復雜，但能取得更低旁瓣深度，且矩陣的維數(shù)較小，有利于減少過程的計算量。設指定區(qū)間參數(shù)為，令Γ= Toep[γ0,γ1,…,γN?1],Toep為Toeplitz矩陣。另設y(n)=[x1(n), x2(n),…,xM(n)]Τ, ZT(ω)=[y(1)e?jω, y(2)e?jω2,…,y(N )e?jωN]M×N,Zp=Z(ωp),C為Γ的平方根，, p=1, 2,…,2N。由文獻[6]可得Multi-WeCAN算法的目標函數(shù)為

2.3 頻譜凹口

在波形設計階段，需考慮電磁環(huán)境中有源干擾和色噪聲的影響導致某些頻段受到嚴重干擾，不能作為發(fā)射波形的頻段，因此波形設計需考慮避開受到“污染”的頻段[12]。設定“污染”的頻段為s?=為k個阻帶頻段；N為阻帶s的個數(shù)。設F~N是~ ×N維的單位離散傅里葉變換矩陣(為頻率采樣點)，F(xiàn)~N中與s?對應的頻段矩陣為P，對s?頻段內功率譜的抑制問題可表示為

3 多功能波形優(yōu)化設計

實際的波形設計常需要考慮多個功能的設計目標，因此需要尋求一種能夠針對多個設計目標同時進行優(yōu)化的算法框架。文獻[9]綜合考慮方向圖匹配和零相關區(qū)旁瓣抑制，將方向圖匹配與循環(huán)算法(Cyclic Algorithm, CA)進行結合設計，得到具有期望方向圖和良好相關特性的波形。在該文中，相關特性的約束是在方向圖匹配的基礎上乘積式實現(xiàn)的，雖然能取得方向圖匹配最優(yōu)的擬合效果，但制約了指定區(qū)間的相關特性，且很難與其他的設計目標兼容；另外，由于MIMO雷達本身多通道的特點使得波形設計過程變量矩陣的維數(shù)都很大，而采用乘積的方式對矩陣進行擴展，導致了矩陣維數(shù)變得更大，從而影響了波形設計的計算復雜度。

文獻[13]基于交替投影和相位提取的思想提出了一種多維迭代譜逼近算法，通過迭代的方式，利用了相關和譜之間的關系使得設計的波形逼近理想的波形譜，從而達到波形優(yōu)化的目的。該算法只對兩種設計目標進行優(yōu)化設計，且不具有靈活的調整能力。本文將從多個設計目標的情況下進行恒模波形設計出發(fā)，對該算法在多設計目標的情況下進行擴展和推導，由此實現(xiàn)多設計目標同時優(yōu)化的問題，并定義：

(1)波形的距離，本文采用了Frobinus范數(shù)定義波形距離。

(2)設計目標波形的各種集合，波形集合是用波形矩陣來表示，分別定義集值函數(shù)Sp, Scon為第p個設計目標和恒模約束所對應的集合。

(3)每個設計目標集合對應投影算子，但并不是每種設計目標都可用投影算子來優(yōu)化，需進行轉換或推導，這也是本文的難點之一。投影算子表示為

式中proj為投影算子。

3.1 算法框架

基于以上，本文提出了一種任意維迭代譜逼近算法(Arbitrary-Dimensional Iterative Spectral Approximation Algorithm, ADISAA)，假設K為算法的疊加次數(shù)，令k=1,2,…,K，當k=1時，X(0)=IM×N，對算法的第k次疊加，求解問題為式中λp為第p個設計目標對應的權重，Pc為設計目標的個數(shù)。根據(jù)式(10)可得，一種任意維迭代譜逼近算法的波形設計框架如圖1所示。

由圖1可知，本文所提出波形設計框架是以加權求和及迭代的方式來實現(xiàn)的，設計框架的兩種好處為：

(1)可根據(jù)任務的需求更換設計目標而不影響整個波形設計的算法框架，如可選擇正交波形的設計替換方向圖匹配。

(2)權重λp(p=1,2,…,Pc)是衡量各種設計目標在整個波形設計中所占的比重，因此可靈活調整各種設計目標在波形設計框架中的比重。

圖 1 任意維迭代譜逼近算法的波形設計框架

3.2 投影算子的實現(xiàn)

