基于切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道的原理與方法＊

顧樂民

（同濟(jì)大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

1 引 言

居民消費(fèi)價格指數(shù)（Consumer Price Index，簡稱CPI指數(shù)），是普通消費(fèi)者所購買的物品與勞務(wù)的總費(fèi)用的衡量標(biāo)準(zhǔn)，反映了一定時期內(nèi)價格變動程度和趨勢的相對數(shù)．CPI指數(shù)不僅受商品價格的影響，比如糧價［1］、房價［2］等，也有對其權(quán)重經(jīng)常進(jìn)行調(diào)整的一個動態(tài)過程，這使得CPI指數(shù)變化具有隨機(jī)性大、難以找到一般變化規(guī)律、難以進(jìn)行預(yù)測等特征．對CPI預(yù)測理論及方法成為許多學(xué)者關(guān)注的問題，目前主要有，基于小波分解自回歸模型分析法［3］、VAR 模型法［4］、ARIMA 模型法［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［6］、灰色 GM（1，1）模型法［7］等．

2000年以來的CPI指數(shù)積累了186組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)是離散的，孤立的，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是不明確的，數(shù)據(jù)的來源是有一定統(tǒng)計誤差的．這些看似雜亂無章的數(shù)據(jù)背后，仿佛總有一只無形的手在操縱著CPI數(shù)據(jù)的變化，稱這只無形的手為“隱函數(shù)”．或許這只無形的手根本就不存在，因?yàn)镃PI指數(shù)的波動含有大量的“人類因素”，或許存在但目前難以找到，但這不影響探討的本質(zhì)．任何一個運(yùn)動、變化、發(fā)展的事物，都存在其本質(zhì)的內(nèi)在規(guī)律，都是可以從變化的過程中找到．

構(gòu)建隱函數(shù)的目的，是要用數(shù)學(xué)的方法來探索CPI變化的某些規(guī)律．CPI指數(shù)屬于一種“近程有序，遠(yuǎn)程無序”的數(shù)據(jù)變化形式，在較短的局部范圍內(nèi)，其變化具有一定的規(guī)律可循．從長期全局范圍看，其變化呈大波動狀失去規(guī)律．這也就是說，用具有軌跡特征的曲線是難以描述這種變化的，必須用其它的方法，一種既包含著曲線又不局限于曲線的方法去描述．

切比雪夫（P．L．Chebyshev，1821～1894）創(chuàng)立的最佳一致逼近原理，最早源于19世紀(jì)對機(jī)器的機(jī)械運(yùn)動按理想設(shè)計運(yùn)動的研究．將該原理運(yùn)用于CPI指數(shù)變化，可以構(gòu)建一條切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道．CPI指數(shù)變化是有限的變化，可以用2條曲線，1條稱為上界限，另1條稱為下界限，將所有的數(shù)據(jù)都囊括其中，并形成一條延伸的通道．通道將雜亂無章的數(shù)據(jù)加以規(guī)范和約束，而隱函數(shù)必定在通道之內(nèi)，通過數(shù)學(xué)的方法可以找到最佳逼近意義下的隱函數(shù)，使CPI的變化成為可知與可控．由于通道具有連續(xù)性，變化具有慣性，所以通道的外延具有一定的預(yù)測效應(yīng)，可以推斷出未來可能的變化趨勢，為決策提供有價值的參考．

切比雪夫最佳逼近意義下的數(shù)據(jù)通道的建立與應(yīng)用，文獻(xiàn)［8］有較為詳細(xì)的描述．由于CPI指數(shù)具有變化莫測的特殊性，從最簡單的“直線通道”入手，通過建立通道而闡述其基本的原理與方法，并用186組數(shù)據(jù)按序做30個數(shù)據(jù)處理的實(shí)例，以檢驗(yàn)預(yù)測的效果．

2 原理與方法

切比雪夫最佳逼近的核心是最大絕對值誤差極小化，由此構(gòu)成了極小極大曲線擬合法，適用于一個封閉系統(tǒng)內(nèi)的描述，具有廣泛的應(yīng)用［9］．由于最大誤差一般都是在端點(diǎn)處出現(xiàn)，在定義區(qū)間外是發(fā)散的，這從切比雪夫多項式的所有圖形中可以看出，所以不適合用于預(yù)測．對預(yù)測而言，預(yù)測的誤差越小越好，而不是最大甚至發(fā)散．零誤差型極小極大逼近是切比雪夫最佳逼近原理的一個推廣，是通過若干零誤差點(diǎn)限制端點(diǎn)誤差為最大，達(dá)到端點(diǎn)外誤差不發(fā)散的目的，其理論基礎(chǔ)是零誤差型切比雪夫多項式［10］，以及相應(yīng)的預(yù)測理論［11］．對于 CPI指數(shù)的預(yù)測，只需提供1個零誤差點(diǎn)，在坐標(biāo)系上是指最右端（簡稱端點(diǎn)，下同）的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這使復(fù)雜的問題可以簡化敘述．

