圓截面平行雙導體傳輸線的電感

焦重慶，李順杰

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206)

0 引言

傳輸線理論是聯(lián)系電路理論和電磁場理論的一個重要紐帶。傳輸線的分布參數(shù)(單位長電感、電容、電阻、電導)是建立傳輸線模型所需的基本參數(shù)。電磁場理論在推導傳輸線的分布參數(shù)方面發(fā)揮著基礎性作用。

一對平行的圓截面導線所組成的傳輸線是雙導體傳輸線的經典例子。由于在導線內部和兩根導線之間的區(qū)域均有磁力線穿過，因此單位長度電感包括了內電感和外電感兩部分。高頻時，由于趨膚效應，電流幾乎都分布在導線表面很薄的一層區(qū)域內，磁力線幾乎都被排出導線，因此內電感可以忽略。在低頻時，電流幾乎在導線內均勻分布。此時，如果兩根導線之間的間距遠大于每根導線的半徑，則由于外電感遠大于內電感，也可以忽略內電感。然而，如果兩根導線之間的間距很近，內電感相對外電感的比重上升，其影響或許不能忽視。

對于內電感的計算，“電磁場”課程上一般講解了兩種結構:一是無限長的單根圓截面直導線，二是同軸電纜[1-3]。針對前者，得出了單位長度內電感為μ0/8π的結論(這里假設導線的磁導率為真空磁導率μ0)。當計算如圖1所示的雙導體傳輸線的電感時。一般將其看成兩根無限長的單根圓截面直導線的內電感的和，即2×μ0/8π。然而，這樣處理實際上忽略了兩根導線之間的相互影響。圖1中導線2產生的磁力線也會從導線1內部穿過，反之亦然。這部分磁力線對內電感也有貢獻。

本文的目的是推導內電感的精確表達式。為了簡化問題的復雜性，本文假設電流在導線內部是均勻分布的。因此，本文的推導是在靜態(tài)場近似下得出的，其結論的適用范圍局限在頻率較低、趨膚效應可以忽略的情況。本文的推導可以作為“電磁場”課程內電感教學的一個擴展性的例題。

圖1 圓截面平行雙導體傳輸線示意圖

1 磁場能量與電感

磁場能量Wm的計算有多種方法[1-4]。第一種是能量密度法式中，wm為磁場能量密度，V為磁場分布的所有空間。該方法需要先求磁場分布。

第二種方法是磁位—電流法，即

式中，A為矢量磁位，J為傳導電流密度，V為電流分布的所有區(qū)域。

第三種方法就是通過磁鏈或電感與電流來表示磁場能量:

式中，ψ為磁鏈，L為電感，I為電流。

在本文中，方法三被“逆向”應用，即先通過方法二得出磁場能量，進而由磁場能量來得出電感。

2 理論模型

如圖2所示，兩根圓形橫截面的平行導線，水平放置，半徑分別為R1和R2，兩根導線的中軸線之間的距離為2a。直角坐標系的原點O位于兩根導線圓心連線的中點，其x軸水平向右，y軸豎直向上，z軸垂直紙面向外。導線1和2均帶電流I，電流方向分別為-z和z方向。導線1內場點P到導線2中心線的距離記為ρp，到導線1的中心線的距離記為ρ1。導線2內場點Q到導線1中心線距離記為ρq，到導線2的中心線的距離記為ρ2。

圖2 平行雙導體傳輸線的橫截面及坐標系示意圖

3 推導過程

3.1 矢量磁位的推導

假設導線為無限長，因此矢量磁位A在空間上只與x，y坐標有關，與z坐標無關，且方向沿z軸，即有

令矢量磁位的參考點為坐標原點，即Az(0，0)=0。

其中，等式右邊的積分面積SP指由兩條直線(分別過點P和坐標原點O，且沿z軸方向)為邊界的帶狀區(qū)域在單位長度上的面積。

記導線1中的電流產生的磁場為B1，則

上式中，區(qū)間[R1，a]上的積分對應導線外部區(qū)域，區(qū)間[ρ1，R1]上的積分對應導線內部區(qū)域。記導線2中的電流產生的磁場為B2，則

那么，由式(4)式(5)和式(6)可得

同理可得，導線2內場點Q處的矢量磁位為

3.2 磁場能量的推導

該傳輸線單位長度的空間上存儲的磁場能量可表示為

式中，S1指導線1的橫截面，S2指導線2的橫截面。對上式的第一項進行展開

考慮到積分恒等式[5]:

式(10)可簡化為

同理可得

由式(9)、式(12)和式(13)可得

3.3 單位長度電感

由式(2)和式(14)可得

可將上式分解為內電感Li和外電感Le兩部分，即 L=Li+Le。

外電感的計算過程如下。由于外磁鏈全部從導線外部區(qū)域，即-(a－R1)＜x＜(a－R2)區(qū)域上穿過，此區(qū)域上的磁感應強度

因此，外磁鏈

故外電感:

由式(15)式(17)有

正如前文所述，如果我們簡單地用單根圓直導線的單位長度電感為μ0/(8π)來計算，總的單位長度內自感可為2×μ0/(8π)=μ0/(4π)，這種方式得出的內電感與式(18)給出的內電感的誤差為

實際若滿足a＞＞R1，R2，該誤差通?？珊雎?。

4 結語

針對平行圓形橫截面導線組成的傳輸線，本文推導了其矢量磁位的空間分布表達式，進而推導了單位長度磁場能量的表達式，并由此得出了單位長度電感(含內電感和外電感)的表達式。結果表明，內電感并不直接等于單根導線內電感的兩倍，而是比之略大。當然，這種差別在導線間距遠大于導線半徑的情況下是可以忽略的。

[1]倪光正.工程電磁場原理[M].北京:高等教育出版社，2009.

[2]馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論[M].北京:高等教育出版社，2000.

[3]王澤忠，全玉生，盧斌先.工程電磁場[M].北京:清華大學出版社，2011.

[4]雷銀照.電磁場[M].北京:高等教育出版社，2008.

[5]金玉明.實用積分表[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2006.