卷積性質(zhì)綜合訓(xùn)練的探討

何其銳，唐普英，吳援明，蔣亞東

(電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院，四川成都610054)

0 引言

“信號與系統(tǒng)”是一門知識覆蓋面大的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了電子、機(jī)械、金融、生物、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)等多種專業(yè)。因此，在課堂教學(xué)中，面對各專業(yè)研究不同的物理對象，需要把具體信號抽象為一維的連續(xù)時(shí)間信號或離散時(shí)間信號，把具體的系統(tǒng)抽象為微分方程或差分方程，從而對信號與系統(tǒng)的知識體系進(jìn)行講述。同時(shí)，由于“信號與系統(tǒng)”是專業(yè)基礎(chǔ)課程，開課時(shí)間較早，在本校是大二第一學(xué)期開課，此時(shí)，學(xué)生對相關(guān)專業(yè)知識接觸較少。因此，在課堂教學(xué)中，會有學(xué)生提出疑問:“這門課程有什么用?能用在哪些方面?該如何運(yùn)用這門課程的知識?”面對學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，讓學(xué)生能把課程中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)公式與實(shí)際的應(yīng)用緊密結(jié)合起來，各學(xué)校在“信號與系統(tǒng)”這門課程都做了大量的實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革探索[1-4]，利用 Matlab、LabVIEW 等軟件開設(shè)了許多綜合實(shí)驗(yàn)[5-7]。

1 卷積性質(zhì)的綜合訓(xùn)練題目選擇

本校“信號與系統(tǒng)”課程選用文獻(xiàn)[8]作為教材，在講授完第二章“線性時(shí)不變系統(tǒng)”的內(nèi)容后，學(xué)生對卷積的知識有了初步的掌握。因此，選擇的綜合訓(xùn)練的題目為“回音信號的產(chǎn)生和消除”。要求:

(1)利用聲卡錄取音頻信號;

(2)利用Matlab將該音頻信號產(chǎn)生帶回音的音頻信號;

(3)消除帶回音的音頻信號中的回音。

2 綜合訓(xùn)練題目分析

2.1 回音信號處理訓(xùn)練實(shí)例

回音信號處理綜合訓(xùn)練系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 回音信號的產(chǎn)生和消除系統(tǒng)框圖

聲卡錄取的音頻信號為x[n]，通過系統(tǒng)S1產(chǎn)生帶回音的音頻信號為y[n]，y[n]通過系統(tǒng)S2消除回音后的信號為w[n]。系統(tǒng)S1單位沖激響應(yīng)函數(shù)為h1[n]，系統(tǒng) S2單位沖激響應(yīng)函數(shù)為 h2[n]。系統(tǒng)S1要具有可逆性，才能設(shè)計(jì)出逆系統(tǒng)S2，因此系統(tǒng)S1與系統(tǒng)S2級聯(lián)后構(gòu)成的系統(tǒng)應(yīng)為恒等系統(tǒng)，滿足

即系統(tǒng)S2的輸出信號w[n]與系統(tǒng)S1的輸入信號 x[n]相等。

根據(jù)題目要求可知，若要產(chǎn)生m次回音信號，則有

其中，m 為正整數(shù)，0＜αm＜… ＜α0=1，αk為實(shí)數(shù)，0=N0＜… ＜Nm，Nk為正整數(shù)。αk為回音衰減系數(shù)，Nk為回音延遲時(shí)間。

調(diào)整系數(shù)m、ak和Nk則可以調(diào)整回音產(chǎn)生的次數(shù)、各次回音幅度大小及各次回音間隔時(shí)間。

2.2 系統(tǒng) S1

系統(tǒng)S1的差分方程為

在Matlab中，調(diào)用conv函數(shù)或者直接按式(3)編程對x[n]數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以產(chǎn)生帶回音的音頻信號 y[n]。

2.3 系統(tǒng) S2

系統(tǒng)S2的差分方程為

當(dāng) y[n]=δ[n]時(shí)，根據(jù)上式，系統(tǒng) S2 的單位沖激響應(yīng)函數(shù)h2[n]的方程為

2.4 整個(gè)系統(tǒng)

整個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)函數(shù)h[n]為

根據(jù)式(5)則有

顯然，比較式(1)與式(7)，驗(yàn)證了式(4)的差分方程是S2系統(tǒng)方程。在Matlab中，可以設(shè)置初始條件 w[n]=0，n＜0，根據(jù)式(4)進(jìn)行編程就可以得到消除回音的音頻信號w[n]。