2．1 零誤差型極小極大法（Z－Minimax method）

數(shù)據(jù) （xi，yi）i＝1，2，…，m是隱函數(shù)y（x）在有定義的區(qū)間內(nèi)給出的m個離散點(diǎn)組，為找到隱函數(shù)y（x），設(shè)擬合函數(shù)f（x）＝f（x，a），其中參數(shù)a＝（a1，a2，…，an），n≤m，而a1，a2，…，an為n個不全為零的實(shí)數(shù)．為使f（x）盡可能接近y（x），設(shè)誤差函數(shù)r（x）＝y(tǒng)（x）－f（x），而誤差值ri是誤差函數(shù)r（x）上的具體數(shù)值：

零誤差型極小極大法，是將端點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差設(shè)定為零誤差rm＝0條件下，依據(jù)最大絕對值誤差極小化的準(zhǔn)則來選擇參數(shù)a，即依據(jù)而構(gòu)成的一種方法，是切比雪夫最大絕對值誤差極小化基本準(zhǔn)則的一個推廣．

2．2 解的實(shí)現(xiàn)

如果零誤差型極小極大解存在，即存在a＝a＊使

則至少存在1個零誤差點(diǎn)和n個切比雪夫交錯點(diǎn)x1，x2，…，xn使

稱參數(shù)a＊為極小極大最佳擬合參數(shù)，稱f（xj，a＊）為極小極大最佳擬合方程，稱E＊為最佳逼近值，它們構(gòu)成了零誤差型極小極大逼近的一般解．

2．3 零誤差

所謂零誤差就是沒有誤差或誤差為零．當(dāng)將端點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差設(shè)定為零時，可使短期的預(yù)測得到保證．從曲線變化的一般規(guī)律來看，零誤差的兩端是以“－，0，＋”或“＋，0，－”形式出現(xiàn)，越接近零點(diǎn)，誤差絕對值就越?。@就給出一個提示，將端點(diǎn)誤差設(shè)定為零誤差即ym－f（xm）＝0，則對于端點(diǎn)外臨近的數(shù)據(jù)，其預(yù)測誤差rm＋1＝y(tǒng)m＋1－f（xm＋1）的絕對值也必定不會大，這為預(yù)測的準(zhǔn)確性提供了理論依據(jù)，僅在出現(xiàn)大隨機(jī)誤差的特例下才會無法成立［11］．

2．4 CPI通道

某個變化的過程和狀態(tài)可用“通道”來描述，例如，處于下降（或上升）的通道之中等．通道，來往暢通的道路，與交通圖中的道路相似，是擬人化的表達(dá)．零誤差型極小極大逼近意義下的CPI指數(shù)變化通道，簡稱CPI通道（下同）有以下幾個特征：

1）通道的構(gòu)成．通道由1條中心線，2條邊界線共同構(gòu)建；中心線是CPI函數(shù)轉(zhuǎn)化的曲線，也稱為路線是前行的指導(dǎo)線；邊界線是距中心線兩旁±E的曲線．通道用Channel（x）表示：

2）通道的作用．通道將離散的、有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)加以分類和規(guī)范，它依據(jù)最佳逼近值±E將全部的數(shù)據(jù)規(guī)范在通道內(nèi)，指出了位于邊界線上的數(shù)據(jù)，由于偏離中心線最遠(yuǎn)，屬于波動最大的大誤差數(shù)據(jù)；通道將端點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差設(shè)定為零誤差，廢除了所有數(shù)據(jù)是權(quán)重相等的慣例，使權(quán)重往端點(diǎn)數(shù)據(jù)傾斜，并使對未來的預(yù)測建立在零誤差的基礎(chǔ)上；通道包含了所有的數(shù)據(jù)，所以隱函數(shù)必定在通道內(nèi)，通過數(shù)學(xué)方法可以找到最佳逼近意義下的隱函數(shù)，或近似隱函數(shù)．

