量子光學(xué)中的蒙特卡洛方法研究

王碩

摘要：研究量子光學(xué)現(xiàn)象，通常歸結(jié)為研究光場(chǎng)與原子的相互作用問(wèn)題。在本文中，我們利用蒙特卡洛方法模擬了單原子系統(tǒng)的演化過(guò)程。我們將單原子系統(tǒng)的演化分為非厄米哈密頓量作用下的演化和隨機(jī)性的量子躍遷，并在這兩個(gè)過(guò)程進(jìn)行的每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化。根據(jù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的“指示”，得到了原子系統(tǒng)單次和系綜平均后所經(jīng)歷的演化過(guò)程。

關(guān)鍵字：量子光學(xué)，蒙特卡洛方法

中圖分類(lèi)號(hào)：O242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2015）05（c）0000-00

1引言

量子光學(xué)是以輻射的量子理論研究光的產(chǎn)生、傳輸、檢測(cè)及光與物質(zhì)相互作用的學(xué)科，它最初是從量子電動(dòng)力學(xué)理論中發(fā)展、演變而來(lái)的。它既是量子電動(dòng)力學(xué)理論的一個(gè)重要分支，又是激光全量子理論深入發(fā)展的結(jié)果。同時(shí)，量子光學(xué)還構(gòu)成一門(mén)新興的應(yīng)用基礎(chǔ)性學(xué)科—光子學(xué)的理論基礎(chǔ)。

20世紀(jì)60年代激光的問(wèn)世大大地推動(dòng)了量子光學(xué)的發(fā)展，在激光理論中建立了半經(jīng)典理論和全量子理論。半經(jīng)典理論把物質(zhì)看成是遵守量子力學(xué)規(guī)律的粒子集合體，而激光光場(chǎng)則遵守經(jīng)典的麥克斯韋電磁方程組。在全量子理論中，把激光場(chǎng)看成是量子化了的光子群，這種理論體系能對(duì)輻射場(chǎng)的量子漲落現(xiàn)象以及涉及激光與物質(zhì)相互作用的各種現(xiàn)象給予嚴(yán)格而全面的描述。對(duì)激光的產(chǎn)生機(jī)理，包括對(duì)自發(fā)輻射和受激輻射更詳細(xì)的研究，以及對(duì)激光的傳輸、檢測(cè)和統(tǒng)計(jì)性等的研究是目前量子光學(xué)的主要研究課題[1]。

研究量子光學(xué)現(xiàn)象，一般總是歸結(jié)為研究光場(chǎng)與原子相互作用問(wèn)題。在很多場(chǎng)合下，可以看做是二能級(jí)原子與光場(chǎng)的相互作用。當(dāng)光場(chǎng)或原子或光場(chǎng)與原子組成的系統(tǒng)有能量損失的時(shí)候，通常采用熱庫(kù)理論，即將該系統(tǒng)能量的損失認(rèn)為是與外界作用的結(jié)果，這作用外界比較大，但對(duì)其狀態(tài)一般不加細(xì)致研究，只認(rèn)為其自由度遠(yuǎn)比系統(tǒng)多，因此稱(chēng)為熱庫(kù)。處理熱庫(kù)與系統(tǒng)的相互作用常有兩種方法，一是在相互作用繪景或薛定諤繪景中，將整個(gè)系統(tǒng)的密度算符方程對(duì)熱庫(kù)變數(shù)求跡，給出系統(tǒng)約化密度算符滿(mǎn)足的主方程，將熱庫(kù)變數(shù)消去，然后利用密度算符的準(zhǔn)幾率表示，將主方程轉(zhuǎn)化為C數(shù)的?？恕绽士朔匠蹋詈笄蠼?；二是在海森堡繪景（算符變化，態(tài)矢不變）中通過(guò)噪聲算符將熱庫(kù)作用轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)力，引入量子的朗之萬(wàn)方程，然后再求解[2]。

近年來(lái)，蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，被引入量子光學(xué)中來(lái)研究小系統(tǒng)與熱庫(kù)耦合的模擬演化。蒙特卡洛方法是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過(guò)人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。直至電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過(guò)電子計(jì)算機(jī)來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)過(guò)程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡洛方法是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法，由于它能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問(wèn)題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。

在本文中，我們將主要討論在量子光學(xué)中，如何利用蒙特卡洛波函數(shù)方法來(lái)模擬單個(gè)原子系統(tǒng)的演化過(guò)程，并給出了二能級(jí)原子在蒙特卡洛波函數(shù)方法模擬過(guò)程中的單次演化以及其系綜平均后的演化過(guò)程。

2理論推導(dǎo)

用蒙特卡洛方法模擬波函數(shù)的演化，可以把系統(tǒng)的演化分解為幾種可能的波函數(shù)，在 時(shí)間內(nèi)，原子有可能發(fā)生躍遷，假設(shè)發(fā)生躍遷的概率為 ，躍遷到各個(gè)可能態(tài)的概率分別為 ，那么波函數(shù)在這段時(shí)間內(nèi)究竟選擇何種波函數(shù)，我們就可以用蒙特卡洛波函數(shù)方法來(lái)模擬。