本文對方向圖匹配，指定區(qū)間良好的相關特性及頻譜凹口等3種設計目標進行投影算子的實現(xiàn)，最終實現(xiàn)恒模波形的設計。

1為由協(xié)方差矩陣R所產(chǎn)生波形矩陣的集合，得到投影算子為

為了表示相關特性約束的集合[13]，p=1,2,…, 2N?1,m=1,2,…,M，定義集值函數(shù)(值為集合的函數(shù))：

式中F1是具有合適尺寸的單位離散傅里葉變換矩陣，滿足，則

式中Z為理想波形的幅度，且Z∈?2N×M。令S2= D，根據(jù)式(6)的定義，可令Z=G，根據(jù)式(6)，令，代入式(13)，即可得到指定區(qū)間相關特性的投影算子為

對于頻譜凹口的目標函數(shù)進行投影算子的實現(xiàn)[13]，由式(8)可得，若每一列都在矩陣P的零空間，則式(8)的結果為零，因此假設矩陣P的零空間由矩陣QH的列張成，并定義集值函數(shù)為

col(QH)為QH的列向量張成的子空間，L是頻譜中保留的頻率采樣的個數(shù)，則向col(QH)的投影為

將矩陣Q轉換為一個選擇矩陣A和單位離散傅里葉變換矩陣F的乘積，即Q=AF, (AAH=IL×L, AHA=Diag(m))，定義向量m為

式中1?(?)是集合?的指示函數(shù)。代入式(16)，故矩陣X~可重新表述為

令S=col(QH)，可得頻譜凹口約束的投影算子為

3

為了約束包絡的幅度，實現(xiàn)恒模波形的設計[14,15]，定義集值函數(shù)為M(V)={X∈?N×M:, M(1)代表模值為全1恒模約束的集合，令

M(1)，最終可得到恒模約束的投影算子

分別將式(11)，式(14)，式(19)和式(20)代入式(10)，即可得到本文所提出ADISAA算法的波形設計結果。

4 仿真結果分析

設MIMO雷達的發(fā)射陣元M=10，為標準的均勻線陣，陣元間距為半個波長，功率約束波形采樣數(shù)N=256，功率約束c=M，即Rmm=M/M=1。波束中心為0°，波束寬度為60°。首先通過建模語言Cvxpy對方向圖匹配的目標函數(shù)進行求解，得到與期望方向圖對應的協(xié)方差矩陣R。為了量化方向圖匹配的擬合效果[9]，設波形方向圖與期望方向圖之間的均方誤差(Mean Square Error, MSE)為

wl為期望方向圖第l個采樣點的權值，L為采樣點數(shù)，α為比例因子。同時為了衡量指定區(qū)間相關特性的性能[6]，定義Rk為時延為k的波形協(xié)方差矩陣，則相關值(Correlation Level, CL)為CL=，另設是點的FFT,為頻譜采樣點數(shù)，頻譜凹口的阻帶旁瓣函數(shù)為

由于算法的復雜性、計算平臺的差異性和不穩(wěn)定性[16]，本文采用占用系統(tǒng)的內存量來直觀地衡量算法的計算復雜度。

仿真1 不考慮頻譜凹口的情況下，選擇了方向圖匹配、指定區(qū)間良好的相關特性等兩種設計目標進行結合設計。設定Multi-WeCAN算法的指定區(qū)間參數(shù)，且γ0=3.0461。首先，為了明確權重對兩種設計目標的影響效果，對其進行仿真分析，得到圖2，作為新算法權重系數(shù)選擇的依據(jù)。

本文的多功能波形優(yōu)化設計優(yōu)先考慮是方向圖匹配，對于兩種設計目標的優(yōu)先級，設定方向圖匹配大于指定區(qū)間良好的相關特性。由圖2所示，當λ1≥0.7時，方向圖匹配的均方誤差變化趨勢趨于平穩(wěn)，λ2＜0.2時，指定區(qū)間的相關值變化陡降，因此選擇λ1=0.7～0.8,λ2=0.15～0.30，其中λ1+λ2=1。

