基于有限時間同步的無人艇集結(jié)控制研究

徐 林，陳 云，桂志芳，劉 忠

(1.海軍裝備研究院，北京 100161; 2.海軍工程大學(xué) a.電子工程學(xué)院; b.兵器工程系，武漢 430033)

21 世紀以來，無人機在阿富汗戰(zhàn)爭、伊拉克等戰(zhàn)爭中，取得了巨大的軍事效益。由此引發(fā)了世界各國對無人機、無人艇、水下無人航行器等無人作戰(zhàn)平臺的廣泛關(guān)注，紛紛制定相關(guān)發(fā)展規(guī)劃［1-2］，并投入了大量人力物力開展無人作戰(zhàn)平臺的相關(guān)技術(shù)研究［3-15］。近年來，無人機技術(shù)已經(jīng)取得了跨越式發(fā)展［3-4］，水下無人航行器技術(shù)也得到了大量研究［5-11］。相對于無人機和水下無人航行器，無人艇的研究結(jié)果比較少見［12-15］。但另一方面，無人艇的應(yīng)用無疑是十分重要的，比如使用無人艇遂行情報偵察、監(jiān)視、目標攻擊、反潛、防空等作戰(zhàn)任務(wù)時，由于其目標小，機動性強，不易被敵人發(fā)現(xiàn)。在執(zhí)行這些作戰(zhàn)任務(wù)時，往往需要多艘無人艇進行協(xié)同，從而達到單艇所無法取得的作戰(zhàn)效果。比如，在艦艇編隊進入作戰(zhàn)區(qū)域時，母艦可以釋放多艘無人艇執(zhí)行搜索敵潛艇的任務(wù)，當某一艘無人艇發(fā)現(xiàn)目標時，可以向其他無人艇發(fā)出信息，集體向目標位置集結(jié)，然后發(fā)起攻擊，這樣可以增大發(fā)現(xiàn)和摧毀敵潛艇的概率。因而分布在不同位置的無人艇的集結(jié)控制問題是一個值得研究的問題，但對這一問題的研究卻未引起人們的足夠重視。

眾所周知，同步是指兩個或多個系統(tǒng)，在外部驅(qū)動或者相互耦合的作用下，調(diào)整它們的某個動態(tài)性質(zhì)以達到相同性質(zhì)的過程［16］。按同步時間劃分，同步可分為漸近同步［17-18］和有限時間同步［16，19-24］兩種類型。值得注意的是，漸近同步只能保證系統(tǒng)在時間趨于無窮大時達到同步，而有限時間同步卻能夠保證系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)或盡可能短的時間內(nèi)達到同步。顯然，有限時間同步更切合實際應(yīng)用。

為此，本文將基于有限時間同步理論，研究分布在不同位置的無人艇的集結(jié)控制問題。為簡化模型，本章只考慮兩艘無人艇的集結(jié)問題。同時由于各無人艇集結(jié)時的位置相距不遠，且遠小于初始分布時無人艇之間的距離，因而我們在建模時可以近似認為無人艇集結(jié)時的位置相同。

1 無人艇的運動模型

考慮如圖1 所示的水面無人艇的平面運動。該艇由兩個獨立的推進器來產(chǎn)生推力和轉(zhuǎn)向力。在圖1 中，X -Y 為絕對坐標系(大地坐標系)。令 (x(t)，y(t))是無人艇在絕對坐標系上t 時刻的位置坐標，ψ(t)為無人艇在絕對坐標系上t 時刻的首向偏航角(表示無人艇的運動方向)。那么，無人艇在t 時刻的水平面運動狀態(tài)可以由 (x(t)，y(t)，ψ(t))確定。建立原點G 在無人艇的重心處，且坐標軸與無人艇慣性主軸重合的運動坐標系(體坐標系)G -xByB。再令vx(t)和vy(t)分別為無人艇在t 時刻的線速度沿運動坐標系的橫軸和縱軸方向的速度分量，ωz(t)為無人艇在t 時刻的(水平)旋回角速度。

圖1 水平面坐標系下的水面無人艇［12］

由絕對坐標系和運動坐標系的關(guān)系容易得到如下等式［12］:

忽略風(fēng)力和波浪力的影響，可以得到以下簡單的動力學(xué)模型［12］:

其中，正常數(shù)mii(i =1，2，3)由無人艇的慣性和附加質(zhì)量確定，正常數(shù)dii(i=1，2，3)為水動力衰減常數(shù)，τ1和τ2為推進器產(chǎn)生的外力。

