四邊固支的雙模量矩形板的彎曲計(jì)算

張鵬，范存新

(江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(蘇州科技學(xué)院)，江蘇蘇州215011)

四邊固支的雙模量矩形板的彎曲計(jì)算

張鵬，范存新

(江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(蘇州科技學(xué)院)，江蘇蘇州215011)

運(yùn)用彈性力學(xué)的相關(guān)知識(shí)計(jì)算出雙模量矩形板在外荷載作用下的中性面的具體位置；然后用康托洛維奇法和伽遼金法計(jì)算四邊固支的雙模量矩形板的彎曲；最后列舉算例，將計(jì)算所得數(shù)據(jù)與用ANSYS有限元分析軟件計(jì)算的結(jié)果相比較。得出結(jié)論：文中所得關(guān)于四邊固支的雙模量的矩形板的彎曲計(jì)算公式精度較高；當(dāng)材料拉壓模量差異較大時(shí)，在計(jì)算中不能忽略雙模量的影響。

雙模量；四邊固支；康托洛維奇法；伽遼金法

Abstract：This paper worked out the position of the neutral plane of bimodulous rectangular plate under the uniform load by applying elastic mechanics theory.The paper deduced the formula for the bending calculation of the bimodulous rectangular plate with four edges clamped by the Kantorovich and Galerkin method.In conclusion,the paper enumerated an example and compared the calculated result based on the deduced formula with the result based on the finite element software.It concluded that the formula for bending calculation of bimodulous rectangular thin plate with four edges clamped has high accuracy.When there is a great difference between tension and compression of the material,the effect of double modulus cannot be neglected.

Key words：bimodulous;four edges clamped;Kantorovich;Galerkin

0 引言

大量研究發(fā)現(xiàn)，很多材料具有拉壓彈性模量不同的性質(zhì)，如混凝土、石墨、玻璃、陶瓷等。近幾年發(fā)展起來(lái)的一些復(fù)合材料，這種拉壓彈性模量不同的性質(zhì)表現(xiàn)得更為顯著。如果計(jì)算時(shí)忽略這類材料的雙模量特性，繼續(xù)采用等模量的彈性理論解決工程問(wèn)題，會(huì)引起較大誤差，給實(shí)際工程留下安全隱患，因此，對(duì)用這類材料制造的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件采用雙模量進(jìn)行計(jì)算分析顯得較為重要[1-4]。

對(duì)雙模量彈性理論課題,很多學(xué)者進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[5]研究了雙模量的簡(jiǎn)支梁，文獻(xiàn)[6]研究了雙模量的連續(xù)梁，文獻(xiàn)[7]研究了雙模量的彎壓柱，均得出了雙模量特性對(duì)構(gòu)件計(jì)算有較大影響的結(jié)論。對(duì)于雙模量矩形板的彎曲計(jì)算研究，文獻(xiàn)[8]提出了康托洛維奇和伽遼金聯(lián)合法。此方法是在板的一個(gè)方向上假設(shè)一個(gè)梁函數(shù)，通過(guò)康托洛維奇法得到四階微分方程，同時(shí)，在板的另一個(gè)方向上假設(shè)一個(gè)未知函數(shù)，將未知函數(shù)代入四階微分方程，再通過(guò)伽遼金法求得未知函數(shù)，得到該矩形板的彎曲撓度公式。該文作者分別研究了三邊簡(jiǎn)支、四邊簡(jiǎn)支2種邊界條件下的計(jì)算分析，但對(duì)于四邊固支邊界條件的雙模量矩形板彎曲計(jì)算沒(méi)有研究探討。本文運(yùn)用康托洛維奇和伽遼金聯(lián)合法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究計(jì)算，并對(duì)用有限元分析軟件ANSYS得出的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較和驗(yàn)證，進(jìn)一步完善運(yùn)用康托洛維奇和伽遼金聯(lián)合法對(duì)雙模量矩形板的彎曲計(jì)算的研究。

