關(guān)于集總參數(shù)電路抽象原則的一點思考

姚纓英，李海紅

(浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027)

0 引言

國內(nèi)大多數(shù)電路教材在給出集總(中)參數(shù)電路定義時均采用類似于“電路的各向尺寸遠(yuǎn)小于電路周圍電磁波的波長時，電路參數(shù)的分布性對電路性能的影響并不明顯，從而可以近似地用集中的電阻、電容和電感作為電路的參數(shù)，即認(rèn)為能量損耗、電場儲能和磁場儲能這三種過程是分別集中在電阻元件、電容元件和電感元件中進行的。由這些理想的集中參數(shù)元件構(gòu)成的電路稱為集中參數(shù)電路”或者“端鈕上的電壓、電流為確定值”的說法[1-5]。

因為這些描述不夠具體，作為能否采用集總參數(shù)電路模型抽象的依據(jù)，常常有學(xué)生提出疑問或異議:電磁場中的變量和怎樣轉(zhuǎn)換成為電路中的變量u和i?l?λ是區(qū)分集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的唯一依據(jù)?教材［6］雖然已附加了和作為集總參數(shù)電路抽象的限制條件，其由來又如何?另外，教材中基爾霍夫定律是直接給出的，但大多數(shù)教材都補充解釋說KCL是電流連續(xù)性的表現(xiàn)(或稱電荷守恒)，KVL是電壓與路徑無關(guān)這一性質(zhì)的反映(或稱能量守恒)。那么，能否從時變場的麥克斯韋方程推導(dǎo)出基爾霍夫定律?雖有一些教材在恒定電流場中對此過程的推導(dǎo)有過描述，但因為是靜態(tài)場所以難免牽強[7]。再者，傳輸線理論本質(zhì)上是基于電報方程的分布參數(shù)電路理論，即所謂的電磁場方程的“路”理論。采用了對一維空間尺度離散化的方法，仍然用電路的參數(shù)和模型來描述。那么分布參數(shù)電路與集總參數(shù)電路的關(guān)系又是怎樣呢?能否按電磁場理論推出這兩種路問題的數(shù)學(xué)模型?

1 集總參數(shù)電路抽象原則

1.1 集總參數(shù)系統(tǒng)的基本假設(shè)

眾所周知，麥克斯韋方程組是關(guān)于電磁現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)描述，應(yīng)用范圍很廣。當(dāng)客觀電磁現(xiàn)象與過程被約束在一維的“電流通路”之中時，通過理想化電路模型的構(gòu)造，即可簡明有效地應(yīng)用基爾霍夫定律解決客觀電磁現(xiàn)象與過程的分析。那么，我們必須給出進行該簡化的依據(jù)，筆者認(rèn)為，這就是集總電路抽象原則。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]陳述的集總事物原則，本文定義集總參數(shù)系統(tǒng)基于下述三個基本假設(shè):

(1)系統(tǒng)中每個元件的凈增電荷總是零;

(2)系統(tǒng)中的元件之間沒有磁耦合(磁耦合可發(fā)生在元件內(nèi)部);

(3)電效應(yīng)在瞬間貫穿整個系統(tǒng)。

1.2 集總參數(shù)元件的抽象原則

集總參數(shù)系統(tǒng)中的元件稱為集總參數(shù)元件?？梢?，集總系統(tǒng)是由集總元件互連組成的。并且在集總系統(tǒng)內(nèi)集總元件之間的電磁場相互無影響，系統(tǒng)與外部也無電磁交換，是電磁能量獨立的系統(tǒng)。凡不滿足上述假設(shè)條件的系統(tǒng)稱為分布參數(shù)系統(tǒng)，需要用電磁場理論進行分析。

將上述假設(shè)具體化，則集總參數(shù)元件的抽象約束原則是:

(2)在所有時刻，元件與外部任何閉環(huán)交鏈的磁鏈的變化率為零，即ψ/t=0;