進一步令m11=m22=m，d11=d22=d，可以得到以下簡化模型:

通過式(1)可將式(3)轉(zhuǎn)換到絕對坐標系，方程為

其中:

2 無人艇集結(jié)控制模型

不失一般性，本文只考慮兩艘無人艇的集結(jié)問題。散布在不同位置的兩艘無人艇，當其中一艘無人艇(作為主艇)發(fā)現(xiàn)目標時，在繼續(xù)對目標進行跟蹤的同時，持續(xù)不斷地給另一艘無人艇(作為從艇)發(fā)送自身的狀態(tài)信息，從艇接收到主艇的信息并傳遞給自身控制器，控制器根據(jù)主艇和從艇本身的狀態(tài)信息產(chǎn)生控制信號給操縱系統(tǒng)，由其驅(qū)動從艇向主艇機動，直至與主艇的位置、運動方向、速度及加速度達到一致，完成集結(jié)，然后發(fā)動攻擊。

根據(jù)式(5)，可采用如下主-從同步框架來實現(xiàn)兩艘無人艇集結(jié)控制:

主艇和從艇的有限時間同步問題可描述為:設(shè)計一種合適的控制器U(X，Z)，使得對于主艇的初始狀態(tài)X1(0)，和從艇的初始狀態(tài)主艇和從艇的狀態(tài)變量滿足:

并且當t ＞T 時，

其中，有限正數(shù)T 為同步時間，‖·‖表示歐幾里德范數(shù)。

因此，如果零點E =0 是誤差系統(tǒng)式(12)的平衡點(此時有E1=0，E2=0，E3==0)，并且誤差系統(tǒng)(12)在零點E=0 是全局有限時間穩(wěn)定的，那么從系統(tǒng)(從艇)的位置、運動方向、速度和加速度與主系統(tǒng)(主艇)的相應(yīng)狀態(tài)變量達到全局有限時間同步。

現(xiàn)在，無人艇在有限時間內(nèi)的集結(jié)問題可轉(zhuǎn)化為: 設(shè)計一種合適的同步控制器U(X，Z)，使得對于主(主艇)-從(從艇)系統(tǒng)的主艇的任意初始狀態(tài)X1(0)，X2(0)和從艇的任意初始狀態(tài)Z1(0)，Z2(0)，誤差系統(tǒng)式(12)在E=0 達到全局有限時間穩(wěn)定。

3 集結(jié)判據(jù)

為了使從艇集結(jié)到主艇的位置，即誤差系統(tǒng)式(12)在E=0 達到全局有限時間穩(wěn)定，采用如下有限時間同步控制器——廣義線性反饋控制器［9］:

其中，K1= diag{ k11，k12，k13，k14，k15，k16} ∈R6×6和K2=diag{k21，k22，k23，k24，k25，k26}∈R6×6為待定的常數(shù)耦合矩陣，

式(14)中:

注解1 值得注意的是，控制器(13)結(jié)構(gòu)簡單，實現(xiàn)成本低。此外，該控制器連續(xù)，不會產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。而在同步過程中，系統(tǒng)的抖振可能會破壞同步［23］。

下面，我們來尋找合適的耦合矩陣K1和K2使得誤差系統(tǒng)式(12)達到全局有限時間穩(wěn)定。

由中值定理可知:

由式(16)和式(17)易得:

其中:

根據(jù)式(12)～(14)、式(18)和式(19)，可知:

根據(jù)有限時間穩(wěn)定性定理來證明兩艘無人艇集結(jié)(同步)的條件。

定理1如果存在一個式(13)定義的控制器U(X，Z)，使得

則主-從無人艇可以集結(jié)到同一地點(達到全局有限時間同步)，且相應(yīng)的集結(jié)(同步)時間滿足:

其中c=min{k21，k22，…，k26}，E(0)=X(0)-Z(0)，α∈(0，1)。

證明:選擇二次型Lyapunov 函數(shù)V(E)=ETE，則V(E)沿著誤差系統(tǒng)(20)的軌跡對時間t 的導(dǎo)數(shù)為:

對于任意的α∈(0，1)，由附錄A 引理2 有:

