彈弓效應(yīng)原理簡(jiǎn)析

李品鈞

（嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

張三慧教授編著的教材《大學(xué)物理學(xué)》[1：104-106]（以下簡(jiǎn)稱《教材》）以例題的形式介紹了“彈弓效應(yīng)”這一物理學(xué)的應(yīng)用問題，文獻(xiàn)[2]對(duì)其進(jìn)行了更為深入細(xì)致的討論.以探測(cè)器因掠過土星而在日心系內(nèi)被加速的問題為例，在以上文獻(xiàn)中，均隱含了如下的兩個(gè)近似：（1）由于土星的質(zhì)量遠(yuǎn)大于探測(cè)器的質(zhì)量且兩者“碰撞”時(shí)間相對(duì)比較短，故在整個(gè)“彈弓效應(yīng)”過程（視為無接觸“碰撞”）中，土星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度）不變.（2）若以土星中心作為參考系（土心系），則探測(cè)器機(jī)械能守恒，于是探測(cè)器的入射速率和出射速率相等.由此看來，這應(yīng)是一個(gè)質(zhì)量懸殊的兩體問題，這類問題較為準(zhǔn)確的近似處理在文獻(xiàn)[3]中有詳細(xì)的討論.然而若基于以上兩條近似，完全可以利用探測(cè)器速度在土心系和日心系之間的變換來簡(jiǎn)潔直觀地說明“彈弓效應(yīng)”的加速原理.這樣做，有利于突出物理問題的過程，相反，若用兩體問題中的典型分析方法——?jiǎng)恿渴睾慵訖C(jī)械能守恒來處理，則弱化了整個(gè)加速過程由因到果的物理情景.另外，關(guān)于探測(cè)器的偏轉(zhuǎn)角與瞄準(zhǔn)距離之間的關(guān)系，也可以通過對(duì)照同為兩體問題的散射理論而得出.

1 “彈弓效應(yīng)”的加速原因

如圖1（a）所示，一探測(cè)器掠過土星，可視為與土星發(fā)生了無接觸的“碰撞”，《教材》正是用兩體碰撞理論對(duì)這一過程進(jìn)行分析，設(shè)置了一個(gè)特殊的過程，解得在日心系內(nèi)探測(cè)器在“碰撞”之后的速率比“碰撞”之前要大，即“碰撞”使探測(cè)器獲得了加速，是為“彈弓效應(yīng)”，也稱“引力推進(jìn)”.下面用速度變換理論來解釋該效應(yīng).

圖1 彈弓效應(yīng)原理

在土心系中探測(cè)器以vda的速度入射并掠過土星，然后以速度v′da出射，因機(jī)械能守恒，入射速率與出射速率應(yīng)該相等.即

設(shè)土星在日心系中的速度為vau，則探測(cè)器在日心系中的入射速度

同樣，在日心系中的出射速度

將上述兩個(gè)矢量關(guān)系式繪成矢量圖（見圖1（b）），顯然有

即在日心系中看來，探測(cè)器的出射速率比入射速率大.

由此可見，從速度在不同參考系內(nèi)的變換這一角度來看，“彈弓效應(yīng)”的實(shí)質(zhì)無非是通過行星對(duì)探測(cè)器的引力改變了探測(cè)器在該行星參考系中的運(yùn)動(dòng)方向，使得相對(duì)速度vda與牽連速度vau的方向在出射后比入射前更接近，從而增大探測(cè)器在日心系中的速率vdu.當(dāng)探測(cè)器的出射方向與土星運(yùn)動(dòng)方向相同時(shí)，探測(cè)器將獲得最大的出射速率

《教材》的原例中選擇日心系作為參考系，如圖2（a）所示，土星的速率vau＝9.6km／s，探測(cè)器以速率vdu＝10.4km／s逆向土星飛行，繞過土星后沿與原來相反的方向飛離.求此飛離速率.

將參考系變換到土心系，則太陽的速度vua＝-vau，探測(cè)器速度

由圖2（b），可得探測(cè)器的速率vda＝vdu＋vua＝（10.4＋9.6）m／s＝20.0m／s.

根據(jù)前文提到的“近似”，在土心系內(nèi)探測(cè)器將以同樣的速率出射且土星的速度不變.

