保角變換法計(jì)算兩共焦拋物板間等勢(shì)線和電場(chǎng)線

王 全

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 226007）

在解決復(fù)雜邊界形狀的電磁學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用分離變量法或格林函數(shù)法解拉普拉斯方程、泊松方程較為煩瑣，甚至無(wú)法解決；利用保角變換法能將復(fù)雜邊界問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單邊界問(wèn)題，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀，便于解決.例如文獻(xiàn)[1]用拋物柱坐標(biāo)系通過(guò)解拉普拉斯方程得到電勢(shì)分布函數(shù)，文獻(xiàn)[2]利用解析函數(shù)的性質(zhì)和柯西-黎曼條件，根據(jù)拉普拉斯方程直接推測(cè)得到等勢(shì)線方程，從而導(dǎo)出兩共焦拋物板間的電場(chǎng)分布.文獻(xiàn)[3]指出利用保角變換中的冪指數(shù)變換可將拋物線轉(zhuǎn)換成直線，但未能給出該問(wèn)題的解.本文通過(guò)冪指數(shù)變換，給出兩共焦拋物板間等勢(shì)線和電場(chǎng)線的解析解，并利用數(shù)學(xué)工具繪制出電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖，同時(shí)對(duì)保角變換法在電磁學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行討論.

1 兩共焦拋物線的變換

圖1為z平面的兩共焦拋物線，其共同的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可通過(guò)冪指數(shù)變換函數(shù)式（1），將z平面上的兩共焦拋物線變換成ω平面上的兩條直線，如圖2所示.

圖1 z平面上的兩共焦拋物線

圖2 ω平面上的兩條直線

在式（1）中，z＝x＋yi，ω＝u＋vi，所以

根據(jù)式（2），x＝u2-v2，y＝2uv，令v＝（其中c是大于零的某一常數(shù)），則

式（3）中消去u，可得

式（4）即為拋物線方程，在z平面上其焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取不同的c，在z平面上構(gòu)成共焦拋物線.根據(jù)變換函數(shù)式（1），共焦拋物線在ω平面上是的直線.

2 兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱間的等勢(shì)線

兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱的電勢(shì)與三維空間的z軸無(wú)關(guān)，因此其等勢(shì)面就轉(zhuǎn)化為二維平面的等勢(shì)線.根據(jù)保角變換，z坐標(biāo)系中的兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱表面變換成ω坐標(biāo)系中的兩無(wú)限大平面，z平面上的等勢(shì)線與ω平面上的等勢(shì)線互為變換.

兩無(wú)限大平行板之間的等勢(shì)線平行于板，在ω平面上即為的一系列直線，因此根據(jù)逆變換，在z平面上的等勢(shì)線方程為式（4）的共焦拋物線族，如圖3所示.該結(jié)果與文獻(xiàn)[1]、[2]結(jié)果通過(guò)坐標(biāo)互換后相同.

圖3 兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱間的等勢(shì)線

圖4 兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱間的電場(chǎng)線

3 兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱間的電場(chǎng)線

兩無(wú)限大平行板之間的電場(chǎng)線垂直于板，在ω平面上即為u＝d（d為某一常數(shù)），v的取值范圍為c1＜v＜c2的一系列線段，因此根據(jù)式（2），可得

式（5）中消去v，可得

式（6）即為兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱在z平面上的電場(chǎng)線所遵循的方程，表明其電場(chǎng)線也是拋物線的一部分（由于v有取值范圍），取不同的d，在z平面上構(gòu)成共焦拋物線族（焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖4所示.該結(jié)果與文獻(xiàn)[2]結(jié)果通過(guò)坐標(biāo)互換后相同.

4 討論

對(duì)兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱間的電勢(shì)和電場(chǎng)的研究可以發(fā)現(xiàn)：通過(guò)保角變換解決復(fù)雜邊界的電磁學(xué)問(wèn)題可化繁為簡(jiǎn)，形象直觀，就是在兩坐標(biāo)系之間建立某個(gè)映射，從而簡(jiǎn)化拉普拉斯方程、泊松方程的邊界條件，方便地獲得解析解，再通過(guò)逆變換得到原問(wèn)題的解.

在拉普拉斯方程和泊松方程中，φ是勢(shì)函數(shù)，而非矢量，所以利用保角變換處理問(wèn)題時(shí)，一般是ω平面上的勢(shì)函數(shù)通過(guò)逆變換得到z平面上的勢(shì)函數(shù).對(duì)于矢量逆變換要謹(jǐn)慎.例如在本文中，在ω坐標(biāo)系中兩無(wú)限大平行板之間的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小處處相等，如果通過(guò)逆變換，那么在z坐標(biāo)系中的兩長(zhǎng)直共焦拋物導(dǎo)體柱之間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也相等，顯然是錯(cuò)誤的.

總之，利用保角變化解決復(fù)雜電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，本質(zhì)上是在兩坐標(biāo)系之間建立點(diǎn)與點(diǎn)、線與線（例如本文中的電場(chǎng)線）之間的映射，而對(duì)于矢量的大小是不能映射的.

[1]朱國(guó)斌，陳鋼，陳夢(mèng)姣.用拋物柱坐標(biāo)求解兩共焦拋物板間的電勢(shì)和電場(chǎng)[J].大學(xué)物理，2011，30（11）：56-57.

[2]賈秀敏，蘇景順.再論兩共焦拋物導(dǎo)體柱板間的電場(chǎng)分布[J].大學(xué)物理，2013，32（12）：10-11.

[3]Schinzinger R，Laura P A A.Conformal Mapping：Methods and Application[M].New York：Dover Publications，INC，2003：38.