首先，在[0，1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)ε，如果ε> ，說(shuō)明波函數(shù)沒(méi)有發(fā)生躍遷；如果ε< ，說(shuō)明發(fā)生了量子躍遷，進(jìn)一步的，通過(guò)判斷ε落入哪一個(gè)概率區(qū)間，可以判斷發(fā)生了何種躍遷。這就是用蒙特卡洛方法模擬隨機(jī)數(shù)演化的基本思想。

一個(gè)小系統(tǒng)的蒙特卡洛波函數(shù)演化包括兩個(gè)過(guò)程：非厄米哈密頓量作用下的緩慢演化和隨機(jī)性的量子躍遷，并在這兩個(gè)過(guò)程進(jìn)行的每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化[3-5]。

假設(shè)在t時(shí)刻二能級(jí)原子的狀態(tài)可以用如下波函數(shù)表示：

（1）

我們?nèi)菀椎玫?，?時(shí)間內(nèi)，發(fā)生躍遷的幾率為 （其中， 是單位時(shí)間的躍遷幾率）由于 非常小，故在觀(guān)察的時(shí)間內(nèi)，躍遷的幾率還是非常小的。為了確定波函數(shù)的演化方向，我們?cè)赱0，1]內(nèi)取均勻分布的隨機(jī)數(shù)ε，一般情況下 ，對(duì)應(yīng)的是沒(méi)有躍遷的情況，這時(shí)只有波函數(shù)的演化，哈密頓量為

（2）

是激光的頻率和原子躍遷頻率的差； 是拉比頻率，表征著偶極子 的原子和光場(chǎng)的耦合。在哈密頓量的作用下，波函數(shù)演化

如果 ，對(duì)應(yīng)發(fā)射一個(gè)光子的情況。這時(shí)候，原子產(chǎn)生自發(fā)輻射，躍遷到基態(tài)

重復(fù)以上過(guò)程，我們就可以來(lái)模擬波函數(shù)隨時(shí)間的演化過(guò)程[4]。

3結(jié)果分析與討論

本節(jié)中，我們利用蒙特卡羅波函數(shù)方法來(lái)模擬原子初始分別處于基態(tài) （圖1）、激發(fā)態(tài) （圖2）以及疊加態(tài)（圖3）時(shí)，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化過(guò)程。在以下各圖中，我們令 來(lái)表示原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)。為了計(jì)算方便我們?nèi)∠鄳?yīng)的參數(shù) 。

圖1：?jiǎn)未文M過(guò)程，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化，原子初始處于基態(tài) ，相應(yīng)參數(shù)為

圖2：?jiǎn)未文M過(guò)程，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化，原子初始處于激發(fā)態(tài) ，相應(yīng)參數(shù)為

圖3：?jiǎn)未文M過(guò)程，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化，原子初始處于疊加態(tài)，相應(yīng)參數(shù)為

在圖1、圖2和圖3中，大致描繪了系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的幾率隨時(shí)間的演化過(guò)程。由于原子的躍遷是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，某一時(shí)刻是否擁有較大幾率不能保證在此時(shí)刻發(fā)生躍遷，這可以從圖中直接的顯現(xiàn)出來(lái)。斷點(diǎn)處代表原子在此刻發(fā)生了躍遷，波函數(shù)迅速回到基態(tài)。容易理解，初態(tài)的改變并不影響演化的大致行為。

上面討論的是一個(gè)二能級(jí)原子系統(tǒng)在單次隨機(jī)過(guò)程中的波函數(shù)演化，重復(fù)以上操作N次然后求系綜平均，就可以得到一個(gè)二能級(jí)原子系統(tǒng)的演化過(guò)程。在圖4和圖5中，我們給出了原子處于基態(tài)（圖4）和激發(fā)態(tài)（圖5）時(shí)激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化過(guò)程。

由圖4和圖5可以看出，隨著演化過(guò)程的進(jìn)行，系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的幾率首先呈現(xiàn)一定的振蕩趨勢(shì)，最后逐漸趨于0.5。躍遷幾率也趨于穩(wěn)定。

圖4：系綜平均之后，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化，原子初始處于基態(tài) ， 運(yùn)行次數(shù) ，相應(yīng)的參數(shù)分別為

圖5：系綜平均之后，原子處于激發(fā)態(tài)的布局?jǐn)?shù)隨時(shí)間的演化，原子初始處于激發(fā)態(tài) ，運(yùn)行次數(shù) ，相應(yīng)的參數(shù)分別為

4總結(jié)

近年來(lái)，量子光學(xué)領(lǐng)域已取得了一系列重大進(jìn)展和輝煌成就，量子光學(xué)的研究對(duì)象之一就是小系統(tǒng)與耗散場(chǎng)的相互作用。在本篇論文中，我們運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法分析了單原子系統(tǒng)在耗散場(chǎng)中的演化情況。此演化過(guò)程包括兩個(gè)部分：非厄米哈密頓量的演化和隨機(jī)性的量子躍遷，并在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化。這樣，我們得到了任意時(shí)刻系統(tǒng)的波函數(shù)。從得到的圖中可以直觀(guān)的看出系統(tǒng)躍遷發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)以及躍遷幾率的變化趨勢(shì)。最后，我們還給出了系綜平均后原子系統(tǒng)的演化過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

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