2 彈弓效應(yīng)的加速條件

探測(cè)器與土星“相撞”之后方向發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，出射速度與入射速度之間的夾角為偏轉(zhuǎn)角.圖1（b）中的θ即為探測(cè)器在土心系中的偏轉(zhuǎn)角，而α為其在日心系中的偏轉(zhuǎn)角.如前所述，探測(cè)器的出射方向與行星運(yùn)動(dòng)方向越接近，出射速度越大.當(dāng)出射方向與行星運(yùn)動(dòng)方向完全相同時(shí)，出射速度最大（見圖3（a））.設(shè)此時(shí)兩參考系中的偏轉(zhuǎn)角分別為θ0和α0，則探測(cè)器實(shí)現(xiàn)加速的偏轉(zhuǎn)角在兩個(gè)參考系中的范圍分別是：0＜θ＜2θ0和0＜α＜2α0.超過這一范圍，則起到減速（引力制動(dòng)）的作用，如圖3（b）所示，很明顯＜vdu.由此可見，多數(shù)的偏轉(zhuǎn)角是小于90°的，且出射方向常與行星軌跡平行（由此獲得最大的出射速度）.卡西尼-惠更斯號(hào)探測(cè)器的飛行軌跡可以印證這一結(jié)論，見圖4（圖片來源于互聯(lián)網(wǎng)[4]）.

圖2 《教材》原例示意圖

圖3 出射速度與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系

圖4 卡西尼-惠更斯號(hào)探測(cè)器飛行軌跡

3 彈弓效應(yīng)與α粒子散射中的偏轉(zhuǎn)角對(duì)照分析

α粒子的散射角問題在很多普通物理類教材中都有涉及，在理論力學(xué)尤其原子物理學(xué)教材中更是一個(gè)必談內(nèi)容.巧合的是，在張三慧的這本《教材》中就將其作為例題，討論了瞄準(zhǔn)距離與散射角之間的關(guān)系[5：73-74].其實(shí)，彈弓效應(yīng)又何嘗不是一種散射？只不過與α粒子的散射相比較而言，前者為引力散射，后者為斥力散射，前者為匯聚散射，后者為發(fā)散散射（如圖5所示）.

α粒子散射中入射粒子與靶粒子之間的斥力為

《教材》中推導(dǎo)出的散射角公式為

圖5 引力偏轉(zhuǎn)與斥力偏轉(zhuǎn)

彈弓效應(yīng)中探測(cè)器與行星之間的引力為

在這兩類“散射”問題中，引力或斥力具備相同的形式（距離平方反比率），“散射角”（偏轉(zhuǎn)角）的計(jì)算方式完全相同.注意到，式（2）中的分母即為式（1）中的分子，現(xiàn)只需將其用式（3）中的分子替換，即得彈弓效應(yīng)中的偏轉(zhuǎn)角所滿足的等式

即

若將式（4）中的探測(cè)器質(zhì)量考慮為折合質(zhì)量，即

則可得到更為準(zhǔn)確的散射角公式與文獻(xiàn)[2]的結(jié)論相同.

4 普通尺度下的“彈弓效應(yīng)”

通過兩個(gè)質(zhì)量差距較大的物體之間的碰撞，實(shí)現(xiàn)小質(zhì)量物體在實(shí)驗(yàn)室參考系中得到加速的實(shí)例，在普通尺度上就有.如文獻(xiàn)[5]提到的一個(gè)有趣的課堂演示實(shí)驗(yàn)：將一個(gè)小皮球（也可以用乒乓球——筆者注）放在一個(gè)大皮球的上面，使之自由落下.當(dāng)它們落到地面上反彈時(shí)小球跳得比原來高許多倍（被加速彈出），往往會(huì)打到天花板上.這其實(shí)就是一個(gè)普通尺度上的彈弓效應(yīng)，其加速原理在該文獻(xiàn)上正是采用了速度變換的方式予以解釋的.

以上用速度變換的方式簡(jiǎn)潔直觀地解釋了彈弓效應(yīng)，將大尺度中的彈弓效應(yīng)、小尺度中的粒子散射和一般尺度的兩體問題聯(lián)系起來，相互關(guān)照印證，有利于學(xué)生理解廣泛的普通物理體系的兩體問題，而非將其視作零散的知識(shí)點(diǎn).

[1]張三慧.大學(xué)物理學(xué)：上冊(cè)[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社，2010：104-106.

[2]秦月婷.淺議彈弓效應(yīng)[J].大學(xué)物理，2014（2）：26-27.

[3]胡明政，何榮良.質(zhì)心系在近似問題中的特殊作用——質(zhì)量懸殊的兩體問題的近似處理[J].物理與工程，2007（3）：24-26.

[4]Nicholas M.Short，Sr.The Cassini-Huygens Mission[DB／OL].http：／／www.fas.org／irp／imint／docs／rst／Sect19／Sect19＿19.html.

[5]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995：145-146.