基于緩坡方程在島礁地形上波浪破碎的模擬研究

方亞冰，柳淑學(xué)，李金宣，劉思

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

基于緩坡方程在島礁地形上波浪破碎的模擬研究

方亞冰，柳淑學(xué)，李金宣，劉思

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

波浪從深海傳至近岸島礁時(shí)，一般需要經(jīng)過落差較大的礁坪邊緣，水深急劇變化，導(dǎo)致波浪在傳播過程中發(fā)生破碎，因此準(zhǔn)確模擬波浪的破碎過程以及破碎后的波高大小，對(duì)于島礁海岸工程建設(shè)具有重要的意義。緩坡方程是描述近岸波浪傳播變形較好的數(shù)值模型之一，文章在采用自適應(yīng)有限元求解緩坡方程所建立的數(shù)值計(jì)算模型的基礎(chǔ)上，引入描述波浪破碎的模型，建立可以描述波浪破碎影響的近岸波浪數(shù)值模型?；诙S島礁地形上的波浪實(shí)驗(yàn)，比較分析了4種不同的波浪破碎能量損失因子，給出了適合于島礁地形條件下波浪傳播破碎模擬的模型。

二維島礁地形；緩坡方程；波浪破碎

中國海域幅員遼闊、珊瑚島礁眾多，波浪從深海傳至近岸島礁時(shí)，一般需經(jīng)過落差較大的礁坪邊緣。而由于水深的急劇變化，導(dǎo)致與在大多數(shù)緩變地形上波浪傳播相比，其規(guī)律有所不同。因此建立起能夠模擬波浪在島礁地形上傳播的數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)波浪變形進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)是十分有必要的。

考慮到在波浪傳播的過程中，會(huì)受到折射、繞射、反射等因素的影響，很多學(xué)者在二維橢圓型緩坡方程的基礎(chǔ)上，建立起了多個(gè)數(shù)值模型（例如：Mei［1］；Tsay and Liu［2］；Chen and Houston［3］；Mattioli［4］），并運(yùn)用到了實(shí)際工程當(dāng)中。但是，大部分模型都沒有考慮到如島礁地形這種水深差別較大情況下波浪破碎的影響。本文在Berkhoff［5］發(fā)展的緩坡方程的基礎(chǔ)上，基于自適應(yīng)有限元方法來求解緩坡方程［6］，著重考慮波浪破碎因素的影響，針對(duì)不同學(xué)者提出的4種不同的波浪破碎能量損失因子，對(duì)二維島礁地形條件下波浪的傳播進(jìn)行模擬，通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比、分析，建立起適用于島礁地形下波浪傳播的數(shù)值計(jì)算模型。

1 數(shù)值計(jì)算模型

1.1控制方程

考慮到波浪在傳播過程中波浪破碎的效應(yīng)，有些學(xué)者認(rèn)為可以把波浪破碎作為一項(xiàng)耗散項(xiàng)加入到Berk?hoff的原始緩坡方程當(dāng)中［7-9］。

式中

其中C（x,y）=ω/k為相速度，Cg(x,y)=為群速度，γ為波浪破碎能量損失因子,可有多種計(jì)算模型，將在下文給出。k為波數(shù)，與波浪頻率滿足如下色散關(guān)系

式中：h為水深。

1.2邊界條件

在近岸波浪傳播模擬過程中，一般需考慮如下邊界條件。

（1）全反射邊界。

（2）部分反射邊界。

式中：α=α1+iα2為復(fù)常數(shù)，與復(fù)反射系數(shù)有關(guān)，復(fù)反射系數(shù)可表示為ρ=Reiε；ε為入射波和反射波之間相位差；R為振幅衰減；α與ρ的關(guān)系為

（3）入射邊界條件。

對(duì)于一般波浪傳播模擬，可認(rèn)為波浪是從一直線上開始向計(jì)算區(qū)域內(nèi)入射傳播的，而在這條直線上有入射勢(shì)（ΦI=a）和散射勢(shì)ΦS，且不考慮入射邊界對(duì)于散射勢(shì)的反射，因此有