仿真2 與仿真1的仿真條件相同，對本文所提出的新算法和文獻[9]的算法進行仿真(該算法采用了CA算法與發(fā)射方向圖匹配進行結合設計，最終在恒模約束下實現(xiàn)波形設計)。設CA算法的指定區(qū)間參數(shù)P=5, λ1=0.8, λ2=1?λ1=0.2，得到以下仿真結果(圖3)。

如圖3(a)所示，在文獻[9]所提出的算法中，方向圖匹配的擬合均方誤差MSE=3.20，在本文所提出的新算法中，方向圖匹配的擬合均方誤差MSE= 3.60。圖3(b)表示在指定區(qū)間P=5的范圍內，新算法的發(fā)射波形取得了約-53.07 dB的相關特性旁瓣深度，文獻[9]的指定區(qū)間旁瓣深度為-38.05 dB。由此可見，與文獻[9]所提出的算法相比，新算法的方向圖匹配效果稍差，但取得10 dB以上指定區(qū)間相關特性旁瓣深度的增益。另外由仿真可得到文獻[9]算法的占用內存為575156 kB，新算法的占用內存量為425416 kB，由于矩陣維數(shù)減少，有效減少算法的計算復雜度。

仿真3 考慮頻譜凹口的情況下，設頻譜采樣點數(shù)N~=1000，歸一化頻率?s=[0.2,0.3]，設λ3為頻譜凹口所對應的權重。由圖2分析可得，可選擇λ1=0.75, λ2=0.20, λ3=0.05作為實現(xiàn)3種設計目標同時設計的一種折中方案，并進行仿真實現(xiàn)，得到的結果如圖4所示。

圖2 權重與對應設計目標的效果曲線變化圖

圖3 綜合兩種設計目標的發(fā)射波形

由圖4(a)可見， X為綜合3種設計目標進行結合設計所得到的發(fā)射方向圖，R為協(xié)方差矩陣R直接得到的發(fā)射方向圖。與圖 3(a)相比，由于λ1=0.75, X所對應的方向圖擬合效果比文獻[9]和仿真2的新算法稍差，具體表現(xiàn)為MSE=3.68，但與期望方向圖進行對比，滿足了方向圖匹配的要求。由圖4(b)與圖3(b)進行對比，由于考慮頻譜凹口，對信號的頻譜進行展寬，從而影響了指定區(qū)間相關特性的性能，表現(xiàn)為CL=44.3 dB。由此可見，在結合3種設計目標進行設計的情況下，與仿真2的兩種設計目標結合設計進行對比，指定區(qū)間相關特性旁瓣深度減少了9 dB左右，但與文獻[9]進行對比，新算法在指定區(qū)間仍獲得了5 dB以上相關特性的旁瓣增益，同時在阻帶頻段內(?s=[0.2,0.3])取得了-20 dB的功率譜凹口深度。

5 結束語

本文提出了一種集中式MIMO雷達多功能波形優(yōu)化設計的框架，針對方向圖匹配、指定區(qū)間良好的相關特性、頻譜凹口設計等3種功能的設計目標進行結合設計，使用了一種ADISAA算法(任意維迭代譜逼近算法)來得到各個子設計目標的最優(yōu)解，最終實現(xiàn)了恒模波形設計。仿真結果表明，雖然方向圖匹配的擬合效果比文獻[9]的算法稍差，但指定區(qū)間的相關特性取得5 dB的旁瓣深度增益，另外通過頻譜凹口的設計，有效地避開了受到有源干擾和色噪聲所污染的頻段，并且減少了算法的計算復雜度，驗證了算法的有效性。由于過程計算矩陣的維數(shù)都比較大，因此波形設計的內存占用量是一個有待于繼續(xù)解決的問題。

圖4 綜合3種設計目標的發(fā)射波形

[1] Daum F and Huang J. MIMO radar: snake oil or good idea? [J]. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2009, 24(5): 8-12.

[2] Li Jian and Stoica P. MIMO radar with colocated antennas [J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2007, 24(5): 106-114.

[3] Li Jian, Stoica P, and Zheng Xia-yu. Signal synthesis and receiver design for MIMO radar imaging[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(8): 3959-3968.

[4] Fuhrmann D R and San Antonio G S. Transmit beamforming for MIMO radar systems using signal cross-correlation[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2008, 44(1): 171-186.

