新課標(biāo)三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

廣東省惠州商貿(mào)旅游職業(yè)技術(shù)學(xué)校 崔志強(qiáng)

三角函數(shù)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，它蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想。靈活地借助數(shù)學(xué)思想解題，往往可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度。本文試圖通過實(shí)例介紹三角函數(shù)中蘊(yùn)涵的幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法。

一、函數(shù)思想

英國數(shù)學(xué)家克萊因提出了一個(gè)重要的思想——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，他認(rèn)為：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在他周圍，進(jìn)行充分地綜合。”而函數(shù)思想是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程始終的重要思想之一，因此作為初等函數(shù)中的超越函數(shù)——三角函數(shù)，這種思想體現(xiàn)得更明顯。

如例1：

例1已知且求的值。

解析：設(shè)方程求解；方法二利用萬能公式，

由①得f（x）=2a

由②得f（2y）=-2a

∵f(μ)在區(qū)間上時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)也是奇函數(shù)

∵f（x）=-f（2y）=f（-2y）

又∵x=-2y,即x+2y=0

∴cos（x+2y）=1

評(píng)析：把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系，把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對(duì)函數(shù)相應(yīng)問題的解決，達(dá)到解決變量之間具體問題的目的。

二、方程的思想

方程看作是函數(shù)值為零的函數(shù)的特例，方程本身就提供了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。而解答有關(guān)三角函數(shù)問題時(shí)，可以利用方程與函數(shù)這種“與生俱來”的聯(lián)系進(jìn)行解題，往往能取到意想不到的效果。如例2：

例2. 已知sinθ+cosθ=，θ∈則

所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞|cosθ|，

將sinθ，cosθ看作是方程的兩根。

所以sinθ

從而tan應(yīng)填

（方法二）設(shè)

由

得

解得x=2

所以

評(píng)析：方法一能利用sinθ+cosθ構(gòu)造構(gòu)造方程求解。

三、數(shù)形結(jié)合的思想

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是進(jìn)幾年來高考考試的熱點(diǎn)，因此在解三角函數(shù)相關(guān)題目時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，以達(dá)到“以形助數(shù)”手段和“以數(shù)助形”的解題目的，提高解題效率。

例3設(shè)關(guān)于θ的方程在區(qū)間(0，π)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根α、β，求：

（1）實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）α+β的值。

解析：若將原方程化為，那么原問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)三角函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍與α+β的值。

解析：（1）原方程化為，作出函數(shù)的圖像，由圖可知，方程在(0，2π)內(nèi)有相異實(shí)根α、β的充要條件是：解得

（2）由圖知，當(dāng)即時(shí)，直線與的圖像交于C、D兩點(diǎn)，它們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以

當(dāng)即時(shí)，直線與三角函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，即

綜上所述，

評(píng)析：用數(shù)形結(jié)合思想，可以把一個(gè)較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較簡單的問題。此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉的限制，而從圖像中可以看出時(shí)，方程只有一個(gè)解。

四、化歸思想

化歸思想在三角函數(shù)中應(yīng)用非常普遍，主要體現(xiàn)在：①化多角的形式為單角的形式；②化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱；③化未知角為已知角；④化高次為低次；⑤化特殊為一般。

例4已知定義求f(x)的解析式，以及它的最小正周期和最大值。

解析：∵

所以，所求函數(shù)的最小正周期為2π，最大值為2。

評(píng)析：由例5可以看到，通過三角變換，把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=a(sinωx+Φ)的函數(shù)，從而使問題得到簡化，這個(gè)過程中蘊(yùn)涵了化歸思想。

五、分類討論的思想

分類討論就是當(dāng)所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答，即是“化整為零”，各個(gè)擊破，再“化零為整”的策略。

例6 若Δ A B C的三內(nèi)角滿足問此三角形是否可能為直角三角形？

解析：假設(shè)ΔABC可以為直角三角形

（1）若B=90°，則A=90°-C代入①中，得

∴cos2C=1+sinC

1-sin2C=1+sinC

∴sinC=-1這是不可能的。

∴B≠90°

（2）同理得C≠90°

（3）若A=90°，則①式右邊①式左邊=sinA=sin90°=1

所以此三角形為可直角三角形，且此時(shí)A=90°

六、換元思想

在三角函數(shù)問題中，通常引入變量，把問題轉(zhuǎn)化成對(duì)新變量的討論。這樣通過轉(zhuǎn)化原問題的結(jié)構(gòu)，可以簡化解題過程。如例7：

評(píng)析：通過換元把三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行討論，這樣可以避開三角函數(shù)解題，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的。

例7 若的取值范圍是_____

七、類比聯(lián)想的思想

例8 已知λ為非零常數(shù)，x∈R,且f(x+λ)=問f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請說明理由。

分析，由于探索的是周期函數(shù)問題，容易聯(lián)想到三角函數(shù)，又f(x+λ)=的結(jié)構(gòu)形式可與進(jìn)行類比，故可把tanx看成是f（x）的一個(gè)原型實(shí)例，且題中的λ相當(dāng)于實(shí)例中的由于周期函數(shù)tanx的周期T=故可猜想f(x)也為周期函數(shù)，且周期為4λ。

所以f(x)是周期函數(shù)，且4λ是它的一個(gè)周期。