(3)感興趣的時間范圍必須遠(yuǎn)長于電磁波在元件內(nèi)部傳輸?shù)臅r間延遲，即系統(tǒng)最大尺度遠(yuǎn)小于系統(tǒng)信號的最大波長(l?λ);

滿足前兩個約束之后，元件除了通過其端鈕上的電壓和電流外，相互之間不發(fā)生關(guān)系。同時保證流入端鈕的電流唯一并流出端鈕，并確保端鈕上定義的電壓唯一。約束(3)是具有空間尺度的器件質(zhì)點化的前提條件。事實上，滿足上述兩個條件的電磁場是似穩(wěn)場，而似穩(wěn)場的宏觀判據(jù)是約束(3)。

1.3 電路抽象示例

如果定義一個元件，如圖1所示。

圖1 電路抽象示例

該元件有兩個端鈕a和b，在每個端鈕上有流入的電流ia和ib，元件兩端電位(電勢)分別為φa和φb。并假設(shè)s為包圍該元件的閉合曲面，端鈕導(dǎo)線的截面積分別為sa和sb。

根據(jù)約束的假設(shè)(1)，由麥克斯韋方程可知全電流(包含傳導(dǎo)電流和位移電流)是連續(xù)的，也就有式中為在導(dǎo)體中流動的傳導(dǎo)電流為變化的電場所對應(yīng)的位移電流。將麥克斯韋方程組中的電高斯定理q代入全電流連續(xù)方程，則有今由約束假設(shè)(1)可得，/t=0。即意味著0，故電流連續(xù)性歸結(jié)為

從而有 ia=-ib。而表明隨時間變化的磁場是磁準(zhǔn)靜態(tài)場。這樣才可以用dq/dt=i來定義傳導(dǎo)電流。

從上面兩個假設(shè)不難看出，它們都隱含了一個條件，那就是準(zhǔn)靜態(tài)場。所謂的準(zhǔn)靜態(tài)場是滿足似穩(wěn)條件l?λ(或t=l/c?λ/c)的動態(tài)電磁場。含義很明確，就是脫離了場源的電磁波在該元件中的傳播時間t遠(yuǎn)小于該信號對應(yīng)的變化周期T。這意味著，不必考慮信號傳播的電磁場滯后效應(yīng)，所以元件上各處的電磁現(xiàn)象是同時變化的，從而可將其作為一個空間上的質(zhì)點看待，將電磁以及材料特性都用相應(yīng)的特征參數(shù)量予以表征。

假設(shè)圖1所示的橢圓圈內(nèi)物體是一段長為l具有均勻截面積S的導(dǎo)體，如圖2(a)所示。其中電磁場滿足似穩(wěn)場條件，導(dǎo)電材料的電導(dǎo)率為γ，可知有

關(guān)系式uab=Ria就是傳導(dǎo)電流在導(dǎo)體中電磁表征的數(shù)學(xué)陳述(也稱為數(shù)學(xué)模型)。關(guān)系式被稱為特性方程，對應(yīng)的曲線即稱為特性曲線，用電路符號R來表示，如圖2(b)。

上述過程就是理想電阻元件的抽象過程。依此原理，即可類比地定義所需的模型元件。

圖2 導(dǎo)體及其電路抽象

2 基爾霍夫定律的推演

依據(jù)上述集總參數(shù)電路系統(tǒng)的假設(shè)，在按照集總電路抽象原則得到的電路中0，因此，很容易仿照恒定場推導(dǎo)出沿任意路徑有，此時電場為保守場，做功與路徑無關(guān)，也就是電壓具有單值性。

3 分布參數(shù)電路模型的限制條件

3.1 分布參數(shù)電路模型

現(xiàn)在，我們以圖3所示的長直同軸電纜為例，來分析集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的推導(dǎo)。這里的內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體，半徑分別為a和b，導(dǎo)體間充有理想介質(zhì)ε和μ。麥克斯韋方程為

