有“變”才有“活”

徐秀嬌

摘 要 有效實(shí)施變式教學(xué)，不但能較好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)變能力，而且能夠有利于遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高復(fù)習(xí)效果，顯著提高數(shù)學(xué)成績(jī)，促進(jìn)輕負(fù)擔(dān)高質(zhì)量的素質(zhì)教育的落實(shí)。本文結(jié)合初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實(shí)踐，探討了有效實(shí)施變式教學(xué)提高復(fù)習(xí)教學(xué)效果的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 輕負(fù)高質(zhì) 變式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2015）13-0071-03

分析近年來(lái)各地中考數(shù)學(xué)試卷，明顯發(fā)現(xiàn)比較側(cè)重考查學(xué)生的探究能力，增加了考查學(xué)生思維深度和廣度的題目。因此，在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)該從一些簡(jiǎn)單的題目入手，設(shè)計(jì)一些題型多變的例題和習(xí)題，有效實(shí)施變式教學(xué)，提高學(xué)生辨別能力，有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，提高數(shù)學(xué)思維能力，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”的弊端，提高復(fù)習(xí)效果，促進(jìn)輕負(fù)高質(zhì)的實(shí)現(xiàn)。

一、巧用變式，奠定雙基

1.語(yǔ)言變式，夯實(shí)基礎(chǔ)

教師在學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)知識(shí)后，在復(fù)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述方式進(jìn)行熟練轉(zhuǎn)換，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。例如在復(fù)習(xí)“等腰三角形三線合一”時(shí)，由于學(xué)生對(duì)定理所闡述的意義理解不深，在推理過(guò)程中常出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象。從本質(zhì)上看實(shí)際上是學(xué)生對(duì)三種語(yǔ)匯互譯能力有欠缺導(dǎo)致的。我們可以進(jìn)行如下數(shù)學(xué)語(yǔ)言變式教學(xué)：

教師將下面九條語(yǔ)言形態(tài)分別制成九張卡片，用磁鐵張貼在黑板上，拿取其中任意一張，請(qǐng)同學(xué)找出其它相應(yīng)的兩張卡片。相對(duì)應(yīng)的三種自然語(yǔ)言如下：

⑴在等腰三角形中，頂角在平分線垂直平分底邊。

⑵在等腰三角形中，底邊上的中線也是底邊上的高、頂角角平分線。

⑶在等腰三角形中，底邊上的高平分底邊和頂角。

其對(duì)應(yīng)的三種圖像語(yǔ)言如下：

相對(duì)應(yīng)的三種符號(hào)語(yǔ)言分別對(duì)應(yīng)如下：

⑴在△ABC中，如果AB=AC，∠BAD=∠CAD，則有AD⊥BC，BD=CD；

⑵在△ABC中，如果AB=AC，BD=CD，則有∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；

⑶在△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC，則有BD=CD，∠BAD=∠CAD。

如此反復(fù)地練習(xí)，學(xué)生很快掌握了這條定理的三種語(yǔ)匯互譯，為今后類似問(wèn)題的解決打下了基礎(chǔ)。教師應(yīng)該注重指導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言，再將數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言。這樣堅(jiān)持進(jìn)行“語(yǔ)言”變式教學(xué)，有利于學(xué)生練好數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基本功，提高語(yǔ)言理解能力，進(jìn)而有效培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

2.巧用變式，自主建構(gòu)

復(fù)習(xí)課中用直觀化的形式再現(xiàn)知識(shí)，那是一種復(fù)制式的復(fù)習(xí)，而適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用變式教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，用“新瓶”既裝“舊酒”，又調(diào)配“新酒”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)參與到“知識(shí)探究、自主構(gòu)建”的過(guò)程中來(lái)。例如一位教師開(kāi)設(shè)了一節(jié)“平行四邊形單元復(fù)習(xí)”匯報(bào)課。他做了如下的設(shè)計(jì)。

【畫(huà)一畫(huà)】有一天，劉紅同學(xué)不小心撕去了一張平行四邊形紙片，巧的是剛好從A、C兩個(gè)頂點(diǎn)撕開(kāi)（如圖1所示）。你能幫她補(bǔ)全平行四邊形嗎？

