兩個(gè)專(zhuān)屬漁業(yè)資源區(qū)的離散動(dòng)力學(xué)模型的分叉分析

顧恩國(guó),何秀川,方自成

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

兩個(gè)專(zhuān)屬漁業(yè)資源區(qū)的離散動(dòng)力學(xué)模型的分叉分析

顧恩國(guó),何秀川,方自成

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

對(duì)漁業(yè)資源儲(chǔ)量-捕撈力度動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了進(jìn)一步研究，運(yùn)用中心流形定理及規(guī)范型分析了正平衡點(diǎn)在flip分叉及Neimark-Sacker分叉時(shí)的臨界穩(wěn)定性，并用數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得的理論結(jié)果.

flip分叉；Neimark-Sacker分叉；中心流形定理；規(guī)范型

隨著人口增長(zhǎng)和經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，生態(tài)系統(tǒng)中資源的過(guò)度捕撈已嚴(yán)重影響其再生能力和人類(lèi)對(duì)它的可持續(xù)利用，因此生態(tài)系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，而漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展便是其中一類(lèi)典型問(wèn)題[1,2].在國(guó)內(nèi)外，關(guān)于漁業(yè)資源可持續(xù)發(fā)展，許多學(xué)者已經(jīng)建立大量數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行研究[3-6]，關(guān)于不同區(qū)域的生物經(jīng)濟(jì)模型有一些，大多為ODE模型[7,8]，由于漁業(yè)捕撈作業(yè)以離散行為為主，利用離散動(dòng)力系統(tǒng)理論研究不同類(lèi)型的漁業(yè)資源[9]或者不同類(lèi)型的捕撈作業(yè)[10]對(duì)漁業(yè)資源系統(tǒng)的影響，調(diào)控系統(tǒng)避免過(guò)度捕撈造成資源枯竭等問(wèn)題逐漸受到專(zhuān)家學(xué)者的親睞,文獻(xiàn)[11]提出了一類(lèi)具有兩個(gè)專(zhuān)屬漁業(yè)資源區(qū)的漁業(yè)資源捕撈模型，并對(duì)其進(jìn)行局部穩(wěn)定性分析和全局分析.眾所周知，分叉分析能夠揭示分叉參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出的豐富動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，而flip分叉是通往混沌的典型道路，Neimark-Sacker分叉會(huì)由于準(zhǔn)周期波動(dòng)產(chǎn)生不變閉曲線，因此本文研究文獻(xiàn)[11]中模型的正不動(dòng)點(diǎn)在發(fā)生flip分叉和Neimark-Sacker分叉時(shí)的臨界穩(wěn)定性，進(jìn)一步完善對(duì)文獻(xiàn)[11]中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，為漁業(yè)資源控制系統(tǒng)的研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 預(yù)備知識(shí)

考慮文獻(xiàn)[11]中的漁業(yè)資源儲(chǔ)量-捕撈力度動(dòng)態(tài)模型：

(1)

根據(jù)(1)式，該模型可寫(xiě)成映射動(dòng)力系統(tǒng)形式：

(2)

系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性主要取決于系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣的特征值，該矩陣在平衡點(diǎn)(x,E)有如下形式：

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們獲得以下定理1.

定理1 (1)不管參數(shù)c,p,r,K,Q如何變化，系統(tǒng)(2)邊界平衡點(diǎn)E0(0,0)都是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

2 正平衡點(diǎn)產(chǎn)生flip分叉時(shí)的穩(wěn)定性

首先，正平衡點(diǎn)P可以通過(guò)以下變換轉(zhuǎn)換到原點(diǎn)O(0,0)：

系統(tǒng)(2)可以轉(zhuǎn)換為：

(3)

(4)

其中

由中心流形理論可知，系統(tǒng)(4)存在一個(gè)中心流形，可表示為：

Mc={(x,y)∈2|y=h(x),h(0)=h′(0)=0,|u|<δ}.

(5)

δ表示一個(gè)足夠小的正常數(shù).

根據(jù)中心流形的定義，令y=h(x)=αx2+βx3+O(x4)，則有：

g(x,h(x))=0.

(6)

通過(guò)方程(6)計(jì)算系數(shù)α,β，可以得到：

4r2c3p+3p2Q2K2-4p2r2c2KQ-96prcKQ<0，則有：

3 正平衡點(diǎn)產(chǎn)生Neimark-Sacker分叉的臨界穩(wěn)定性

此時(shí)，矩陣JP的一對(duì)共軛復(fù)特征值為：

a1±iA.

(7)

(8)

計(jì)算方程

(9)

(10)

我們可以求得臨界實(shí)部：

C1(a2a4-b2b4)+C2(a2b4+a4b2)-

綜合上述分析，通過(guò)Neimark-Sacker分叉理論，得到定理3.