1.3方程求解

假設(shè)將要求解的區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，取其中一個(gè)具有代表性的單元，假定權(quán)函數(shù)為N，采用加權(quán)余量法、分部積分和格林公式等，可以建立求解單元上的有限元方程，最后將單元有限元方程在全區(qū)域上進(jìn)行疊加，即可得到如下的有限元方程組

其中[] K具有對(duì)稱和稀疏的特點(diǎn)，計(jì)算中采用索引存儲(chǔ)法，只儲(chǔ)存上三角的非零元素。方程的求解則采用雙共軛梯度法，模型的建立及具體求解過程參見Liu S X等［6］。

2 波浪破碎能量損失因子的選取及其模擬結(jié)果

本文選取了Battjes和Janssen［10］，Dally et al.［11］，Massel［12］，Chawla et al.［13］等建立的4種不同的波浪破碎能量損失因子進(jìn)行數(shù)值計(jì)算模擬。這些破碎因子參數(shù)都依賴于波高而變化。隨著地形的變化，波高將產(chǎn)生明顯的變化，當(dāng)波高超過了一定的限制條件，波浪發(fā)生破碎，能量發(fā)生損失，直到產(chǎn)生適于當(dāng)?shù)厮顥l件的波浪。

本文將基于島礁地形波浪傳播的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，針對(duì)上述常用的4種破碎模式進(jìn)行研究，確定可用于島礁地形條件下波浪破碎模擬的模型。

2.1物理實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

為了模擬島礁地形條件下波浪的傳播特性，劉寧［14］進(jìn)行了相應(yīng)的物理模型試驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)布置如圖1，水槽長(zhǎng)69 m，寬2 m，深1.8 m。實(shí)驗(yàn)將島礁地形簡(jiǎn)化為1：5的斜坡，斜坡段水平距離2.5 m，礁坪部分簡(jiǎn)化為水平地形，表面為光滑混凝土面，高度0.5 m，水平距離30 m，水槽后端布置斜坡式消能器用于吸收波浪。

模型中布置了18根浪高儀，具體位置及間距詳見圖2。

圖2試驗(yàn)浪高儀布置圖（單位：cm）Fig.2Sketch of wave height gauge

實(shí)驗(yàn)中坡前水深分別為h1=0.625 m、0.715 m和0.835 m，為研究入射波浪大小對(duì)于波浪傳播破碎的影響，在特定周期T條件下，逐漸增大入射波浪波高H0進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，具體實(shí)驗(yàn)參數(shù)和過程可參考劉寧［14］的論文。