根據(jù)附錄A 引理1，由式(21)、(23)和式(24)可知: 如果存在常數(shù)c=min{k21，k22，…，k26}，使得

則主-從無人艇可以集結(jié)到同一地點(達到全局有限時間同步)，同步時間T 滿足不等式(22)。

證畢。

根據(jù)定理1，易證如下推論1。

推論1如果存在一個式(13)定義的控制器U(X，Z)，使得

則主-從無人艇可以集結(jié)到同一地點(達到全局有限時間同步)，且相應(yīng)的集結(jié)(同步)時間滿足:

其中c=min{k21，k22，…，k26}，E(0)=X(0)-Z(0)，α∈(0，1)。

證明:由式(6)和式(19)可知:

式(33)中:

則由附錄A 引理3 可知:S 負定，如果

顯然，如果式(26)～式(28)成立，那么式(34)恒成立。

再次根據(jù)附錄A 引理3 可知式(35)成立，如果

又由于sin2η1≤1，cos2η2≤1，如果式(29)～式(31)成立，那么式(36)～式(38)成立。

綜上，根據(jù)定理1，該推論得證。

證畢。

4 數(shù)值仿真

下面通過一個例子來驗證所得結(jié)果的有效性。選取無人艇的慣性和附加質(zhì)量系數(shù)m =m11=m22=100，m33=120，水動力衰減常數(shù)d=d11=d22=12，d33=14，推進器產(chǎn)生的外力τ1=τ2=50。主從無人艇的初始值分別為X(0)=(12.1，2.6，3.5，2.3，2.1，2.7)T和Z(0)=(1.7，23.2，35.8，4.2，1.4，3.3)T，主從無人艇的狀態(tài)軌跡如圖2 ～圖3 所示。根據(jù)推論1，選擇控制器(13)中參數(shù)耦合矩陣K1=diag{0.1，0.3，0.2，34，0.6，1.4}，K2= diag{0.1，0.1，1.0，0.2，0.4，0.1}，則主-從無人艇可以集結(jié)到同一地點(即達到全局有限時間同步)，如圖4 ～圖6 所示。同時可以根據(jù)式(32)計算出相應(yīng)的集結(jié)(同步)時間的估計值T*=174.7，如圖4 ～圖6 所示，實際同步時間T≤T*。由此可見，本文所得的結(jié)果是有效的。

圖2 主無人艇的動力系統(tǒng)的軌跡

圖3 從無人艇的動力系統(tǒng)的軌跡

圖4 主無人艇和從無人艇位置及角度誤差E1 =(e1，e2，e3)T 的軌跡

圖5 主無人艇和從無人艇速度誤差E2 =(e4，e5，e6)T 的軌跡

圖6 主無人艇和從無人艇加速度誤差的軌跡

5 結(jié)束語

本文應(yīng)用有限時間同步理論，研究了無人艇的集結(jié)控制問題。基于無人艇的運動模型，構(gòu)造了無人艇集結(jié)控制的模型，將集結(jié)控制問題轉(zhuǎn)化為全局有限時間同步問題; 然后基于該模型，證明了在廣義線性反饋控制下，主從無人艇集結(jié)(同步)的判據(jù)，并給出了集結(jié)(同步)時間的估計表達式。最后，通過數(shù)值實例驗證了所得判據(jù)是有效的。本文采用的廣義線性反饋控制器簡單易行，同步成本低。由推論1 可以看出，本文所得到的判據(jù)簡潔直觀，代入系統(tǒng)參數(shù)即可判斷無人艇是否可以集結(jié)到同一地點，還可以根據(jù)式(32)對同步時間進行估計。

附錄A(Appendix A)

考慮如下系統(tǒng):

其中，f:R+×D→Rn是連續(xù)函數(shù)，且f(t，0)=0 對任意t≥t0都成立，即原點是系統(tǒng)(A.1)的一個平衡點。

引理1［25］如果存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V: D→R、實數(shù)β ＞0 和實數(shù)α∈(0，1)以及一個原點的開鄰域U?D，使得

那么系統(tǒng)(A.1)在原點是有限時間穩(wěn)定的，并且停息時間函數(shù)滿足

其中，x0是變量x 的初始值.

另外，如果D =Rn，V 是徑向無界的，那么系統(tǒng)(A.1)是全局有限時間穩(wěn)定的。

引理2［26］對任意正實數(shù)αi，i=1，2，…，n 和0 ＜p ＜2，下面的不等式成立:

引理3［27］對給定的對稱矩陣其中S11∈Rr×r，那么下面的3 個條件是等價的:

(1)S ＞0(＜0);

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