1 雙模量矩形板的中性面位置

當(dāng)雙模量矩形板發(fā)生純彎曲時(shí)，根據(jù)內(nèi)力滿足的關(guān)系計(jì)算出中性面的具體位置。假定雙模量的矩形板在變形前后一直滿足直法線假定，根據(jù)彈性力學(xué)的理論可以得到雙模量的矩形板在發(fā)生純彎曲時(shí)的應(yīng)力，再根據(jù)彈性力學(xué)理論可知板的橫截面滿足平衡關(guān)系，計(jì)算可得中性面的位置：

(1)

式中：E1、μ1分別為受拉時(shí)的彈性模量和泊松比；E2、μ2分別為受壓時(shí)的彈性模量和泊松比；h為板厚。

2 四邊固支的雙模量矩形板的彎曲撓度計(jì)算

圖1 雙模量矩形板

對(duì)于圖1所示雙模量矩形板，根據(jù)彈性力學(xué)理論可知該板由于彎矩引起的變形勢(shì)能是

(2)

式中:Mx、My分別為雙模量矩形板的橫截面上繞x軸、y軸的彎矩；Mxy為雙模量矩形板的橫截面上繞xy面上的扭矩。

在均布荷載作用下，雙模量矩形板的勢(shì)能是

(3)

假設(shè)雙模量矩形板的撓度函數(shù)式是

ω(x,y)=u(x)υ(y)

(4)

式中:υ(y)假定是已知梁函數(shù);u(x)假定是未知梁函數(shù)。

根據(jù)式(2)、(3)可得雙模量矩形板的總勢(shì)能表達(dá)式是

U=U0+U1

(5)

對(duì)U進(jìn)行一階變分,并利用變分符號(hào)和微分符號(hào)的可交換性進(jìn)行分步積分，然后令δU=0，再利用Galerkin原理計(jì)算可得

(6)

對(duì)于受均布荷載作用的四邊固定的雙模量矩形板，可以假設(shè)：

(7)

由式(7)可計(jì)算得：

(8)

分別代入式(9)

(9)

(10)

由式(9)、(10)可得

(11)

將式(11)代入式(6)可得

(12)

整理計(jì)算可得

(13)

因此,可得雙模量矩形板的撓度函數(shù)式

(14)

當(dāng)a=b,E1=E2,μ1=μ2時(shí)，通過(guò)式(14)可求得各向同性材料的四邊固支板的撓度函數(shù)

(15)

利用式(15)計(jì)算四邊固支正方形板中心的撓度為ω(a/2,a/2)=0.001 30qa4/D，用康托洛維奇法[9]計(jì)算為ω(a/2,a/2)=0.001 26qa4/D，兩者誤差為3%，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果是可靠的。

3 算例和討論

為了檢驗(yàn)推導(dǎo)所得的雙模量矩形板的撓度函數(shù)式的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算2種材料的四邊固支矩形板受均布荷載1 MPa作用下的撓度。2種材料的力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 材料和板的參數(shù)

1)當(dāng)a=b時(shí)，

分別計(jì)算材料1、材料2組成的板在(x=a/2,y=b/2)、(x=a/4,y=b/4)、(x=a/2,y=b/4)位置處的撓度值，并用有限元軟件ANSYS模擬計(jì)算，得到的誤差值見(jiàn)表2。

表2 公式計(jì)算結(jié)果和ANSYS計(jì)算結(jié)果比較(a=b)

2)當(dāng)a=1.1b時(shí)，

分別計(jì)算材料1、材料2組成的板在(x=a/2,y=b/2)、(x=a/4,y=b/4)、(x=a/2,y=b/4)位置處的撓度值，并用有限元軟件ANSYS模擬計(jì)算，得到的誤差值見(jiàn)表3。

表3 公式計(jì)算結(jié)果和ANSYS計(jì)算結(jié)果比較(a=1.1b)