2.2波浪破碎能量損失因子的數(shù)值對(duì)比分析

2.2.1Battjes和Jassen［10］參數(shù)（BJ）

Battjes和Jassen［10］建議波浪破碎能量損失因子可由下式計(jì)算

式中：α為可調(diào)常數(shù)，一般可以取α=1，

在式（13）中，H為當(dāng)?shù)夭ǜ?；Hm為最大允許波高，定義如下

式中：γ0為波浪破碎參數(shù)。對(duì)于淺水，式（14）則可以簡(jiǎn)化為Hm=γ0h（γ0取0.8，h表示當(dāng)?shù)厮睿?/p>

事實(shí)上，當(dāng)式（13）中的b=0.3的時(shí)候，Qb=1.5×10-5，即Qb→0，γ→0。因此式（13）可以給出破碎波高條件

即當(dāng)波高H≤Hb時(shí)，γ的值等于0（未破碎），否則γ將按照式（11）進(jìn)行計(jì)算。

將式（11）代入式（1）針對(duì)上述實(shí)驗(yàn)條件下的波浪傳播進(jìn)行模擬計(jì)算，圖3給出了3種坡前水深條件下、相同周期不同入射大小波浪傳播的模擬結(jié)果與物理模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，圖4分別給出了同一水深條件下相同入射波高H0、不同周期波浪傳播的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，從圖中可以看出：數(shù)值模擬給出的波浪破碎點(diǎn)位置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，發(fā)生在圖2所示的10～14#浪高儀之間，即距造波邊界距離為30.75～32.5 m；相同水深、相同周期不同入射波高情況下，入射波高越大，波浪破碎后穩(wěn)定的波高稍小，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致；但是相同水深、同一周期不同入射波高情況下，入射波高越大，波浪破碎后的穩(wěn)定點(diǎn)位置相對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果前移，而且穩(wěn)定點(diǎn)之間的距離較大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別較大，其原因在于式（11）中的Qb是通過迭代求解的，迭代過程甚至達(dá)到上千次，迭代過程中會(huì)造成破碎后收斂的不一致性，對(duì)于落差較大的島礁地形適應(yīng)性較差。因此，總體來講，雖然該模型可以給出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較一致的結(jié)果，但是該方法不是模擬島礁地形條件下破碎波浪的最佳選擇。

2.2.2Dally et al.［11］參數(shù)（DDD）

以Horikawa和Kuo［15］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，Dallyet al.［11］建議波浪破碎能量損失因子由下式計(jì)算

圖3三種水深下相同周期不同入射波高H0情況下基于BJ破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.3Comparison of the simulated results based on BJ wave breaking factor and experimental ones for the same periods and different incident wave heightH0under three different depths

式中：H和h分別為當(dāng)?shù)夭ǜ吆退?，參?shù)Γ和χ分別表示穩(wěn)定波浪因子和波浪延遲因子。劉寧［14］亦根據(jù)實(shí)驗(yàn)波浪結(jié)果給出了不同情況下的Γ和χ值（表1）,其所得結(jié)果與Dally et al.［11］給出相同實(shí)驗(yàn)條件下的結(jié)果是一致的，因此采用劉寧［14］所給出的Γ和χ值代入式（16）進(jìn)行計(jì)算。

同樣，式（16）中也包含了一個(gè)最低破碎限制條件，即

因此，在實(shí)際的計(jì)算過程中，如果在之前的迭代過程中所得到的波高H≤Hb，那么γ的值將取0，除此之外γ將按照式（16）進(jìn)行計(jì)算。

與前述類似，圖5給出了采用式（16）所定義的破碎因子，針對(duì)3種坡前水深條件下、相同周期不同入射波高波浪傳播的模擬結(jié)果與物理模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，而圖6分別給出了同一水深條件下相同入射波高、不同周期波浪傳播的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。從圖中可以看出：與前述Battjes和Jassen［10］模型模擬結(jié)果類似，數(shù)值模擬給出的波浪破碎點(diǎn)位置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致；相同水深、相同周期不同入射波高情況下，入射波高越大，同樣模擬所得波浪破碎后穩(wěn)定的波高略微減小，同時(shí)，入射波高越大，波浪破碎后的穩(wěn)定點(diǎn)位置前移，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。而且，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似，相同水深、相同入射波高但不同周期情況下，波浪破碎后穩(wěn)定的波高變化不大。因此，綜合不同工況情況下的計(jì)算結(jié)果，式（16）所定義的波浪破碎因子可以較好地描述島礁地形條件下破碎波浪及波浪傳播過程。

圖4h1=0.715 m水深下入射波高H0=0.14 m不同周期情況下基于BJ破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.4Comparison of the simulated results based on BJ wave breaking factor and experimental ones for the incident wave heightH0=0.14 mand different periods under the depthh1=0.715 m

表1不同水深比下規(guī)則波試驗(yàn)所得Γ和χ參數(shù)取值Tab.1TheΓandχvalues for regular waves with different ε

圖5三種水深下相同周期不同入射波高H0情況下基于DDD破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.5Comparison of the simulated results based on DDD wave breaking factor and experimental ones for the same periods and different incident wave heightH0under three different depths

2.2.3Massel［12］的參數(shù)（SD）

Massel［12］給出波浪破碎能量損失因子的計(jì)算模式為

但是在實(shí)際計(jì)算過程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)H＞2.85h的時(shí)候，γ＜0，因此在計(jì)算γ時(shí)，當(dāng)?shù)夭ǜ逪應(yīng)包含一個(gè)最高限制條件，即