圖3 長直同軸電纜及其等效電路模型

在滿足集總電路抽象條件時，有dq/dt=0和dΨ/dt=0，則此時的電場與磁場均為準(zhǔn)靜態(tài)場，相互之間沒有電磁耦合，即電場的方程為與靜電場方程類似，其解為

內(nèi)導(dǎo)體表面每單位長度電荷為

則單位長電容為C0=2πε/In(b/a)，磁場的方程為

與靜磁場方程類似，其解為

則單位長電感為L0=μIn(b/a)/2π。

此時，坡印亭矢量和穿過同軸電纜軸向任意橫截面中的能流總和分別為

綜上所述，單位長同軸電纜即可抽象為一個電容和一個電感。如果沿導(dǎo)線可忽略電磁波的推遲效應(yīng)，則可將整個同軸電纜用圖3(a)所示電路表示。

3.2 非理想導(dǎo)體電路

如果內(nèi)外導(dǎo)體間的介質(zhì)有損耗，則可推得對應(yīng)于Us的電流場

則單位長漏電導(dǎo)為

雖然我們推出了分別表示各單一電磁現(xiàn)象的集總電路元件，如C0代表內(nèi)外導(dǎo)體間的電場儲能，L0表示磁場儲能，R0表示導(dǎo)體中的損耗，G0表示媒質(zhì)損耗，但是并不能精確反映電路的結(jié)構(gòu)，特別是各器件互連及與電源和負(fù)載之間的關(guān)系。

3.3 集總參數(shù)電路與電磁場分析的區(qū)別

下面我們通過對同一問題的分布參數(shù)電路建模過程來說明其間的區(qū)別。

從電磁場理論中，我們知道任何能建立靜態(tài)場的導(dǎo)波系統(tǒng)必然能夠維持TEM波。沿均勻傳輸線(z方向)傳播的平面波則是TEM波，其電場和磁場具有下述形式:

式中，ψ0表示沿z方向每單位長度中穿過的磁鏈，L0為單位長電感。由又因0，所以，將其代入上述積分式，可得

式中，C0為單位長度的電容。式(13)和式(15)就是無損耗傳輸線的基本方程?？梢姡妷弘娏餮鼐€是變化的。

如果電介質(zhì)有損耗，則電磁場方程除了考慮位移電流密度外，還應(yīng)考慮傳導(dǎo)電流密度。式(13)應(yīng)修改為

若導(dǎo)線有損耗，式(2)應(yīng)修改為

這就是一般情況下分布參數(shù)電路的基本方程。

3.4 推廣而得的結(jié)論的局限性

事實上，上述推廣而得的結(jié)論是不嚴(yán)格的。因為導(dǎo)線若有損耗，則必然有Ez分量，系統(tǒng)中的電磁波不再是TEM波。不過由于電場的橫向分量遠(yuǎn)大于軸向分量，所以，式(16)和式(17)導(dǎo)得的結(jié)果和從電磁場方程組求得的解十分接近。

分布參數(shù)電路與集總參數(shù)電路的區(qū)分可以用是否具有電磁波的特征來簡單判別。但是，分布參數(shù)電路模型則是在滿足TEM波的特定情況下推得的。而TEM波在橫截面內(nèi)電場和磁場分布與相應(yīng)系統(tǒng)的靜態(tài)場分布相同，沿軸向的分布具有波動性。

4 結(jié)語

我們研究的電磁場理論與電路理論相互之間有著密切的聯(lián)系，這一點在集總電路抽象的過程中尤為突出。因此，我們在教學(xué)的過程中，特別是研究性大學(xué)電類系列課程教學(xué)的過程中，應(yīng)該把握適當(dāng)?shù)臅r機和方式強化其中的關(guān)聯(lián)，強化模型化過程中的條件與限制。

[1]江澤佳，電路原理[M]，北京，人民教育出版社，1979

[2]江緝光，劉秀成，電路原理(第二版)[M]，北京，清華大學(xué)出版社，2007

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