問(wèn)題剛一提出，許多學(xué)生就躍躍欲試，想表達(dá)自己的畫(huà)法。

方法1：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AE，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CF，交AE于點(diǎn)D，四邊形ABCD就是所要補(bǔ)全的平行四邊形。（原理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

方法2：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AE，并在AE上截取AD=BC，連接CD，四邊形ABCD就是所要補(bǔ)全的平行四邊形。（原理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

方法3：連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使BO=DO，再分別連接AD、CD，四邊形ABCD就是所要補(bǔ)全的平行四邊形。（原理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

方法4：分別以點(diǎn)A、 點(diǎn)C為圓心，以AB、BC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D， 連接AD、 CD，四邊形ABCD就是所要補(bǔ)全的平行四邊形。（原理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；……學(xué)生用不同的方法補(bǔ)全了平行四邊形，并完成了如下表格的填寫(xiě)：

……

以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，喚起學(xué)生對(duì)知識(shí)的回憶，把學(xué)生的注意力吸引到復(fù)習(xí)教學(xué)中去，讓學(xué)生主動(dòng)參與到“知識(shí)探究、自主構(gòu)建”的過(guò)程中來(lái)。問(wèn)題情景喚起了學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定方法的回憶，學(xué)生積極投入表格的填寫(xiě)。通過(guò)填寫(xiě)表格，學(xué)生對(duì)平行四邊形的性質(zhì)與判定有了整體性的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生的頭腦中烙下了清晰的“儲(chǔ)藏圖表”，內(nèi)化成為學(xué)生自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感覺(jué)到復(fù)習(xí)不再是知識(shí)點(diǎn)的羅列。這樣的變式教學(xué)復(fù)習(xí)，既使學(xué)生興趣盎然，又使學(xué)生借助表格把所學(xué)的零散知識(shí)系統(tǒng)化和條理化，進(jìn)而有效幫助學(xué)生自主構(gòu)建起自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高了復(fù)習(xí)課堂的教學(xué)效果。

二、變式解題，提煉方法

有些教師經(jīng)常出現(xiàn)的誤區(qū)是：在復(fù)習(xí)課上傾向于多講復(fù)雜的、難度大的綜合題，而沒(méi)有深入引導(dǎo)學(xué)生自己去探究解題的方法，及時(shí)總結(jié)解題的規(guī)律，使得學(xué)生做了大量題目而數(shù)學(xué)思維并沒(méi)有提高多少，導(dǎo)致復(fù)習(xí)效果不盡如人意。教師應(yīng)該精心選取比較典型的一題多解、一題多變和多題歸一的題目，組織學(xué)生分析討論，激發(fā)學(xué)生問(wèn)題解決的興趣。通過(guò)變式解題，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生探究能力的提高和解題思路的拓展。

教學(xué)片段1：在“一元一次方程”復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題：

我們學(xué)校準(zhǔn)備組織七年級(jí)學(xué)生去實(shí)踐基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，如果租用45座位的客車，則有15人沒(méi)有座位，如果租用同樣數(shù)量的60座位的客車，則除多出一輛外，其余的車恰好坐滿。

⑴問(wèn)七年級(jí)共有學(xué)生多少人？

⑵已知用45座位的客車每日租金為每輛250元，60座位的客車每日租金為每輛300元，問(wèn)租用哪種客車更合算？

分析：對(duì)于第⑴小題引導(dǎo)學(xué)生用兩種不同的方法來(lái)解決。方法一，設(shè)有x輛車，那就可以用兩個(gè)不同的式子來(lái)表示七年級(jí)學(xué)生人數(shù)，抓住人數(shù)不變列方程。方法二，設(shè)七年級(jí)有學(xué)生x人，那就可以用兩個(gè)不同的式子來(lái)表示車的輛數(shù)，抓住車輛數(shù)不變列方程。