3）通道的意義．將理論的指導(dǎo)路線與實(shí)際行走的軌跡聯(lián)系在一起，數(shù)據(jù)沿著中心線前行，但實(shí)際是在偏離和糾正偏離中前行的；通道指出了數(shù)據(jù)變化的最大范圍，限定了安全的最大界線；在最大安全范圍內(nèi)去探尋隱函數(shù)，從而找到CPI變化的某些規(guī)律，用于解釋過于、指導(dǎo)現(xiàn)在、預(yù)測未來．

3 具體算法

由于CPI數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，波動性，難預(yù)測性，用通道的原理和方法尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系有較好的效果．下面用圖示法加以介紹，用的是直線型通道．圖1橫坐標(biāo)x是月，縱坐標(biāo)y是CPI指數(shù)值（無量綱）．圖中參與計算的CPI數(shù)據(jù)yi是12個，均在虛線之內(nèi)，虛線外的數(shù)據(jù)有1個，不參與計算．

3．1 通道的構(gòu)成

通道的中心線是擬合函數(shù)描述f（x）＝f（x，a），與2條邊界線共同構(gòu)建成通道f（x）±E．通道內(nèi)包含了12個數(shù)據(jù)．由式（4）產(chǎn)生的最大正負(fù)誤差點(diǎn)位于邊界線上，如圖1中的點(diǎn)A和點(diǎn)B．通道內(nèi)有1個零誤差點(diǎn)，位于數(shù)據(jù)的端點(diǎn)，如圖1中的點(diǎn)C．

3．2 零誤差點(diǎn)

零誤差點(diǎn)是人為設(shè)置的點(diǎn)，目的有3個：首先是將相等權(quán)重的數(shù)據(jù)變?yōu)椴坏葯?quán)重，一般而言，距離現(xiàn)在最近的數(shù)據(jù)應(yīng)該有較大的權(quán)重，而較遠(yuǎn)的權(quán)重可以較小，這對于預(yù)測而言是合理的，所以端點(diǎn)數(shù)據(jù)是權(quán)重最大的數(shù)據(jù)．其次是使未來的預(yù)測建立在誤差為零的基礎(chǔ)上，這對于未來的預(yù)測誤差，難以判斷是正還是負(fù)而言，是合理的．再次是一般在零點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)其誤差絕對值一般都是較小的，這使短期預(yù)測準(zhǔn)確性有了理論上的依據(jù)．

3．3 邊界線

大誤差數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，會使邊界線外移，使通道變寬．為使通道收窄，必須將最大（正負(fù)）誤差極小化．圖中由點(diǎn)A和點(diǎn)B的這2個最大誤差又都是極小化的，所以邊界線也是極小化的，使通道收窄．從安全意義上說，切比雪夫最佳逼近意義下的通道，是最窄的通道，也是數(shù)據(jù)變化的最大安全范圍，超出這個范圍就有可能是不安全或欠安全的．

3．4 預(yù)測假設(shè)條件

若未來短期CPI指數(shù)的變化不存在突變，或存在突變但其最大絕對誤差不大于通道內(nèi)的最大絕對值誤差，則通道的外推延伸能較好的給出未來CPI指數(shù)變化的趨勢．預(yù)測是建立在預(yù)測值f（xm＋1）與最大正負(fù)誤差±E基礎(chǔ)上的，描述了CPI指數(shù)未來可能的數(shù)值與最大的波動范圍：f（xm＋1）±E．從統(tǒng)計概率角度出發(fā)，大部分變化不會超出f（xm＋1）±E，這樣就使得CPI指數(shù)未來的變化成為可知與可控．

圖1 CPI指數(shù)變化通道示意圖

3．5 判斷法則與具體算法

判斷法則主要是判斷異常解是否存在，以及如何處理的問題．

最大絕對值誤差與最小絕對值誤差（即零誤差）之間在本質(zhì)上是不相容的，強(qiáng)制將原本是最大誤差的端點(diǎn)改為零誤差點(diǎn)，會導(dǎo)致方程結(jié)構(gòu)大的改變，甚至?xí)狗匠坛霈F(xiàn)一種病態(tài)狀，結(jié)果是預(yù)測準(zhǔn)確性變差．異常解出現(xiàn)的原因一般在于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性偏大，數(shù)學(xué)模型選擇的不當(dāng)所致．具體算法包含判斷法則，主要步驟如下．