3 學(xué)生設(shè)計(jì)中遇到的問題

3.1 對于要求(1)的問題

利用聲卡進(jìn)行數(shù)據(jù)采集的時(shí)候，會遇到采樣頻率的設(shè)置問題。在采樣頻率設(shè)置過低的情況下，會出現(xiàn)音頻質(zhì)量較差的狀況;設(shè)置較高采樣頻率后，音頻質(zhì)量才會較好。由于有這個(gè)采樣頻率設(shè)置的經(jīng)驗(yàn)，在第7章學(xué)習(xí)采樣定理的時(shí)候，對采樣頻率大于2倍信號帶寬、實(shí)際工程使用中為獲得較好效果要求采樣頻率大于8倍信號帶寬知識的理解，學(xué)生掌握起來就比較輕松容易。

3.2 對于要求(2)的問題

學(xué)生大多都可以設(shè)計(jì)出式(2)所示h1[n]的單位沖激響應(yīng)函數(shù)，通過Matlab調(diào)用conv函數(shù)或直接編程，產(chǎn)生帶回音的音頻信號，對所學(xué)卷積知識能獲得良好的感性認(rèn)識。在與學(xué)生討論時(shí)，可以讓學(xué)生對用conv函數(shù)計(jì)算的結(jié)果和直接編程計(jì)算的結(jié)果做比較，了解conv函數(shù)運(yùn)算過程是如何實(shí)現(xiàn)的，并且對直接編程方法的掌握也有利于學(xué)生在以后利用嵌入式系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字信號處理的編程。

3.3 對于要求(3)的問題

部分學(xué)生會通過各種方式查找相關(guān)知識，利用Matlab的filter函數(shù)來消除回音。filter函數(shù)的使用，是根據(jù)Z變換的理論實(shí)現(xiàn)的。但在做這個(gè)題目時(shí)，尚未講授Z變換的相關(guān)知識，因此學(xué)生對用filter函數(shù)消除回音是知其然而不知其所以然。

對式(3)做Z變換有

3.4 回音處理系統(tǒng)的驗(yàn)證

對應(yīng)S1系統(tǒng)函數(shù)

對于系統(tǒng)S2，因輸入信號為y[n]，輸出信號為w[n]，因此 S2 系統(tǒng)函數(shù)

顯然有

再次對系統(tǒng)S1與系統(tǒng)S2級聯(lián)為恒等系統(tǒng)做了驗(yàn)證，filter函數(shù)的調(diào)用是根據(jù)式(10)的系數(shù)來對信號進(jìn)行濾波處理的。

在Z變換章節(jié)授課時(shí)，將此題目所涉及的這些內(nèi)容再與學(xué)生講解時(shí)，學(xué)生會有一種恍然大悟的感覺，這對于學(xué)生掌握Z變換的內(nèi)容，了解數(shù)字濾波器的工作原理都有很好的幫助。

對于要求(3)，有的學(xué)生設(shè)計(jì)系統(tǒng)S2的差分方程為

根據(jù)上式對回音信號處理，學(xué)生會得到對衰減系數(shù)小及回聲次數(shù)多的信號濾波效果較好、而當(dāng)衰減系數(shù)大及回聲次數(shù)少時(shí)濾波效果相當(dāng)差的結(jié)論。在與學(xué)生討論時(shí)可以指出，要從系統(tǒng)可逆性來驗(yàn)證他們的解決方案是否正確。這樣他們會對自己的解決方案提出改進(jìn)，得到合理的解決方案，并且知道了對設(shè)計(jì)的系統(tǒng)該如何去驗(yàn)證是否正確的方法。

4 結(jié)語

這個(gè)綜合訓(xùn)練將采樣、卷積、濾波器設(shè)計(jì)、恒等系統(tǒng)和系統(tǒng)可逆性等相關(guān)知識有機(jī)的結(jié)合在一起，不僅有利于學(xué)生對卷積、恒等系統(tǒng)和系統(tǒng)可逆性等已學(xué)過的知識加深了理解，對采樣、濾波器設(shè)計(jì)等知識也有了一個(gè)先期從實(shí)踐角度的感性認(rèn)識，在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對這些知識的理論學(xué)習(xí)掌握就會輕松容易。

從學(xué)生提交的綜合訓(xùn)練報(bào)告中可以看到，學(xué)生的自學(xué)能力是很有潛力的，即使Matlab中的函數(shù)使用尚未講授，他們也能通過各種途徑自學(xué)來解決綜合訓(xùn)練中需要用到的Matlab編程問題。

綜合訓(xùn)練的練習(xí)，就是讓學(xué)生進(jìn)行理論結(jié)合實(shí)踐的學(xué)習(xí)活動。在完成綜合訓(xùn)練題目的過程中，學(xué)生既把已學(xué)的理論應(yīng)用到實(shí)際中去，也對一些未學(xué)的知識有了初步感性認(rèn)識，對后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，對啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性思維起到積極的幫助作用。

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