概率論與數(shù)理統(tǒng)計分析中易混淆問題探析

呂福起

摘 要：在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的學習中，有一些知識點在以往的學習中接觸過，但往往有所區(qū)別，本文結(jié)合該課程特點，對課程中易混淆的這些知識點做了統(tǒng)計，并結(jié)合教學實例對相關(guān)問題做了探析。首先，文章對課程的重要性和復雜性做了分析，然后，統(tǒng)計了在該課程中容易混淆的知識點，最后，結(jié)合教學中的事件的和與集合中的并的不同以及求分布函數(shù)中換元前后的區(qū)別兩個實例，對本文中提到的問題加以探析，以希在今后教學中能對容易出現(xiàn)混淆的地方有所把握，更好的適應(yīng)課堂教學，讓學生能夠加深對知識理解的深度，為后繼課程的學習打好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：概率 隨機試驗 分布函數(shù)

中圖分類號：O21：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）05（a）-0214-02

該課題研究者從事大學數(shù)學課程教育多年，從實踐教學經(jīng)驗中得出《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程有一些重要知識點很容易和以往學習過的相關(guān)知識發(fā)生混淆。在近幾年的教學中發(fā)現(xiàn)，學生對這些容易混淆的知識點往往弄不清楚，從而很難學好該課程。針對這些問題，該文對這些知識點作了統(tǒng)計，并結(jié)合教學實例對這些知識點加以辨析。根據(jù)這些實例方法指導教學，這樣在教學中能夠?qū)@些知識點的傳授做到重點突出，講解透徹，讓學生理解問題的實質(zhì)，從而把知識弄懂記牢，為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學習打好基礎(chǔ)。對這些容易混淆的問題，已有作者也做了相關(guān)統(tǒng)計分析[1]，并給出了很好的實例，問題論述清晰，但該文看問題的角度和實例不同，希望能夠和各位專業(yè)人士探討，共同做好該課程的教學工作。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程特點

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程是大學數(shù)學基礎(chǔ)課中難度比較大的課程，比較抽象且枯燥缺乏趣味性[2]，主要學習的是隨機問題，很難定量計算，計算結(jié)果很多問題難以實際檢驗。學習課程對學生的要求比較高，至少要學習完《微積分》課程才可以。學習該課程能夠很好地培養(yǎng)學生的邏輯思維和抽象思維能力，而且這門課程是學生學習專業(yè)課程的基礎(chǔ)，是非常重要的一門課程[3]。由于這門課程的抽象性和復雜性和以往學習過課程相似的地方，導致學生在學習這門課程中容易出現(xiàn)混淆，對學習知識掌握不夠清晰，容易在學習中出現(xiàn)問題。

2 學生學習中容易出現(xiàn)混淆的地方

高中階段學生學習過集合的概念，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中與事件的和運算容易混淆。兩者有相通的地方，但也有區(qū)別，比如集合中的“”，在該課程中體現(xiàn)為事件的和，用“”或“”來表示，很多同學把事件的和當作加法來做，結(jié)果出現(xiàn)問題。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的頻率與概率的概念，互不相容事件與相互獨立事件，條件概率與無條件概率，多個事件兩兩獨立性與相互獨立，多維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布積分限的確定，分為換元前和換元后的不同之處等問題都是在課程學習中容易混淆的地方。對以上問題，學習中應(yīng)特別注意辨析，加強對知識理解的準確性和完善性，提高學習效果和職業(yè)能力[4]。

3 混淆解決實例

實例1 設(shè)為某隨機試驗中的三個事件，則事件“至少有兩個發(fā)生”如何表示？

“至少發(fā)生兩個”可以分解為“恰有兩個發(fā)生”和“三個都發(fā)生”兩種情形之和：，利用分配律也可以表示為：。

很多同學無法利用事件的分配律把化簡成

，其主要原因就是把式子中的“”真的看成相加了，而其實質(zhì)上是“”，就是把“”和“”混淆了。其推導過程：

實例2 設(shè)隨機變量與相互獨立， ，在上服從均勻分布，試求的概率密度。

例題由條件知，

利用分布函數(shù)法：（如圖1）

令，則和的取值范圍為：，因此

這里由于積分變量為和，積分上下限均與和無關(guān)，因此上述換元后的積分變成一個矩形區(qū)域的積分，所以交換積分順序：

因為與相互獨立，所以，

由變上限積分求導方法得：

或根據(jù)獨立性和卷積公式[5]得：

該題有學生采用分布函數(shù)法不會做，或者基本會做，但是由于對定積分換元法的不熟悉，換元后交換積分順序不懂，結(jié)果做不下去。這些都是學生在學習中應(yīng)特別需要主要的地方。

4 結(jié)語

該文根據(jù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程的特點分析了課程中易混淆的地方，并結(jié)合例題探析這些容易混淆的地方該如何學習。在教學中，教師要盡力去對容易出現(xiàn)混淆的地方多舉例說明，培養(yǎng)學生的課程學習興趣和對易混淆問題的辨析能力，以利于學生后繼課程的學習。

參考文獻

[1] 蔡鳴晶.巧選例題辨析概率統(tǒng)計中幾個容易混淆的概念[J].職業(yè)教育研究，2012（7）：95-96.

[2] 徐相建.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學研究[J].高師理科學刊，2015（1）：58-64.

[3] 李雙.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教材與實踐[J].數(shù)學教育學報，2012（5）：84-87.

[4] 李志軍.以職業(yè)素養(yǎng)訓練為中心的概率統(tǒng)計教學改革[J].教育與職業(yè)，2013（17）：140-141.

[5] 袁德美，安軍，陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M].高等教育出版社，2011，6（1）：88-91.