另一方面，在數(shù)值計(jì)算過程中，同樣發(fā)現(xiàn)當(dāng)波浪發(fā)生破碎后，波高會(huì)隨著波浪的傳播，逐漸遞減至0，這不符合實(shí)際波浪的傳播情況，其原因是，不同于前述2種破碎波浪因子，式（18）未給出最低限制條件，導(dǎo)致該式不能給出有效的結(jié)果，因此為了更好地模擬實(shí)際波浪傳播，仍取式（17）作為采用式（18）進(jìn)行波浪模擬時(shí)的限制條件。

與上述結(jié)果類似，圖7和圖8分別給出了采用式（18）所定義的波浪破碎因子數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，從圖中可以看出，采用該模型數(shù)值模擬所得波浪破碎點(diǎn)所在位置普遍比實(shí)驗(yàn)結(jié)果前移，即波浪較實(shí)驗(yàn)波浪提前破碎，但破碎波高大致相同；而在相同水深、相同周期和不同入射波高情況下，入射波高越大，波浪破碎后模擬所得穩(wěn)定的波高比實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏大，同時(shí)入射波高增大時(shí)，波浪破碎后的穩(wěn)定點(diǎn)位置沒有明顯的前移，甚至還有退后的趨勢(shì)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別較大。另外，相同水深、相同入射波高不同周期情況下，隨著周期的減小，波浪破碎后穩(wěn)定的波高增大，且增大幅度比較大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別也較大。這說明式（18）描述的破碎因子不能較好地模擬島礁地形條件下波浪破碎的情況。

圖6h1=0.715 m水深下入射波高H0=0.14 m不同周期情況下基于DDD破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.6Comparison of the simulated results based on DDD wave breaking factor and experimental ones for the incident wave heightH0=0.14 mand different periods under the depthh1=0.715 m

圖7三種水深下同周期不同入射波高H0情況下基于SD破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.7Comparison of the simulated results based on SD wave breaking factor and experimental ones for the same periods and different incident wave heightH0under three different depths

2.2.4Chawla et al.［13］的參數(shù)（COK）

Chawla et al.［13］依據(jù)Thornton和Guza［16］所統(tǒng)計(jì)的波浪破碎數(shù)據(jù)，結(jié)合基于方程（1）式的橢圓形近似模型，歸納推導(dǎo)出了下面的破碎因子計(jì)算公式：

式中:λ和B建議分別取1.0和0.6。該式與式（18）類似，缺少一個(gè)限制條件（即γ=0時(shí)Hb的取值），導(dǎo)致波高出現(xiàn)不合理的結(jié)果，所以仍然采取式（17）作為相應(yīng)的限制條件。

同樣，圖9和圖10分別給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，從圖中可以看出：受所引入的破碎因子影響，波浪破碎之前的波高波動(dòng)比上述模型（BJ、DDD、SD）給出的結(jié)果大，而且波浪破碎點(diǎn)的位置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果亦有很大的差別，而且隨入射波高增大，數(shù)值計(jì)算所得波浪破碎后的穩(wěn)定波高稍小于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而且波浪破碎后的穩(wěn)定點(diǎn)位置前移，幅度較大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別較大。因此，式（20）也不能較好地描述島礁地形條件下波浪的傳播情況。

圖8h1=0.715 m水深下入射波高H0=0.14 m不同周期情況下基于SD破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.8Comparison of the simulated results based on SD wave breaking factor and experimental ones for the incident wave heightH0=0.14 m and different periods under the depthh1=0.715 m

2.2.5波浪破碎能量損失因子的對(duì)比

為進(jìn)一步清楚的比較上述4種波浪破碎能量損失因子對(duì)島礁地形條件下波浪傳播的適應(yīng)性，圖11給出了這4種波浪破碎能量損失因子在3種坡前水深條件下、相同周期、相同入射大小波浪傳播的模擬結(jié)果的比較。由圖可以看出，如前所述，BJ破碎因子模擬波浪破碎后穩(wěn)定點(diǎn)的位置偏后，且穩(wěn)定波高明顯偏高；COK破碎因子雖然模擬所得穩(wěn)定波高與試驗(yàn)結(jié)果差別不大，但是亦存在波浪破碎后穩(wěn)定點(diǎn)位置偏后的問題；SD破碎因子有時(shí)波浪破碎后模擬所得穩(wěn)定波高偏大；綜合比較，DDD破碎因子各方面模擬結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，可以較好地描述島礁地形條件下的破碎波浪。