1）判斷：先用最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)行判斷．若用最小二乘法的數(shù)據(jù)處理，其最大絕對值誤差出現(xiàn)在端點(diǎn)，且該誤差值較其他誤差值明顯放大，則該點(diǎn)就是異常數(shù)據(jù)點(diǎn)，其解將可能會出現(xiàn)異常．最小二乘法是個簡單方便的數(shù)據(jù)處理法，它所獲得的最大絕對值誤差一般也是極小極大法的最大絕對值誤差，所以用最小二乘法進(jìn)行預(yù)處理，用的是其方便與有效．

2）處理：對于異常數(shù)據(jù)，可以通過增加或減少數(shù)據(jù)數(shù)目，或轉(zhuǎn)移零誤差點(diǎn)，或改變數(shù)學(xué)模型等方式進(jìn)行處理；若異常數(shù)據(jù)雖然存在，但誤差在允許的范圍內(nèi)，可不作處理．

3）求解：取直線方程為f（xi）＝a＋bxi，對于式（4）設(shè)1≤j，k≤m－1，j≠k，可以通過

獲得參數(shù)a，b及逼近值E．取不同的j，k，使最大的E為極小minmaxE＝E＊，從而獲得最佳逼近值E＊，此時獲得的參數(shù)即為最佳參數(shù)a＊，b＊．

4 數(shù)值分析

2000年1月－2015年6月我國CPI指數(shù)來自國家統(tǒng)計局，共186個，每年的數(shù)據(jù)是12個，歸為1組（2015年除外），共有15組數(shù)據(jù)，先以2003年的數(shù)據(jù)處理為例．

4．1 實(shí)例一

2003年1月到12月的CPI數(shù)據(jù)有12個，由判斷法則進(jìn)行預(yù)處理，用最小二乘法得到的方程用P2003（xi）表示：P2003（xi）＝99．41＋0．26xi，經(jīng)判斷，端點(diǎn)i＝12不是最大誤差點(diǎn)，可以運(yùn)用零誤差型極小極大逼近，得到的方程用f2003（xi）表示，其中xi＝1，2，…，12：

極小化的最大絕對值誤差出現(xiàn)在i＝1，9處，為max｜r｜＝1．05，由此構(gòu)建的2003年CPI通道為：

Channel2003（x）＝f2003（）x±1．05，其中f2003（）x是f2003（xi）在去掉下標(biāo)“i”后的函數(shù)表達(dá)，定義區(qū)間為［1，12］．將x13＝13代入，得2004年1月CPI指數(shù)預(yù)測值及波動值：103．55±1．05．已知2014年1月CPI指數(shù)是103．2，在預(yù)測的范圍之內(nèi)．將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，預(yù)測的誤差為0．34%．

文中的圖1就是2003年1月至12月的CPI變化，以及CPI通道，在虛線外的點(diǎn)就是2014年1月的CPI指數(shù)，圖中有關(guān)說明可參見前文．

4．2 實(shí)例二

如法炮制，按序?qū)?000，2001，…，2014年1月至12月的數(shù)據(jù)處理結(jié)果列于表1．

表1 我國2000～2014年，每年1月至12月CPI指數(shù)的數(shù)據(jù)處理及預(yù)測

從表1結(jié)果看，CPI實(shí)際值都落在預(yù)測值及波動范圍之內(nèi)，所以預(yù)測的結(jié)果是有效的．其中2012年帶＊的數(shù)據(jù)屬于異常的數(shù)據(jù)處理，該年11月的CPI指數(shù)為102．0，但12月增至104．6，而次年1月又回落到102．0，計算表明12月份的數(shù)據(jù)屬于異常數(shù)據(jù)，通過零誤差點(diǎn)遷移，取絕對值誤差最小的點(diǎn)為零誤差點(diǎn)，獲得表中的方程式．

4．3 實(shí)例三

表2是按序2000，2001，…，2014年，當(dāng)年6月至次年5月的12個CPI數(shù)據(jù)處理以及對次年6月預(yù)測情況，共15組．其中帶＊的2013／06－2014／05因出現(xiàn)3個零誤差點(diǎn)，故斜率為0，屬于特殊方程．為了與表1區(qū)別，方程用符號g（xi）表示．

表2 我國2000～2014年，當(dāng)年6月至次年5月CPI指數(shù)的數(shù)據(jù)處理及預(yù)測

5 結(jié) 論

提供的通道原理與方法，具有簡單易懂、直觀性強(qiáng)、計算方便、適用范圍廣、符合性較好等特點(diǎn)，是曲線擬合的一種推廣，目的是使預(yù)測及預(yù)測誤差成為可知與可控．由于直線通道是一個簡單的通道，在進(jìn)一步的探討中還需要逐步加以完善．

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