(1) 如果d(0)<0，在非平凡不動(dòng)點(diǎn)P處分支出唯一穩(wěn)定的閉不變曲線(ICC)；

(2) 如果d(0)>0，不動(dòng)點(diǎn)P是穩(wěn)定的.

4 數(shù)值模擬

圖1 系統(tǒng)(2)關(guān)于環(huán)境存載能力K的分叉圖，淺色線代表捕撈力度，深色線代表魚(yú)的密度Fig.1 The bifurcation diagrams of the system (2) with respect to environmental carrying capacity K, fishing intensity is represented in light line, and the density of fish is represented in dark line

圖2 從不動(dòng)點(diǎn)P分叉出的唯一穩(wěn)定ICCFig.2 An unique and stable ICC bifurcated from the fixed point P

5 結(jié)語(yǔ)與展望

本文研究了兩個(gè)專(zhuān)屬漁業(yè)資源區(qū)漁業(yè)資源的離散動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)分析，分別利用中心流形定理及規(guī)范型理論就系統(tǒng)的正不動(dòng)點(diǎn)在發(fā)生flip分叉及Neimark-Sacker分叉時(shí)的臨界穩(wěn)定性進(jìn)行了探究，探索了捕撈力度及魚(yú)的密度與存載能力K的動(dòng)態(tài)關(guān)系，一定程度上反映了漁業(yè)資源可持續(xù)利用的內(nèi)在規(guī)律.

本文只考慮了動(dòng)力學(xué)模型的局部穩(wěn)定性及分叉現(xiàn)象，并未對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行全局分析及產(chǎn)生的混沌作進(jìn)一步分析，這些都可以在以后的工作中進(jìn)一步研究.

[1] Food and Agriculture Organization. The state of world fisheries and aquaculture[R]. Sofia:FAO, 2004： 22-25.

[2] Garcia M, Graiger J R. Gloom and doom? the future of a marine capture fishery [J].Philosophical Transitions of Royal Society, 2005, B360: 21-24.

[3] Bischi G I, Szidarovszky F. Harvesting dynamics in protected and unprotected areas [J]. Journal of Economic and Organization, 2007, 62: 370-384.

[4] Bischi G I, Kopel M, Szidarovszky F. Expectation-stock dynamics in multi-agent fisheries [J].Annals of Operations Research,2005, 137:299-329.

[5] Mckelvey R. Game theoretic insight into the international management of fisheries [J]. Natural Resourse Modeling,1997, 10: 129-171.

[6] 顧恩國(guó)，陳寶香. 有部分個(gè)體合作的多個(gè)體博弈公共漁業(yè)資源的非線性動(dòng)力模型分析[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2008，27(3): 96-101.

[7] Mchich R, Auger P M, Bravo de la parra R, et al. Dynamics of a fishery on two fishing zones with fish stock dependent migrations: aggregation and control [J]. Ecol Model, 2002, 158: 51-62.

[8] Mchich R, Charouki N, Auger P M, et al. Optimal spatial distribution of the fishing effort in a multi fishing zone mode [J]. Ecol Model, 2006, 197: 274-280.

[9] 顧恩國(guó)，陳 博，張梅娜. 帶有紅樹(shù)林自然保護(hù)區(qū)的漁業(yè)資源動(dòng)力學(xué)模型的局部分析[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2013, 32(3): 104-107.

[10] 顧恩國(guó)，褚青濤. 不同理性?xún)蓚€(gè)體捕撈公共漁業(yè)資源的非線性分析[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2009, 28(2): 109-118.

[11] 顧恩國(guó)，梁 艷. 兩個(gè)專(zhuān)屬漁業(yè)資源區(qū)的離散動(dòng)力學(xué)模型分析[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011, 30(1): 105-108.

[12] Saber N E. Discrete chaos [M]. New York: Chapman Hallcrc, 2000: 24-26.

[13] 尤里·阿·庫(kù)茲涅佐夫. 應(yīng)用分支理論基礎(chǔ)[M].金城桴，譯.北京：科學(xué)出版社，2009: 122-129.

Bifurcation Analysis of Discrete Dynamical Model for Two Special Fishery Resource Zones

GuEnguo,HeXiuchuan,FangZicheng

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In this paper, we study the fish resources stock-effort dynamical model, analyse the marginal stability of positive fixed point at flip bifurcation and Neimark-Sacker bifurcation with center-manifold theorem and normal form respectively, and use numerical simulations to verify the conclusions.

flip bifurcation; Neimark-Sacker bifurcation; center-manifold theorem; normal form

2015-07-13

顧恩國(guó)(1964-)，男，教授，博士，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)應(yīng)用，E-mail：guenguo@163.com

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085)；中南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2015sycxjj130)

O193

A

1672-4321(2015)03-0105-06