圖9三種水深下同周期不同入射波高H0情況下基于COK破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.9Comparison of the simulated results based on COK wave breaking factor and experimental ones for the same periods and different incident wave heightH0under three different depths

圖10h1=0.715 m水深下入射波高H0=0.14 m入射波高不同周期情況下基于COK破碎因子模型模擬波浪結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.10Comparison of the simulated results based on COK wave breaking factor and experimental ones for the incident wave heightH0=0.14 mand different periods under the depthh1=0.715 m

圖11三種水深下同周期同入射波高H0情況下四種破碎因子的比較Fig.11Comparison of the four wave breaking factors for the same periods and incident wave heightH0under three different depths

3 結(jié)語

波浪在向島礁?jìng)鞑r(shí)，水深急劇變化，與其他緩變地形上的波浪傳播運(yùn)動(dòng)不同。準(zhǔn)確地模擬島礁地形條件下波浪的破碎，對(duì)于島礁地形上波浪傳播的模擬具有重要的意義，本文在采用自適應(yīng)有限元方法來求解緩坡方程的基礎(chǔ)上，著重考慮波浪破碎因子對(duì)于波浪傳播模擬結(jié)果的影響，建立起基于緩坡方程適用于求解島礁地形下波浪傳播的數(shù)值計(jì)算模型。

本文選用了Battjes和Janssen［10］，Dally et al.［11］，Massel［12］，Chawla et al.［13］等人提出的不同的波浪破碎能量損失因子分別建立數(shù)值計(jì)算模型，針對(duì)二維島礁地形條件下波浪的傳播進(jìn)行模擬。為了考慮入射波高大小對(duì)于波浪破碎的影響，在模擬過程中，逐漸增大入射波高，對(duì)于波浪的傳播進(jìn)行計(jì)算。通過計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，綜合考慮波浪破碎點(diǎn)的位置和波高、波浪破碎后穩(wěn)定點(diǎn)的位置以及穩(wěn)定后的波高大小等因素，對(duì)比分析結(jié)果表明，由Dally et al.［11］建議的式（16）作為描述波浪破碎能量損失因子，結(jié)合通用的緩坡方程所建立的數(shù)值計(jì)算模型可以較好地描述典型島礁地形條件下波浪的傳播計(jì)算。

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Simulation of wave breaking on the reefs terrain using mild?slope equation

FANG Ya?bing,LIU Shu?xue,LI Jin?xuan,LIU Si
（State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China）

When the waves propagate from the deep water to the inshore reefs,a large gap reef flat must be overcome,leading to dramatic changes in water depth.This will cause the wave breaking.It is important for the engi?neering design on the terrain to accurately simulate the wave breaking and calculate the wave heights after wave breaking.Mild?slope equation is one of the best numerical models to describe near shore wave transformation. Based on a self?adaptive finite element numerical model to solve the mild?slope equation,a near shore numerical model to simulate wave breaking was developed by introducing the wave breaking model in this paper.Four kinds of wave breaking model were used and compared based on the experimental results of the wave propagation on the two?dimensional reefs terrain.A numerical model for solving the wave transformation on the two?dimensional reefs ter?rain was proposed.

two?dimensional reefs terrain;mild?slope equation;wave breaking

TV142；TV131.6

A

1005-8443（2015）04-0290-07

2014-12-05；

2015-01-04

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展（973）計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB036101，2011CB013703）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體基金（51221961）

方亞冰（1989-），男，湖南省郴州市桂東縣人，碩士研究生，主要從事近岸波浪傳播特性的模擬研究。

Biography：FANG Ya?bing(1989-),male,master student.