解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)生普遍感到困難的地方，主要原因在于不能尋找出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，或者即使找到了有關(guān)數(shù)量關(guān)系，也不知道每個(gè)數(shù)量關(guān)系到底能起到什么作用。教師應(yīng)該根據(jù)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，選取緊密貼近生活而又比較典型的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行問(wèn)題解決教學(xué)，有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析討論、發(fā)現(xiàn)與歸納，自主建構(gòu)起“表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子相等”這樣一個(gè)能普遍解決實(shí)際問(wèn)題的等量關(guān)系。這樣的變式教學(xué)過(guò)程能夠有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”，深刻感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從中提煉出常用的數(shù)學(xué)思想方法，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又提高了復(fù)習(xí)效率，何樂(lè)而不為呢？

教學(xué)片段2：“概率”復(fù)習(xí)課

例1.甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母A和B；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母C、D和E；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母H和I，從3個(gè)口袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)小球。

（1）取出的3個(gè)小球上，恰好有1個(gè)元音字母的概率是多少？

（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？

分析：這個(gè)問(wèn)題中有3個(gè)獨(dú)立的條件，即甲、乙和丙三個(gè)口袋，將每個(gè)口袋中的小球2個(gè)、3個(gè)、2個(gè)分別看成各個(gè)元素。從3個(gè)口袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)小球?？捎孟旅娴臉?shù)形圖表示：

根據(jù)樹(shù)形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是12個(gè)，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。

⑴只有一個(gè)元音字母（記為事件A）的結(jié)果有5個(gè)，所以P（A）=；

⑵全是輔音字母（記為事件B）的結(jié)果有2個(gè)，所以P（B）==。

例2.甲、乙、丙三人打乒乓球。由哪兩人先打呢？他們決定用“石頭、剪刀、布”的游戲來(lái)決定，游戲時(shí)三人每次做“石頭” “剪刀”“布”三種手勢(shì)中的一種，規(guī)定“石頭” 勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”， “布”勝“石頭”。問(wèn)一次比賽能淘汰一人的概率是多少？

分析：此題中的甲、乙、丙三人相當(dāng)于例1中的甲、乙、丙三個(gè)口袋，每人每次可做“石頭、剪刀、布”， 相當(dāng)于例1中每個(gè)口袋都放3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球。

例3.經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，當(dāng)有三輛汽車經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口時(shí)，求下列事件的概率：

（1）三輛車全部繼續(xù)直行； （2）兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)； （3）至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)。

分析：這個(gè)問(wèn)題中的三輛汽車相當(dāng)于例1中的甲、乙、丙三個(gè)口袋，每輛汽車都有直行，左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)3種可能，相當(dāng)于例1中每個(gè)口袋都放3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球。

例4.在課外活動(dòng)時(shí)間，小王、小麗、小華做“互相踢踺子”游戲，踺子從一人傳到另一人就記為踢一次。

⑴若從小麗開(kāi)始，經(jīng)過(guò)兩次踢踺后，踺子踢到小華處的概率是多少？（用樹(shù)狀圖說(shuō)明）

⑵若經(jīng)過(guò)三次踢踺后，踺子踢到小王處的可能性最小，應(yīng)確定從誰(shuí)開(kāi)始踢，并說(shuō)明理由。

分析：這個(gè)問(wèn)題中的小王、小麗、小華3人，相當(dāng)于例1中的甲、乙、丙三個(gè)口袋，每個(gè)人都有把踺子踢到另外兩個(gè)人的可能，相當(dāng)于例1中每個(gè)口袋都放2個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球。對(duì)于第⑵小題，要進(jìn)行分類討論。

在“概率”的復(fù)習(xí)課中設(shè)計(jì)以上四個(gè)例子，說(shuō)明若在一個(gè)問(wèn)題中存在著幾個(gè)相互獨(dú)立的條件，在每個(gè)條件中都有幾個(gè)不同的元素，在這些獨(dú)立條件中各隨機(jī)抽取一個(gè)元素，求組成這些元素符合結(jié)論的概率，用樹(shù)形圖解決比較方便。在解題后通過(guò)反思和歸納還發(fā)現(xiàn)其實(shí)這四個(gè)例子可以歸一成一題， 這一過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生感悟“多題歸一”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從中提煉數(shù)學(xué)思想方法，就能“以不變應(yīng)萬(wàn)變“，使學(xué)生的解題能力得到真正的提升，這也有助于復(fù)習(xí)效率的提高。