[5] 湯永浩, 馬曉峰, 盛衛(wèi)星, 等. 集中式MIMO雷達部分相關波形設計與處理[J]. 電子與信息學報, 2013, 35(6): 1471-1476.

Tang Yong-hao, Ma Xiao-feng, Sheng Wei-xing, et al.. Partially correlation waveform design and processing for co-located MIMO radar[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2013, 35(6): 1471-1476.

[6] He Hao, Stoica P, and Li Jian. Designing unimodular sequences sets with good correlations-including and application to MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(11): 4391-4405.

[7] Fuhrmann D and Antonio S G. Transmit beamforming for MIMO radar systems using partial signal correlation[C]. Proceedings of the 38th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, Pacific Grove, USA, 2004: 295-299.

[8] Li Jian and Stoica P. On probing signal design for MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(8): 4151-4161.

[9] He Hao, Li Jian, and Stoica P. Waveform Design for Active Sensing Systems[M]. New York: Cambridge University Press, 2012: 214-221.

[10] Xu Lu-zhou, Li Jian, and Stoica P. Target detection and parameter estimation for MIMO radar systems[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2008, 44(3): 927-939.

[11] Sibui L H and Titlebaum E L. Signal design for detection of targets in clutter[J]. Proceedings of the IEEE, 1981, 69(4): 481-482.

[12] He Hao, Stoica P, and Li Jian. Waveform design with stopband and correlation constraints for cognitive radar[C]. Proceedings of the IEEE International Workshop on the Cognitive, Information Proceseing(CIP), Elba, USA, 2010: 344-349

[13] Zhao Yi-nan, Li Feng-cong, and Zhang Tao. Computational design of optimal waveforms for MIMO radar via multi-dimensional iterative spectral approximation[J]. Multidimensional Systems and Signal Processing, 2014, 46(22): 1456-1473.

[14] 趙宜楠, 張濤, 李風從, 等. 基于交替投影的MIMO雷達最優(yōu)波形設計[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(6): 1368-1373.

Zhao Yi-nan, Zhang Tao, Li Feng-cong, et al.. Optimal waveform design for MIMO radar via alternating projection[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(6): 1368-1373.

[15] Cui Guo-long, Li Hong-bin, and Rangaswamy Muralidhar. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(2): 343-353.

[16] 胡亮兵, 劉宏偉, 楊曉超. 集中式MIMO雷達發(fā)射方向圖快速設計方法[J]. 電子與信息學報, 2010, 32(2): 481-484.

Hu Liang-bing, Liu Hong-wei, and Yang Xiao-chao. Fast transmit beampattern synthesis for MIMO radar with colocated antennas[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2010, 32(2): 481-484.

陳志坤： 男，1982 年生，博士生，研究方向為MIMO雷達信號處理、電子偵察技術.

李風從： 男，1985 年生，博士生，研究方向為自適應信號處理、雷達統(tǒng)計信號處理.

喬曉林： 男，1948 年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為極化雷達信號處理、電子對抗和反對抗技術.

趙宜楠： 男，1977 年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為雷達統(tǒng)計信號處理、自適應波形設計.

Optimal Multi-function Waveform Design for MIMO Radar with Collocated Antennas

Chen Zhi-kun Li Feng-cong Qiao Xiao-lin Zhao Yi-nan
(School of Electronics and Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

This paper addresses the simultaneous optimization problem of the multi-objective waveform design for MIMO radar with collocated antennas. Inspired from the idea of alternating projection, a waveform design framework is presented based on the Arbitrary-Dimensional Iterative Spectral Approximation Algorithm (ADISAA). Multi-objective of waveform design such as transmit beampattern match, good correlation, spectrum notch can be controlled by the adjustable weights. Finally, the constant modulus signal is designed. Simulation results show: the proposed algorithm improves the correlation performance of waveform at a specified lag intervals after transmit beampattern matching, the spectrum notch is designed to avoid the spectrum band which is polluted by active jamming and color noise, and it has lower computational complexity.

MIMO radar; Waveform design; Transmit beampattern match; Correlation performance

TN958

： A

：1009-5896(2015)06-1431-06

10.11999/JEIT141079

2014-08-14收到，2015-02-09改回

國家自然科學基金(61371181)資助課題

*通信作者：喬曉林 Chih_Quinn_Chen@yeah.net