由表2、表3可知，采用本文公式計(jì)算的結(jié)果和ANSYS計(jì)算結(jié)果很接近，驗(yàn)證了該公式的可靠性。通過(guò)比較兩表數(shù)據(jù)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，有限元軟件計(jì)算結(jié)果比本文公式計(jì)算結(jié)果偏大，主要是由于有限元軟件在計(jì)算撓度時(shí)還考慮了板的剪切變形，而本文計(jì)算公式未考慮剪切變形。另外，由表2、表3和圖2、圖3的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：在該板撓度越小的位置，計(jì)算公式的計(jì)算精度越高，這與本文中的直法線假定有一定關(guān)系，因?yàn)閾隙仍叫≡摷俣ㄔ娇梢缘玫綕M足；四邊固支的雙模量矩形板受均布荷載時(shí)，越到板中間位置撓度越大，因此該板和普通板一樣，其中間位置的撓度在受均布荷載下時(shí)值得注意，不過(guò)由于該板的約束比四邊簡(jiǎn)支和三邊簡(jiǎn)支時(shí)約束強(qiáng)，因此前者的撓度比后者小;隨著該板長(zhǎng)與寬的比值增大，板的撓度減小，說(shuō)明該板的剛度增加了。

圖2 材料1公式計(jì)算和ANSYS計(jì)算比較(a=b)

圖3材料1公式計(jì)算和ANSYS計(jì)算比較(a=1.1b)

圖4 平面外的位移云圖

若忽略雙模量的影響，假設(shè)a=b，按公式ω(a/2,a/2)=0.001 26qa4/D，取表4中材料3計(jì)算，得板中心撓度為6.98 mm。若考慮雙模量影響，采用材料1的參數(shù)，由ANSYS結(jié)果(圖4)得板中心撓度為11.53 mm，誤差約為40%。顯然，當(dāng)拉壓模量差異很大時(shí)，在實(shí)際的計(jì)算中不能忽略雙模量的影響。

表4 材料和板的參數(shù)

4 結(jié)論

1)ANSYS計(jì)算結(jié)果和文中公式的計(jì)算結(jié)果非常接近，說(shuō)明本文的計(jì)算結(jié)果具有可靠性，計(jì)算該類雙模量板時(shí)可以采用該計(jì)算公式；當(dāng)拉壓模量差異很大時(shí)，如果按照相同的彈性模量計(jì)算，計(jì)算誤差會(huì)很大，因此在實(shí)際的計(jì)算中遇到這類材料不能忽略雙模量對(duì)內(nèi)力位移的影響。

2)在相同材料的情況下，四邊固支的雙模量矩形板的撓度越小，該公式計(jì)算的精度相對(duì)越高；隨著該板長(zhǎng)與寬的比值增大，該類型的板的剛度在增加。

[1]羅戰(zhàn)友,夏建中,龔曉南.不同拉壓模量及軟化特性材料的柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題的統(tǒng)一解[J].工程力學(xué),2008,25(9):79-84.

[2]趙慧玲,葉志明.拉壓不同模量彈性問(wèn)題[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,20(5):550-558.

[3]何曉婷,陳山林.不同模量彈性力學(xué)問(wèn)題研究進(jìn)展[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào),2006,27(6):136-141.

[4]蔡來(lái)生,俞煥然.拉壓模量不同彈性物質(zhì)的本構(gòu)[J].西安科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,29(1):17-21.

[5]王蔚佳,鄒文成,陳強(qiáng).基于雙模量理論的均布載荷下簡(jiǎn)支梁的解析解及數(shù)值分析[J].工業(yè)建筑,2013,43(6):56-59,89.

[6]姚文娟,葉志明.不同拉壓模量連續(xù)梁的解析解[J].力學(xué)季刊,2011,32(1):68-73.

[7]姚文娟,蔣小芳.拉壓不同模量彎壓柱的有限元數(shù)值解[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(工科版),2005,27(1):40-45

[8]吳曉.用 Kantorovich及Galerkin 聯(lián)合法研究雙模量板的彎曲[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,44(4):457-462.

[9]王磊.平行四邊形板彎曲問(wèn)題的康托洛維奇法[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1983(4)：36-46.

責(zé)任編輯：唐海燕

Bending Calculation of Bimodulous Rectangular Plate with Four Edges Clamped

ZHANG Peng，F(xiàn)AN Cunxin

(Key Laboratory of Structure Engineering in Jiangsu Province,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011)

10.3969/j.issn.1671- 0436.2015.06.001

2015-10-19

張鵬(1990— )，男，碩士研究生。

TU313.1

A

1671- 0436(2015)06- 0001- 06