三、緊扣考綱，突出重點(diǎn)

問(wèn)題變式要圍繞教材重點(diǎn)、難點(diǎn)展開(kāi)，防止脫離中心，主次不分，要與“主旋律”和諧一致。圍繞重點(diǎn)進(jìn)行變式教學(xué)，可以避免平均使用力量，做到脈絡(luò)分明，達(dá)到帶動(dòng)全局的預(yù)期目標(biāo)。所選范例必須具有典型性：一要注意知識(shí)之間的橫向聯(lián)系；二要具有延伸性，可進(jìn)行一題多變；三要注意思維的創(chuàng)造性和深刻性。

例如在“三角形”單元復(fù)習(xí)課中，三角形全等證明是一個(gè)重點(diǎn)，可以從下面的問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行變式教學(xué)。已知：如圖，C為線段AB上的一點(diǎn)?！鰽CM、△CBN是等邊三角邊。求證：AN=BM。

大多數(shù)學(xué)生都能完成這道題的證明，但大多數(shù)學(xué)生完成了本題的證明后，就不再深入地思考還能得到其他別的結(jié)論。如果在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：“根據(jù)現(xiàn)有圖形，你還可證哪些三角形是全等的？試寫(xiě)出證明過(guò)程。”這樣，原命題就改變成為一道開(kāi)放性問(wèn)題.經(jīng)過(guò)努力，多數(shù)學(xué)生還是能夠證得△ACF≌△BCG。在完成了這道開(kāi)放性探索性問(wèn)題后，學(xué)生既鍛煉了思維，又有了體驗(yàn)成功的愉悅感受。

四、主動(dòng)參與，體驗(yàn)成功

問(wèn)題變式教學(xué)中，要讓學(xué)生主動(dòng)探索，教師不可包辦代替，在教師作出示范性變式時(shí)由學(xué)生尋求結(jié)論，不僅如此，教師還要留下“空白”，留下思維的空間與時(shí)間，讓學(xué)生自我嘗試變式，并通過(guò)學(xué)生之間的合作討論，真正突出學(xué)生的主體地位。例如在復(fù)習(xí)“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)時(shí)，為了了解學(xué)生知識(shí)掌握情況，我試著讓學(xué)生自己編題進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)，效果明顯。問(wèn)題：圍繞n邊形內(nèi)角和為180€？n-2），請(qǐng)每位同學(xué)自編自解三個(gè)習(xí)題。同學(xué)們積極踴躍得到如下許多習(xí)題。

編一：求十二邊形的內(nèi)角和？

編二：求十邊形的外角和？

編三：已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080€埃蠖啾咝偽呤？

編四：已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1000€埃蠖啾咝偽呤？無(wú)解）。

編五：已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，求這個(gè)多邊形邊數(shù)。

編題活動(dòng)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使得課堂具有濃厚的研究氛圍，學(xué)生自編題型覆蓋本節(jié)課所有知識(shí)點(diǎn)，還能夠引發(fā)出耐人尋味的新問(wèn)題。

我們都知道：數(shù)學(xué)的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”。教師適時(shí)適度地實(shí)施變式教學(xué)，能夠給學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁，比較自然地引導(dǎo)學(xué)生從已知水平向未知水平過(guò)渡。有效的“變式”教學(xué)，能夠避免題海戰(zhàn)術(shù)的弊端，減少學(xué)生低水平的重復(fù)練習(xí)，從而有可能達(dá)到數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)輕負(fù)高質(zhì)的理想效果，并且能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性和靈活性。當(dāng)然，對(duì)概念、公式、定理的教學(xué)，特別是解題教學(xué)，實(shí)施變式教學(xué)效果顯著，但對(duì)原始概念和數(shù)學(xué)公理的教學(xué)不宜采用。并且變式教學(xué)在開(kāi)始實(shí)施時(shí)會(huì)有一些困難，要在反復(fù)理解和運(yùn)用中逐漸內(nèi)化形成，絕不是一朝一夕可以完成的，教師需要循序漸進(jìn)地推進(jìn)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯 曾 卉）